广东省中山市2025~2026学年高二下册期末综合练习数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若是2和18的等比中项，则实数的值是（）A.6 B.或6 C.10 D.或102.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.3.已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（）A. B.2 C. D.4.已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5.离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.6.某公司人力资源部决定安排5名同事到3个人才市场进行人员招聘，每人只去一个人才市场，每个人才市场至少安排1人，则不同的安排方式共有（）A.80种 B.150种 C.240种 D.360种7.某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（

）A. B. C. D.8.已知函数只有极小值，则一定有（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件，满足，，，则（）A. B. C. D.10.设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（）A. B.C. D.11.三次函数有且仅有两个零点，（），且，则（）A.B.的图象关于点对称C.D.在区间（）上有最大值，则m的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和，则的通项公式为________．13.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______．14.已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．（1）求k的值；（2）求数列的通项公式．16.在的展开式中，第三项的二项式系数为15.（1）求n的值并求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数.17.流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他人的可能性越高.现抽样300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出样本潜伏期的平均数为2，方差为，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联表：年龄潜伏期合计长潜伏期非长潜伏期低年龄段40100140高年龄段30130160合计70230300（1）根据小概率值的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关.（2）假设潜伏期X服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差.①医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，问当k为何值时，取最大值.附：，，0.100.050.0102.7063.8416.635若，则，，.参考数据：，，.18.现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．19.已知，函数.（1）证明：有唯一的极大值点和极小值点.（2）记的极大值点为，极小值点为.（i）求的最小值；（ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若是2和18的等比中项，则实数的值是（）A.6 B.或6 C.10 D.或10答案：B解析：思路：根据等比中项的性质有，即可求参数值.解答过程：由题设.故选：B2.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数公式直接计算即可.解答过程：由解析式知，所以.故选：B3.已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（）A. B.2 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，所以，故是周期为3的周期数列，且，所以.4.已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.解答过程：由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，，时，，时，，所以不等式的解集为.故选：C.5.离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误.解答过程：由题设，则，A对；由，则，联立，所以，则，D错；，B对；，C对.故选：D6.某公司人力资源部决定安排5名同事到3个人才市场进行人员招聘，每人只去一个人才市场，每个人才市场至少安排1人，则不同的安排方式共有（）A.80种 B.150种 C.240种 D.360种答案：B解析：思路：将5人分为一组3人，其余两组各1人，或两组各2人，剩余一组1人，两种情况，再应用排列组合数求不同安排方式种数.解答过程：将5人分为三组，共有两种情况：①一组3人，其余两组各1人，则有种；②两组各2人，剩余一组1人，则有种．故共有种不同的安排方式.故选：B7.某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据回归直线过样本中心，先求，由误输入的平均数求得，进一步求修正后的样本中心坐标，代入线性回归方程求值.解答过程：样本点的中心为，代入，可知，假设甲输入的为，为所以，，得，，改为正确数据时，，样本点的中心为，将其代入回归直线方程得.故选：D8.已知函数只有极小值，则一定有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：已知函数只有极小值，根据的导数符号的变化规律确定参数的正负.解答过程：函数的定义域为，，因为函数只有极小值，所以在上只有一个变号零点，即方程在上有且仅有一个正根，设，当时，，若，则，要使，，此时，当时，，当时，，函数只有极小值，当时，函数的图象开口向上，对称轴，则时，函数的图象与轴在上有且仅有一个交点，设交点为，则时，，时，，函数只有极小值，当时，函数的图象开口向下，函数的图象与轴在上有一个交点、两个交点或没有交点，此时函数没有极小值，综上，函数只有极小值，则一定有.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：对于A选项，利用概率的乘法公式，即可求解；对于B、C选项，利用条件概率的性质，即可求解；对于D选项，利用全概率公式，即可求解.