广西壮族自治区贵港市2025~2026学年高一下册期末学科素养检测（二）数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则（）A.0 B.1 C. D.23.某市某月天的空气质量指数如下：则这组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.4.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）A. B. C. D.5.若，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.在边长为1的等边三角形中，的值为（）A. B. C. D.7.已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.，则B.与异面，，则不存在，使得C.，则D.，则8.掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数（），则（）A.当z为实数时，B.当z为纯虚数时，C.当z的实部与虚部相等时，D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限10.下列命题正确的是（）A.若事件两两互斥，则成立.B.若事件两两独立，则成立.C.若事件相互独立，则与也相互独立.D.若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.11.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为D.若，则的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知球的体积为，则该球的半径为___________.13.甲､乙两人独立地解同一道题，甲､乙解对此题的概率分别是，，那么两人都解错的概率是__________.14.在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数，其中．已知的最小正周期为，且．（1）求的解析式及的对称轴；（2）若在区间上的值域为，求的取值范围16.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．18.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（1）求证：//平面（2）求证：平面（3）求直线与平面所成角的大小.19.在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）若向量，求实数的值；（2）若点在边上，且，求的值；（3）若，，且，求实数的值.

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意知：集合，，所以2.已知，，则（）A.0 B.1 C. D.2答案：C解析：思路：利用共轭复数的定义及复数模的计算公式，求解即可.解答过程：由，得，因此.3.某市某月天的空气质量指数如下：则这组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知数据升序排列为：，样本量为，第百分位数的位置为：，为整数时，第百分位数取第和第项数据的平均值，第百分位数为：．4.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出平行四边形的面积，再根据直接求解.解答过程：因为四边形是平行四边形，且，，所以平行四边形面积根据直观图与原图面积关系，所以.故选：5.若，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由条件可得，利用基本不等式求其最小值.解答过程：由题意，，，，∴，当且仅当，即时，代入解得时等号成立则的最小值为.6.在边长为1的等边三角形中，的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用向量数量积的定义式可求答案.解答过程：因为是边长为1的等边三角形，所以.7.已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.，则B.与异面，，则不存在，使得C.，则D.，则答案：A解析：思路：由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.解答过程：对于A，因为，如下图，若分别为面、面、面，且为，显然面，则，故A正确；对于B，如下图，为直线，为直线，为直线，取的中点，连接，所以四边形为，存在，使得，故B错误；对于C，若，则相交、平行、异面，所以C错误；对于D，若，则，所以D错误.故选：A.8.掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解.解答过程：掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件，去掉点数一样的基本事件，得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个，其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个，由古典概型可得.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数（），则（）A.当z为实数时，B.当z为纯虚数时，C.当z的实部与虚部相等时，D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断.解答过程：对于A，复数是实数，则，A正确；对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确；对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误；对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解，因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.故选：ABD10.下列命题正确的是（）A.若事件两两互斥，则成立.B.若事件两两独立，则成立.C.若事件相互独立，则与也相互独立.D.若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.答案：ACD解析：思路：利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D.解答过程：对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥，所以，，因此A正确；对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件两两独立，但不互相独立，所以，因此B错误；对于C，若事件相互独立，则，又，，则，因此C正确；对于D，若，事件相互独立，则，若互斥，则，因此D正确.故选：ACD.11.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为D.若，则的最大值为答案：ABD解析：思路：由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断D．解答过程：对于A，由题意得，故A正确；对于B，由A知，，则，故B正确；对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，设，所以，当时，的最大值为5，故C错误；对于D，由题意得，可得，因为，所以，，因为，所以当时，取得最大值，故D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知球的体积为，则该球的半径为___________.答案：3解析：思路：直接利用球的体积公式即可求得.解答过程：设该球的半径为r，则，解得：r=3.故答案为：3.13.甲､乙两人独立地解同一道题，甲､乙解对此题的概率分别是，，那么两人都解错的概率是__________.答案：解析：思路：设甲、乙解对题分别为事件A，，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.解答过程：设甲、乙解对题分别为事件A，，则事件两人都解错可表示为则，可得,所以事件两人都解错的概率是.14.在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______.答案：解析：思路：设平面交于点，可知平面截正四棱柱所得截面为平面，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积．解答过程：在正四棱柱中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，在中，，，同理，截面是边长为的菱形，，，所以截面面积．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数，其中．已知的最小正周期为，且．（1）求的解析式及的对称轴；（2）若在区间上的值域为，求的取值范围答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴.（2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案.（1）因为的最小正周期为，所以，解得，又因为，即，且，所以，所以的解析式为，令，解得，所以的对称轴为.（2）由（1）知，当时，，因为在区间上的值域为，所以，解得，所以的取值范围.16.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.答案：（1），完成年度任务的人数为.（2）第1组应抽取的人数为，第2组应抽取的人数为，第3组应抽取的人数为，第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为；（3）.解析：解答过程：分析：(1)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数，（3）先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：（1）∵，∴，完成年度任务的人数为.（2）第1组应抽取的人数为，第2组应抽取的人数为，第3组应抽取的人数为，第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为；（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为，，；第5组有3人，记这3人分别为，，；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个，故所求概率为.点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数;频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得，从而得到角的大小；（2）由余弦定理和基本不等式即可求出的范围，再根据三角形的面积公式求出面积的范围.（1）由题意得，由正弦定理得，又因为，则有，由于，则有，而，所以在中，.（2）由（1）得，，根据余弦定理有，代入得，即，当且仅当时取等号，所以，因此面积的最大值为.18.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（1）求证：//平面（2）求证：平面（3）求直线与平面所成角的大小.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；（3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解.（1）连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）由题意可得平面，又平面，所以，又为的中点，，所以，因为，，平面，所以平面.（3）由（2）知平面，所以直线在平面的射影为，所以即为所求的线面角，在中，，，为的中点，所以，所以，在直角三角形中，，