广西壮族自治区桂林市2025~2026学年高二下册非毕业年级日常考试卷库卷数学试卷【附解析】

数学（考试用时120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则（）A.4 B.6 C.8 D.92.已知函数，则（）A. B. C. D.3.从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动，则不同的选法共有（）A.84种 B.80种 C.40种 D.20种4.已知向量，则（）A. B. C. D.5.记为数列的前n项和，已知，则（）A.18 B.54 C.81 D.1626.若随机变量X服从二项分布，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.7.已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（）A.2 B. C.4 D.58.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线：，圆：，则（）A.圆的半径为B.圆心坐标为C.当直线平分圆时，D.当直线与圆相切时，10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若是等差数列，，则C.若是公比为的等比数列，，，，则D.若，则11.已知，函数有两个极值点，则（）A.实数的取值范围是B.曲线的对称中心的横坐标为C.存在实数，使得是的极大值点D.当时，经过点的切线有且只有1条三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最小值___________13.2026年是“十五五”开局之年．某市围绕新型工业化，重点打造“新能源装备与先进制造”产业集群．统计部门将该产业集群2025年的产值标准化为1．从2026年起，该产业集群每年的产值比上一年增长．从2026年到2030年，该产业集群5年的累计总产值约为___________．（保留一位小数，取）14.双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知等差数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．16.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，．（ⅰ）求点的坐标；（ⅱ）求的面积．18.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，，且，证明：．19.已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球．（1）经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望；（2）记第次摸球后，游戏结束的概率为．（ⅰ）求；（ⅱ）求关于的表达式．

数学（考试用时120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则（）A.4 B.6 C.8 D.9答案：B解析：思路：根据通项公式代入计算可得.解答过程：因为，所以.故选：B2.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导后代入计算即可得.解答过程：，则.3.从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动，则不同的选法共有（）A.84种 B.80种 C.40种 D.20种答案：C解析：解答过程：从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动，有种不同的选法.4.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：代入空间向量模的公式即可求出答案.解答过程：,.5.记为数列的前n项和，已知，则（）A.18 B.54 C.81 D.162答案：D解析：思路：应用，再结合等比数列定义及通项公式计算求解.解答过程：当时，，解得；当时，，化简得，即数列是首项为2、公比为3的等比数列，故.6.若随机变量X服从二项分布，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：A选项，，A错误；B选项，，故，B正确；C选项，，C错误；D选项，，D错误7.已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（）A.2 B. C.4 D.5答案：A解析：思路：根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.解答过程：点在抛物线上，，则，又抛物线：的焦点，故．8.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，求导，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，进而求解得到实数的取值范围解答过程：不等式，恒成立，即，即在时恒成立令