解答过程：对于A选项，，所以A选项正确；对于B选项，，所以B选项错误；对于C选项，，所以C选项正确；对于D选项，，则，所以D选项正确．故选：ACD．10.设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：举反例可判断，；根据等差数列前n项和公式可判断，.解答过程：对于，，当时，，，，，故错误；，故错误；对于，，当为任意实数时，，，所以，故正确；，故正确.故选：.11.三次函数有且仅有两个零点，（），且，则（）A.B.的图象关于点对称C.D.在区间（）上有最大值，则m的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A选项，首先通过导数求解函数的单调性及极值，然后根据函数仅有两个零点求解参数的值即可；对于B选项，首先根据函数解析式，可得：，进而求得函数的对称中心为，即可判断选项正误；对于C选项，根据已知条件分别求解出函数的两个零点，进而判断选项正误；对于D选项，根据区间为开区间，因此若想让在区间（）上有最大值，只能让函数在极大值点处取得最大值，进而根据函数单调性及极值点的位置求解参数取值范围.解答过程：对于A选项，由，则，令，则或，故在上单调递增，在单调递减，在单调递增，极大值，极小值，由有且仅有两个零点，则有，所以，故A正确；对于B选项，即函数，则的图象关于点对称，故B错误；对于C选项，已知，的极大值点就是一个零点，另一个零点是，所以，故C正确；对于D选项，已知在上单调递增，在单调递减，在单调递增，当时函数取得极大值，且函数，要使在区间上有最大值，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和，则的通项公式为________．答案：解析：思路：降次作差再验证即可.解答过程：，当时，，由于也适合此等式，∴．故答案为：.13.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：结合已知根据导函数符号判断为增函数，然后利用单调性解不等式即可.解答过程：由，得，所以，即为增函数，而，所以即，则，解得，所以不等式的解集为．故答案为：14.已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________．答案：解析：思路：求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望，利用计算出答案.解答过程：因为，所以随机变量X可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为种，时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；②三个数中有两个1，有种，所以时，，时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；②三个数中有两个2，有种，所以是，，所以，，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．（1）求k的值；（2）求数列的通项公式．答案：（1）2；（2）.解析：思路：（1）运用代入法进行求解即可；（2）通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前项和公式进行求解即可.（1）当时，，当时，；（2）因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，，所以，所以，则16.在的展开式中，第三项的二项式系数为15.（1）求n的值并求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数.答案：（1），常数项为.（2）解析：思路：第(1)问由第三项的二项式系数确定n，再由通项求常数项；第(2)问将展开，分别求出产生的项的系数后相加.（1）在的展开式中，第三项的二项式系数为，所以即解得.因此展开式的通项为令，得，所以常数项为（2）求展开式中的系数，需要分别求出展开式中与的系数.当时，，所以的系数为当时，，所以的系数为因此，原展开式中的系数为方法提示：求二项展开式中的常数项或指定项系数时，关键是先写出通项，再由幂指数满足条件求出对应的k值.17.流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他人的可能性越高.现抽样300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出样本潜伏期的平均数为2，方差为，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联表：年龄潜伏期合计长潜伏期非长潜伏期低年龄段40100140高年龄段30130160合计70230300（1）根据小概率值的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关.（2）假设潜伏期X服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差.①医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，问当k为何值时，取最大值.附：，，0.100.050.0102.7063.8416.635若，则，，.参考数据：，，.答案：（1）依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关（2）①因为，，所以，这说明潜伏期超过5天的概率极低，因此隔离5天可以极大程度上排除发病可能是合理的②时取得最大值解析：思路：(1)利用公式计算后与临界值比较即可；(2)①利用计算正态分布概率；②符合二项分布，表示出其概率，利用最大项方法求出最大时的取值.（1），所以依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关；（2）①略；②从样本数据中估计“长潜伏期”的概率为，设为800个病例中属于“长潜伏期”的个数，即，，要使取最大值，则，即，解得，即.故时取得最大值.18.现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．答案：（1）（2）分布列：123P（3）解析：思路：(1)由古典概率模型进行求解；(2)可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；(3)记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，，，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此．方法提示：关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，