广东省湛江市2025~2026学年高二下册期末调研考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（）A.5种 B.6种 C.7种 D.9种2.曲线在点处切线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.的展开式中的系数为（）A.5 B.-5 C.15 D.-154.已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（）A.127 B.192 C.235 D.7475.为了检测某种药物对预防疾病的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用18725未服用12820合计301545已知，．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（）A.药物对预防疾病有效果B.药物对预防疾病有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.药物对预防疾病无效果D.药物对预防疾病无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.056.湛江市某次期末考试成绩统计如下，优等生占，中等生占，后进生占，优等生通过考试的概率为，中等生通过考试的概率为，后进生通过考试的概率为，随机抽取一名学生调查，抽到的学生通过考试的概率为（）A. B. C. D.7.一个箱子中装有七张除了分数外完全相同的卡片，其中有四张2分，三张1分，从箱子中随机取出四张卡片，求四张卡片分数之和大于6分的概率是（）A. B. C. D.8.设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（）012A. B.的值最大C.随着的增大而减小 D.当时，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（）A. B.C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立10.已知函数，则（）A.的极小值为B.有两个零点C.存在使得关于的方程有三个不同的实根D.的解集为11.已知，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，且，则________．13.已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______.14.已知数列与的前项和分别为，，且，，，，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.某款电动汽车由于其优异的性价比，逐渐在市场获得认可，订购数量日渐增多．根据统计数据，该款电动汽车某区域店过去周的订单数如下：时间（周）12345订单数（辆）1321455566为了进一步了解订单数的变化情况，两个数学学习小组分别进行了研究，（1）小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时关于的线性回归方程；（2）小组采用非线性回归模型进行拟合，求得关于的非线性回归方程为，并计算出决定系数．①请计算小组线性回归方程的决定系数，并说明哪个小组的模型拟合效果更好；②用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数．附：，；决定系数，参考数据：，．17.已知函数．（1）当时，求的单调区间以及极值；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．18.如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．（1）若是的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点到平面的距离为，求的长．19.已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）过点的直线与曲线交于两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若曲线与轴交于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，求的值.

数学满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（）A.5种 B.6种 C.7种 D.9种答案：C解析：思路：利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案.解答过程：由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知，不同的路径有种.故选：C.2.曲线在点处切线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，所以.，所以.3.的展开式中的系数为（）A.5 B.-5 C.15 D.-15答案：D解析：思路：把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．解答过程：，故它的展开式中的系数为，故选：D．4.已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（）A.127 B.192 C.235 D.747答案：D解析：解答过程：设数列的前n项和为，因为，所以.5.为了检测某种药物对预防疾病的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用18725未服用12820合计301545已知，．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（）A.药物对预防疾病有效果B.药物对预防疾病有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.药物对预防疾病无效果D.药物对预防疾病无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05答案：C解析：思路：通过计算列联表的统计量，与给定的临界值比较，来判断药物对预防疾病是否有效果.解答过程：零假设：药物对预防疾病无效果，根据列联表数据，，根据，将数据代入可得：，，根据小概率值的独立性检验，，所以我们没有充分证据拒绝原假设，即认为药物对预防疾病无效果.故选：C.6.湛江市某次期末考试成绩统计如下，优等生占，中等生占，后进生占，优等生通过考试的概率为，中等生通过考试的概率为，后进生通过考试的概率为，随机抽取一名学生调查，抽到的学生通过考试的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由条件概率公式与全概率公式求解即可.解答过程：设事件为“抽到的学生通过考试”，设事件为“抽到优等生”，事件为“抽到中等生”，事件为“抽到后进生”，则，，，则，，，则，，，所以，所以随机抽取一名学生调查，抽到的学生通过考试的概率为7.