，则，即得在上单调递增，而，即，故可得在时恒成立，即在时恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，故，即实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线：，圆：，则（）A.圆的半径为B.圆心坐标为C.当直线平分圆时，D.当直线与圆相切时，答案：ABC解析：思路：配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D.解答过程：由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确；当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错.10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若是等差数列，，则C.若是公比为的等比数列，，，，则D.若，则答案：ABD解析：思路：对于A，利用与求出即可判断；对于B，利用等差数列前和公式求解即可，对于C，联立，解方程组即可求解；对于D，利用与求出，结合等比数列的通项公式求解即可.解答过程：对于A，当时，，当时，，验证时，，满足，所以，是首项为1，公差为2的等差数列，故A正确；对于B，由，解得，故B正确；对于C，联立，化简得：,解得：（舍去）或，所以，故C错误；对于D，当时，，当时，，验证时，，满足，所以，是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确.11.已知，函数有两个极值点，则（）A.实数的取值范围是B.曲线的对称中心的横坐标为C.存在实数，使得是的极大值点D.当时，经过点的切线有且只有1条答案：AC解析：思路：根据极值点定义即可判断A；根据中心对称定义、二阶导数零点均可判断B；先代入求出,再根据极值的单调性可判断C；过已知一点可求出切线方程，即可判断D.解答过程：对于A：因为有两个极值点，所以有两个不等的实数解，即，又已知解得，A正确；对于B：法一：(定义法），不是一个与无关的定值，法二：（二阶导数零点法），令得，B错误；对于C：若是极大值点，则，即，解得，此时解得或，当时，，单调递增当时，，单调递减当时，，单调递增，所以是的极大值点，C正确；对于D.：时，，,设切点横坐标为，切线斜率，切点坐标为，切线方程为，代入点化简得，因式分解得，解得或，即切线有两条，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最小值___________答案：解析：思路：首先利用导数判断函数的单调性，再判断函数的最小值.解答过程：，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当，函数取得最小值.故答案为：113.2026年是“十五五”开局之年．某市围绕新型工业化，重点打造“新能源装备与先进制造”产业集群．统计部门将该产业集群2025年的产值标准化为1．从2026年起，该产业集群每年的产值比上一年增长．从2026年到2030年，该产业集群5年的累计总产值约为___________．（保留一位小数，取）答案：解析：解答过程：根据题意可得年产值为,所以该产业集群5年的累计总产值是首项为,公比为，项数为的等比数列的和；即为，所以该产业集群5年的累计总产值约为.14.双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________．答案：解析：思路：由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率.解答过程：，，，，则，其中，所以，且，所以，由题意得，，，整理得，即，因为，所以，即，即，则.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知等差数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式；（2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可.（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，所以.（2）由（1）知，则，所以，得.16.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为底面，底面，所以，又因为，，且平面，所以平面，又平面，所以，又因为，是的中点，所以，又，，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）证明出和，证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的向量公式进行求解（1）略（2）不妨设，因为底面，平面，所以，，且底面是正方形，所以，，三条直线两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，由（1）得是平面的一个法向量，所以，平面与平面夹角的余弦值为.17.已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，．（ⅰ）求点的坐标；（ⅱ）求的面积．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）设点，可得，化简可得动点的轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，且，从而可得直线：，与椭圆方程联立可解得点的坐标；（ⅱ）同上求出点的坐标，即可得，再求面积.（1）设，由题意有，化简得：，即，，故所求动点的轨迹方程为；（2）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，则，所以，又，所以，得，故，，因为，所以直线：，即，（ⅰ）联立，得，化简得，解得或（舍去），故；（ⅱ）直线：，即，联立，得，化简得，解得或（舍去），故，所以，，因为，所以，故的面积是.18.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，，且，证明：．答案：（1）（2）当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，在，上单调递增，在上单调递减（3）由得，，即由于，，所以，所以，令，则，，所以，所以方法一：要证，即证，即证，令，则，显然所以在上单调递减，所以，即恒成立，即成立方法二：要证，即证，即证，令，则，令，则，当时，恒成立，在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，在上单调递增又，所以在恒成立，即在上恒成立，即成立．解析：思路：（1）代入参数后对原函数求导，计算出处的导数值作为切线斜率，最后结合切点坐标即可求得切线方程.（2）对函数求导并通分后，通过对分子二次函数的判别式进行分类讨论，再结合定义域判定导函数的符号，从而确定原函数的单调区间.（3）已知指数等式两边取对数转化为代数关系，利用换元法将双变量问题转化为单变量问题，最后构造函数并通过导数证明其单调性与最值.（1）当时，，，此时切点坐标为，，，即切线斜率为0所以切线方程为．（2），令，则①当即时，恒成立，即恒成立，在上单调递增，②当即或时，令得，，若，则，当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，若，则，由知时恒成立，即恒成立，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，在，上单调递增，在上单调递减.（3）略19.已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球．（1）经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望；（2）记第次摸球后，游戏结束的概率为．（ⅰ）求；（ⅱ）求关于的表达式．答案：（1）246；（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）分类讨论两次摸球红黑组合，算出对应红球个数的概率，再按期望公式求值；（2）（ⅰ）第4次结束代表前3次摸出2个黑球、第4次摸最后1个黑球，分三类位置求概率再相加；（ⅱ）分首次摸到红球和黑