广西壮族自治区柳州市2025~2026学年高二下册7月期末质量检测数学试卷【附解析】

数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.5 B. C.2 D.13.已知一组数据，，，的平均数为5，则该组数据的第25百分位数为（）A.2 B.3.5 C.5 D.64.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（）A. B. C. D.6.某工厂的产量（单位：件）与资本投入（单位：万元），劳动投入（单位：人）满足柯布—道格拉斯生产函数（其中，，为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使工厂的产量提升，资本投入需增加，则该工厂资本产出的弹性系数约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.7.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（）A. B. C. D.8.已知，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设事件满足，，则下列结论正确的是（）A. B.若，互斥，则C.若，独立，则 D.若，则，独立10.若，是两条互相垂直的异面直线，，，，是四个不同的点，满足，，，，且，，，则（）A.直线与是异面直线 B.C.若，则 D.若为中点，则11.已知曲线，则（）A.曲线的图象有且仅有条对称轴B.曲线上任意一点到原点的最大距离为C.曲线所围成图形的面积为D.函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________.13.已知圆锥与圆柱的底面积相等体积也相等、若圆柱的高与底面圆的半径相等，则圆锥与圆柱的侧面积的比值为______．14.甲乙两人进行抽卡游戏，每一局游戏中，将编号为，，，，，，的7张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记为甲抽取的卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为______，游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后，甲乙两人得分之和为的数学期望______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16.已知函数．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．（1）设，若在上单调递减，求的取值范围；（2）设的内角所对的边分别为，若，求面积的最大值．17.如图，和都垂直于平面，且，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）若为直角三角形，求直线的斜率；（3）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？19.已知．（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求证：在只有一个零点，且．

数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得集合，因为集合，所以.2.已知，则（）A.5 B. C.2 D.1答案：B解析：解答过程：由题意可得，所以.3.已知一组数据，，，的平均数为5，则该组数据的第25百分位数为（）A.2 B.3.5 C.5 D.6答案：B解析：思路：根据平均数先求，再根据百分位数定义即可求解.解答过程：由题意得：，由，所以该组数据的第25百分位数为.4.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：思路：根据不等式的性质逐一验证即可求解.解答过程：对于A，由，所以，故A错误；对于B，由，所以，，所以，故B错误；对于C，若，由，所以，故C错误；对于D，若，则，故D正确.5.已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件，通过赋值法得展开式中各项系数之和为，再利用基本不等式，即可求解.解答过程：令，可得的展开式中各项系数之和为，因为，则，当且仅当时取等号，所以，即关于的展开式中各项系数之和的最小值为.6.某工厂的产量（单位：件）与资本投入（单位：万元），劳动投入（单位：人）满足柯布—道格拉斯生产函数（其中，，为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使工厂的产量提升，资本投入需增加，则该工厂资本产出的弹性系数约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.解答过程：因为，所以当工厂的产量提升，资本投入需增加时，则有，，得，，.7.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由面积关系得到，从而确定关系，再逐项分析即可.解答过程：将代入椭圆方程中，解得：，因为在第一象限，所以，所以坐标为：，由，又，因此，由，的边的长为，高为的横坐标，故，代入中得：，从而可得：，又因为，所以，即，对于A，由，满足，故A正确；对于B，由，不满足，故B错误；对于C，将化为标准形式为：，由，满足，故C正确；对于D，将化为标准形式为：，由，满足，故D正确.8.已知，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，构造函数，利用的单调性将不等式转化为即可求解.解答过程：已知函数，令，构造新函数，则，因此，，要满足，即满足，由于指数函数在实数集上单调递增，一次函数也在实数集上单调递增，所以在实数集上单调递增，所以不等式等价于，解得，所以的取值范围是，故C正确.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设事件满足，，则下列结论正确的是（）A. B.若，互斥，则C.若，独立，则 D.若，则，独立答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为，，则，所以A错误，对于B，因为，互斥，则，所以B正确，对于C，因为，独立，则，所以C正确，对于D，因为，又，所以，则，独立，故D正确.10.若，是两条互相垂直的异面直线，，，，是四个不同的点，满足，，，，且，，，则（）A.直线与是异面直线 B.C.若，则 D.若为中点，则答案：ABD解析：思路：建立适当空间直角坐标系后，借助异面直线定义、空间向量的数量积公式、模长公式等逐项计算并判断即可得.解答过程：以为原点，为轴，为轴，为过点且平行于轴的直线，建立空间直角坐标系，则，，设，；对A：由图可知，直线与直线不平行且不相交，故直线与直线是异面直线，故A正确；对B：，，则，故B正确；对C：若，则，，故，则，故C错误；对D：若为中点，则，则，，则，故D正确.11.