一个箱子中装有七张除了分数外完全相同的卡片，其中有四张2分，三张1分，从箱子中随机取出四张卡片，求四张卡片分数之和大于6分的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：从7张卡片中随机抽取4张的组合数为.设抽取2分卡片张，则抽取1分卡片张，其中.总分为，要求，即，解得，故或.当时，抽取方法数为.当时，抽取方法数为，合计符合条件的事件数为.由古典概型公式得.8.设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（）012A. B.的值最大C.随着的增大而减小 D.当时，答案：D解析：解答过程：由分布列可得，，.对于A，因为，所以，即，A错误.对于B，当时，，，所以的值不是最大，B错误.对于C，，因为时，随的增大而增大，所以C错误.对于D，当时，，，，所以，，故，D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（）A. B.C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立答案：AB解析：思路：根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误.故选：AB10.已知函数，则（）A.的极小值为B.有两个零点C.存在使得关于的方程有三个不同的实根D.的解集为答案：AC解析：思路：先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D．解答过程：函数的定义域为，，由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；当时，，此时，D不正确．故选：AC．11.已知，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：对于A，直接令进行求解即可；对于B，可以将二项式转化为，然后再根据二项式定理的通式进行求解即可；对于C，先令求出，再令求出的值，由即可求出的值；对于D，首先分别令与后得到两个方程，然后通过联立方程进行求解即可.解答过程：对于A，令，得：，故A正确；对于B，由由二项式定理可得：，故B正确；对于C，令，得：，再令，得：，由此可得：，故C错误；对于D，令，得：，再令，得：，由此可得：，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，且，则________．答案：24解析：解答过程：因为，所以，解得.于是由方差性质，得13.已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______.答案：##0.25解析：思路：根据正态分布的对称性即可求得答案.解答过程：设，由正态分布密度曲线的对称性可知，，.所以，解得.即.故答案为：.14.已知数列与的前项和分别为，，且，，，，则的取值范围是__________．答案：中对应的那些值解析：思路：根据递推关系式求出，代入得，再根据裂项求和法求出，再根据数列的单调性可求出结果.解答过程：当时，得，因为，所以，当时，，，所以，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，因为数列为递增数列，所以，又，所以的取值范围是.故答案为：中对应的那些值.方法提示：关键点点睛：利用裂项求和法求出是解题关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）.解析：思路：(1)由，取和作差，得到与的递推关系，再求首项，可得通项；(2)将代入化简，得到，然后用错位相减法求和.（1）当时，，即.当时，有.所以，所以，即.由，且，代入得，即，所以.故从第一项起即为等比数列，公比，首项.所以.（2）由(1)知，则.于是.因为，所以.因此.设，则.两式相减得，其中.所以，故.16.某款电动汽车由于其优异的性价比，逐渐在市场获得认可，订购数量日渐增多．根据统计数据，该款电动汽车某区域店过去周的订单数如下：时间（周）12345订单数（辆）1321455566为了进一步了解订单数的变化情况，两个数学学习小组分别进行了研究，（1）小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时关于的线性回归方程；（2）小组采用非线性回归模型进行拟合，求得关于的非线性回归方程为，并计算出决定系数．①请计算小组线性回归方程的决定系数，并说明哪个小组的模型拟合效果更好；②用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数．附：，；决定系数，参考数据：，．答案：（1）关于的线性回归方程为（2）①，小组的模型拟合效果更好；②用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数约辆．解析：思路：（1）先算出，再代入公式计算分子与分母得到斜率，再用求出截距，写出回归直线．（2）①先将各代入线性方程得到对应，算出残差平方和，结合已知总偏差平方和，代入公式算出，对比大小，数值越大拟合效果越好；②选择决定系数更大的非线性模型，将代入二次回归方程，化简计算得到第周订单预测值．（1），，，，所以，，所以关于的线性回归方程为；（2）①时，，，时，，，时，，，时，，，时，，，所以，，所以，因为，所以，说明小组的模型拟合效果更好；②用小组的模型预测，时，，所以用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数约辆．17.已知函数．（1）当时，求的单调区间以及极值；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为.极小值为，无极大值.（2）的取值范围为.解析：思路：（1）求，利用和求解函数的单调区间，从而可得到极值.（2）先利用的符号判断函数的单调性，再利用最小值小于零即可求解的取值范围.（1）当时，，定义域为..令，即，解得；令，即，解得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时取得极小值，极小值为，无极大值.（2），.当，即，恒成立，所以在上单调递增，最多1个零点，不符合题意.当，即时，令，即，解得.当时，当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以是极小值点，也是最小值点，且.当时，；当时，.因为有两个不同的零点，所以即.又因为，所以，解得.所以.综上所述，若有两个不同的零点，的取值范围为.18.如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．（1）若是的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点到平面的距离为，求的长．答案：（1）证明：如图，连接交于点，连接.因为四边形为矩形，所以点为中点.在中，是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值.（3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可