广东省深圳市大学附属中学2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学分值：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分）1.数据、、、、、、、、的下四分位数为（）A. B. C. D.2.直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（）A. B. C. D.3.已知空间中，，，四点共面，则（）A. B. C.1 D.24.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则5.设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（）A. B. C. D.6.在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（）A. B. C. D.7.已知的内角的对边分别为，满足，且则（）A. B. C. D.8.已知，，则（）的最小值为（）A. B. C. D.无最小值二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.的共轭复数是C.在复平面内对应的点在第一象限 D.10.在中，三个内角所对的边分别为，满足，，则（）A. B.C. D.的范围为11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（）A.平面B.平面平面C.直线与所成角比直线与所成角大D.正方体的棱长为第II卷（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，，，则与的夹角大小为_____．13.某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________.14.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数；（3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率.16.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求．18.设的内角所对的边分别为，满足：.（1）证明：；（2）若的面积为，求；（3）已知，证明：是锐角三角形.19.如图，在三棱锥中，，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？

数学分值：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分）1.数据、、、、、、、、的下四分位数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：样本数据共个，由，可知下四分位数为第个，即.2.直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由直线经过两点，得直线的斜率，则直线的倾斜角，直线的倾斜角为，所以的斜率为.3.已知空间中，，，四点共面，则（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：由空间向量共面的基本定理即可求解.解答过程：设原点，，即，则，，因为四点共面，所以，所以，．故选：A.4.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：D解析：思路：根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解.解答过程：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则或，或与相交，故B错误；对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则，过相交直线

作平面

，设

，，因为

，，所以

，又

，且

都在平面

γ内，所以

，因为

，根据平行线的线面垂直性质，得

，又

，根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确.5.设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：以为一个样本点，记事件设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，两数之和小于等于，样本空间的点数为个，，共个，由古典概型的概率公式可得.6.在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由面面平行得到线线平行，故，所以∽，设正方体的棱长为2，求出，从而，得到.解答过程：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，故∽，因为分别是棱的中点，设正方体的棱长为2，则，故，故，则，所以，故.故选：C7.已知的内角的对边分别为，满足，且则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值.解答过程：因为，由正弦定理可得，而，故即，所以，由题设条件可知均不为直角，故，故，而所以，故，而，解得，若，则均为负，则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故，而为三角形内角，故.8.已知，，则（）的最小值为（）A. B. C. D.无最小值答案：A解析：解答过程：由，，不妨设，设，，可得，则，则，如图所示，作，则为的最小值，可知，所以的最小值为.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.的共轭复数是C.在复平面内对应的点在第一象限 D.答案：BCD解析：解答过程：已知复数，先化简：.A：的虚部为，不是，A错误.B：的共轭复数，B正确.C：对应复平面内点，在第一象限，C正确.D：，，，所以，D正确.10.在中，三个内角所对的边分别为，满足，，则（）A. B.C. D.的范围为答案：AC解析：思路：选项A，根据正弦定理，结合两角和公式化简即可判断选项A；选项B，假设，推出三角形内角，即可判断选项B；选项C，根据向量三角形法则及数量关系化简即可判断选项C；选项D，利用余弦定理建立边的等量关系及三角形三边的数量关系，建立不等式求解的范围即可判断选项D.解答过程：根据，由正弦定理可知，整理得，利用两角和公式可知；根据三角形内角和可知，故上式可化简为，根据正弦定理可知，故A正确；假设，则，因为，故，则，则，不符合三角形内角范围，故B错误；由可得，故，故C正确；因为，由余弦定理可得，故，因为，故，由三角形三边关系可知，解得，故，故的范围为，故D错误.11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（）A.平面B.平面平面C.直线与所成角比直线与所成角大D.正方体的棱长为答案：ABD解析：思路：A选项，根据点到面的距离证明；B选项，结合面面垂直的判定定理和面面相交的性质进行判断；C选项，通过线面角的正弦值比较大小；D选项，利用射影，构造直角三角形求解.解答过程：设，显然是、的中点，因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，又到平面的距离为，且点在的同侧，则，即，即A正确；设平面，则，因为是正方形，所以，又因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，则平面，而，所以平面平面，即B正确；设到平面的距离为，因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为，所以有，得，设正方体的棱长为，设直线与平面所成角为，所以，设直线与平面所成角为，所以，因为，则得，因,则得，故C错误；因为平面平面，平面平面，所以在平面的射影与共线，显然，如图所示：由，，由（负值舍去），故D正确，第II卷（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，，，则与的夹角大小为_____．答案：##解析：解答过程：由可知，即，设与的夹角为，得，即，解得，即.13.某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________.答案：解析：思路：根据对立事件及相互独立事件的概率乘法公式，求出概率即可.解答过程：由事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，由题意可知小张，小李未签约的概率是，小王未签约的概率是，因为相互独立，所以三人均未签约的概率是，所以3人中至少有1人签约该企业的概率是.14.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小.答案：解析：思路：由角的关系及正弦定理求得和，然后由和差角公式整理得到，根据的范围求得的范围，从而求得最小值.解答过程：因为与地面垂直，，所以，在中，因，则，由正弦定理，得，得，在中，，由正弦定理，得，得，，，因为，所以，则当，即时，取得最小值.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数；（3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率.答案：（1）（2）85；78（3）解析：思路：（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值；（2）根据频率分布直方图，频率最高的组在之间；样本平均数表示为数据与它的频率的乘积之和.（3）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可.（1）由题意可知，解得.（2）频率最高的组是，所以众数为；平均数.（3），频率之比为，所以从内的学生中抽2人，从内的学生中抽3人.设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人，则所有组合有，共10种，2人恰好在同一组的有，共4种，∴2人恰好在同一组的概率为16.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：连接，，因为为弧的中点，则，为正三角形，于是，因为平面，，则有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解析：思路：（1）由为正三角形，证明，再利用线面垂直的性质得，进而利用线面垂直的判定推理平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可.（1）略（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．方法提示：关键点睛：第一问的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并灵活应用；第二问的关键是建立空间直角坐标系，确保每个点的坐标准确无误的找到，再借助空间向量求解即可.17.设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，求解即可．（1）在仿射坐标系中，、的夹角为，则，又，则，所以，所以．（2）在仿射坐标系中，、的夹角为，则，又，，则，，所以，，则．所以，又与的夹角为，所以，解得．18.设的内角所对的边分别为，满足：.（1）证明：；（2）若的面积为，求；（3）已知，证明：是锐角三角形.答案：（1）由正弦定理可得.又，代入整理得因为，所以或若得，不符合三角形内角和，舍去；故，即（2）（3）由，得.由正弦定理已知，故，又，得，即因为，因此三个内角均为锐角，是锐角三角形.解析：思路：（1）由正弦定理化简求得的关系，然后结合三角形内角即可求证；（2）由已知条件及二倍角和三角函数的关系求得，由和差角公式求得，由三角形面积公式求得，结合正弦定理求得；（3）由三角形中三个角的关系求得，得到范围，即可求证.（1）略（2）因为，则.可得，所以.又因为，则.由正弦定理得，则.所以（3）略19.如图，在三棱锥中，，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点E，使得二