已知曲线，则（）A.曲线的图象有且仅有条对称轴B.曲线上任意一点到原点的最大距离为C.曲线所围成图形的面积为D.函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点答案：BCD解析：思路：通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案.解答过程：已知曲线，当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线为原点；因此，画出曲线的图象，如图所示，对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误；对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则，由于，所以，当且仅当时取等号，则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确；对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成，因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确；对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示，当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点；当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点；因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点，根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点，所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：思路：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．解答过程：由曲线，则，所以，故曲线在点处的切线方程为：，即.故答案为：.方法提示：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．13.已知圆锥与圆柱的底面积相等体积也相等、若圆柱的高与底面圆的半径相等，则圆锥与圆柱的侧面积的比值为______．答案：解析：思路：根据题意，利用圆柱和圆锥的体积公式和侧面积公式，进行计算，即可求解.解答过程：设圆柱的底面圆的半径为，高为，圆锥的底面圆的半径为，高为，因为圆柱的高与底面圆的半径相等，可得，又因为圆锥和圆柱的底面圆的面积相等，可得，所以，因为圆锥和圆柱的体积相等，可得，即，解得，又由圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥与圆柱的侧面积的比为.14.甲乙两人进行抽卡游戏，每一局游戏中，将编号为，，，，，，的7张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记为甲抽取的卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为______，游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后，甲乙两人得分之和为的数学期望______．答案：①.②.##解析：思路：设甲抽到取2张卡片为，计算出的所有可能种数及符合的所有可能种数，即可得空一；再由一局游戏成为“默契局”的概率可计算出每局甲乙两人得分之和的数学期望，即可得三局游戏后，甲乙两人得分之和的数学期望.解答过程：设甲抽取的2张卡片为，则的可能种数为，若，则时，为，为；时，可为，，可为，；时，可为，，，可为，，；时，可为，，，，可为，；时，可为，，，，，可为；故一局游戏成为“默契局”的概率为；每局甲乙两人得分之和的数学期望为，则三局游戏后，甲乙两人得分之和为的数学期望.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列前项和与通项公式建立方程组求出基本量，进而求得数列的通项公式.（2）通过裂项相消法求解分式型数列的前项和（1）设等差数列的首项为，公差为.由，得化简得.由，得将代入上式，可得，.因此，.（2）由(1)得，裂项得数列的前项和.16.已知函数．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．（1）设，若在上单调递减，求的取值范围；（2）设的内角所对的边分别为，若，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，化简得到，得到，求得函数，结合余弦型函数的性质，即可求解；（2）由（1）得，求得，由余弦定理得，利用基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.（1）解：由函数，函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，令，解得，当时，函数的单调递减区间为，因为函数在区间上单调递减，所以，即实数的取值范围为.（2）解：由（1）知，可得，即，因为，可得，所以，解得，因为，由余弦定理得，即，由基本不等式知，当且仅当时，等号成立，可得，所以，可得所以面积的最大值为.17.如图，和都垂直于平面，且，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）取的中点，连接，，因为是的中点，则，，又因为和都垂直于平面，则且，可得，，可知四边形为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）作辅助线，根据平行性质可得，进而可证线面平行；（2）分析可知平面，平面，，，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角余弦值.（1）略（2）因为为正三角形，为中点，则.又因为平面，平面，则，且，，平面，可知平面，由题意可知：，，则，由（1）可知：，平面，所以平面，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，由题意可知：平面的法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）若为直角三角形，求直线的斜率；（3）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？答案：（1）；（2）或；（3）是定值1,理由如下：由（2）可知，且，，又因为，所以直线的方程为，令，得，即，所以，所以是定值1.解析：思路：（1）由题意可得，求出的值即可得答案；（2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解；（3）由