广东省肇庆市2025~2026学年高一下册末学业水平达标检测数学试卷【附解析】

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.3.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.4.已知平面向量，，若与共线，则（）A.0 B.1 C.或1 D.0或15.已知，为单位向量，且向量与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于、的任意一点，则图中互相垂直的平面有（）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对7.如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成左右两部分，体积分别为和，则（）A. B. C. D.8.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（

）A. B.1 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，下列说法正确的是（）A.是实数B.C.D.设在复平面内对应的点为，若，则点的集合构成的图形的面积为10.已知，，分别为三个内角，，的对边，则根据下列条件能确定为钝角的是（）A. B.，均为锐角，且C. D.11.如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（）A. B.C.点在底面的射影在线段上 D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________．13.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________．14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若的面积，则_________．四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，，，且，为的中点．（1）求证：平面；（2）若面，，，求直线与所成角的余弦值．16.如图，正方体的棱长为2，为的中点，在线段上．（1）若平面，求证：是的中点；（2）求直线和平面所成的角的大小．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若为的中点，，的面积为1，求．18.如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．（1）求证：平面；（2）求证：是直角三角形；（3）求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．19.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，且外接圆的圆心为，．（ⅰ）证明：．（ⅱ）记的面积为，求的最小值．

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的除法运算结合复数的概念即可求解.解答过程：，所以的虚部为.2.已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知圆锥的底面半径，高，则圆锥的母线长，圆锥的侧面积.3.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先计算，再利用正弦定理求即可.解答过程：依题意，，由知，.4.已知平面向量，，若与共线，则（）A.0 B.1 C.或1 D.0或1答案：C解析：解答过程：因为平面向量，，则，，若与共线，则，解得.5.已知，为单位向量，且向量与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在上的投影向量为.6.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于、的任意一点，则图中互相垂直的平面有（）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对答案：B解析：思路：利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆周角定理及面面垂直的判定定理进行推导判断．解答过程：因为垂直于圆所在的平面，且平面，平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，平面平面，这里有2对；因为是圆的直径，为圆上异于，的任意一点，所以，又因为平面，所以，所以平面，又因为平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这里有1对．综上所述，图中互相垂直的平面共有3对，故选：B．7.如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成左右两部分，体积分别为和，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件确定几何体的形状，再利用柱体、台体的体积公式求解判断.解答过程：在三棱柱中，由分别为的中点，得的延长线交于一点，则几何体为三棱台，令，该三棱柱的高为，则，，，所以.8.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（

）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：由条件先判断出是的重心，再求出的取值范围，即可求解.解答过程：因为是内一点，且，所以为的重心.又因为点在内，所以考虑在边界上取值情况，当点与点重合时，最小，此时，所以，即；当点与点重合时，最大，此时，所以，即.因为点在内且不含边界，所以，所以的值可能为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，下列说法正确的是（）A.是实数B.C.D.设在复平面内对应的点为，若，则点的集合构成的图形的面积为答案：ABD解析：思路：设，再根据复数的运算和几何意义逐项判断.解答过程：设，则是实数，故A正确；，故B正确；，，所以，故C错误；由，则点的集合构成的图形为以原点为圆心，以2为半径的圆减去以原点为圆心，以1为半径的圆的圆环，所以其面积为，故D正确；10.已知，，分别为三个内角，，的对边，则根据下列条件能确定为钝角的是（）A. B.，均为锐角，且C. D.答案：AD解析：思路：A.由平面向量的数量积运算判断；B.由，利用正弦函数的单调性得到判断；C.由，得到，利用余弦定理判断；D.由，切化为弦，利用两角和的余弦公式判断；解答过程：A.，因为，所以，又，所以C为钝角，则,故正确；B.因为，均为锐角，且，，又在上递增，所以，则，又，所以，故错误；C.由，得，所以，因为，则，故错误；D.因为，，均为内角，所以同号，因为三角形中最多有一个钝角，所以A，B均为锐角，则，由得，即，又，所以，即，即，则，因为，所以C为钝角，故正确.11.如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（）A. B.C.点在底面的射影在线段上 D.三棱锥的外接球的表面积为答案：BCD解析：思路：对于A，根据空间向量的线性运算求解判断即可；对于B，根据空间向量的数量积运算律及模长公式求解判断即可；对于C，连接，设，连接，可证明，，可得平面，则点在底面的射影为点，进而判断即可；对于D，结合C可知三棱锥的外接球的球心为点，半径为，进而结合球的表面积公式求解判断即可.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，由A知，，而，，，则，故B正确；对于C，连接，设，连接，由题意，四边形为正方形，则，，而，，则为全等的等边三角形，所以，而为的中点，则，即，则，即，因为平面，所以平面，则点在底面的射影为点，所以点在底面的射影在线段上，故C正确；对于D，由C知，则三棱锥的外接球的球心为点，半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________．答案：0解析：解答过程：因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.代入，，得，整理得，解得.13.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________．答案：##解析：思路：根据等体积法，即可求解.解答过程：连接，，如图所示，设点到平面的距离为，则，又长方体中，，，为的中点，所以，所以，所以，又长方体中，平面，所以，所以，解得，即点到平面的距离为.14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若的面积，则_________．答案：解析：思路：先通过向量等式确定三角形为等腰三角形，再结合面积条件推导出其为等腰直角三角形，最终由勾股定理求得边长b.解答过程：由题意得，即，即，即，因为，所以，所以，所以，，同时，联立得，即，即，因为，所以，由上知是等腰三角形，所以，则，则，解得.四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，，，且，为的中点．（1）求证：平面；（2）若面，，，求直线与所成角的余弦值．答案：（1）取中点，连接.由中位线性质：为的中点且，已知且，则且，故四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.（2）解析：思路：（1）取中点，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论；（2）建立空间直角坐标系，得出和的坐标，根据夹角余弦公式求出余弦值.（1）略（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.各点坐标：，，，，，故，，直线与所成角的余弦值为.16.如图，正方体的棱长为2，为的中点，在线段上．（1）若平面，求证：是的中点；（2）求直线和平面所成的角的大小．答案：（1）因为平面，平面，且平面平面，所以，而为的中点，则是的中点.（2）解析：思路：（1）由平面，根据线面平行的性质可得，进而结合为的中点即可求证；（2）连接交于点，连接，先证明平面，可得直线和平面所成的角为，进而求解即可.（1）略（2）连接交于点，连接，在正方体中，四边形为正方形，即，又平面，平面，所以，因为平面，所以平面，则直线和平面所成的角为，因为正方体的棱长为2，所以，即，而，则在中，，即直线和平面所成的角为.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若为的中点，，的面积为1，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解．（1）由正弦定理得，，因为，所以，所以，又，所以．（2）由题得，，，则，所以，因为，所以，所以．18.如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．（1）求证：平面；（2）求证：是直角三角形；（3）求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．答案：（1）在直三棱柱中，连接，由，得四边形为正方形，则，而平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，而平面，则，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，而平面，所以，即是直角三角形.（3）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质推理得证.（2）由（1）的结论，利用线面垂直的性质、判定推理得证.（3）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出相关点的坐标及平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出范围.（1）略（2）略（3）在直三棱柱中，由（2）知直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，令，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面，即平面，设其法向量为，则，取，得，设平面与平面的夹角为，因此，由，得，则，，即，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是.19.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，且外接圆的圆心为，．（ⅰ）证明：．（ⅱ）记的面积为，求的最小值．答案：（1）（2）（i）由，因为O为外接圆圆心，即外心，所以，，由余弦定理得，，所以，得证；（ⅱ）解析：思路：（1）由余弦定理角化边得到，再结合余弦