项目四：函数的最值与最优化模型

函数的最值与最优化模型——从理论到实践的优化之道课程名称高等数学/微积分核心专题课程适用对象职业本科理工科专业学生及进阶学习者授课教师资深数学讲师团队|深耕应用数学教育课程时间2026年6月|夏季学期核心课程模块教学目标知识目标理解函数最大值与最小值的概念，厘清其与函数极值的区别与内在联系；掌握闭区间上连续函数最值的求解步骤；熟悉利用导数工具解决实际应用问题中最值求解的核心思想与流程。能力目标能够运用导数知识建立数学模型，解决几何、物理及经济领域的实际优化问题；着力培养从实际情境中抽象问题、构建模型、分析求解并验证结论的工程思维与实践应用能力。思政目标通过古今中外的经典优化案例，感悟数学的逻辑之美与实用价值；从古代工匠智慧与现代工程实践中，汲取精益求精、追求卓越的工匠精神，树立严谨务实的科学态度。以知识学习为基础，以能力培养为核心，以价值塑造为引领，实现数学素养与人文精神的协同发展。课程目录01温故知新：回顾微分中值定理，从经典数学理论出发，自然引出实际优化问题的数学本质。02新知探索：深入剖析函数最值的核心概念，辨析极值与最值的区别和联系，建立清晰的认知框架。03方法精讲：系统讲解闭区间上连续函数最值的标准求解步骤，掌握临界点与端点函数值的判定方法。04思政融合：从赵州桥的拱券设计到现代建筑工程，感悟数学优化思想在中华民族智慧与现代科技中的传承。05应用天地：探讨最值原理在经济管理、工程设计、物理力学等多专业领域的真实应用案例，体会数学价值。06实战演练：通过精选的随堂练习题，在实践中巩固求解方法，强化对解题步骤规范性和准确性的训练。07总结反思：梳理本课知识脉络，对比不同场景下的解题策略，引导拓展思考，培养数学抽象与逻辑思维。08课后作业：布置分层作业与探究性问题，鼓励自主探究，进一步深化对函数最值理论的理解与灵活应用。温故知新-回顾与思考回顾：微分中值定理的核心内容

思考：定理的实际应用价值寻找函数的“山峰”与“谷底”

微分中值定理不仅能帮助我们严格判断函数的单调性，更是寻找极值点的关键工具。通过导数为零的点（驻点），我们可以定位函数变化趋势发生转折的关键位置。解决“最大”与“最小”的实际问题

极值点是求解最值问题的核心。无论是工程设计中的最优方案，还是经济决策中的成本控制，找到这些关键点，是从理论走向应用的重要一步。总结：从理解函数变化规律的理论，到掌握解决实际最值问题的方法，微分中值定理架起了理论与应用的桥梁。新课引入-生活中的优化问题01厂家的困惑设计500ml的圆柱形易拉罐，如何选择底面半径和高度，才能让用料最省，从而降低生产成本？02销售的策略新产品定价过高无人问津，过低则利润微薄。如何确定最佳零售价，以实现总利润的最大化？03工程师的挑战输油管道需经过不同成本的地形，如何规划从A地到B地的铺设路线，才能使总建设成本最低？这些问题都可以归结为在一定条件下，求某个函数的最大值或最小值问题，即数学中的最优化问题。今天我们就来探讨如何用微积分工具解决这类实际问题。新知探索-函数的最值概念01.定义解析：最大值与最小值

02.核心特征：全局性概念最值反映的是函数在整个定义域范围内的整体性质，而非局部某一点的附近情况。它关注的是函数图像在定义域上的最高点和最低点，是对函数值域边界的精准刻画。总结：最值是函数在定义域上的“极端值”，具有整体性和确定性。概念辨析-最值与极值定义范围：最值是整个定义域上的概念；极值则是在某点的邻域内讨论的局部概念。存在位置：最值可能出现在区间的端点或内部；而极值只能在区间内部取得，端点处无极值。数量特征：在一个闭区间上，最大值和最小值是唯一的；而极大值和极小值的数量可以不唯一。相互关系：区间上的最大值一定大于等于最小值；但极大值可能小于极小值，因为它们是不同局部的最值。

方法精讲-如何求闭区间上连续函数的最值？01理论依据闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。这是我们求解此类问题的根本前提，保证了最值的存在性，为后续寻找具体数值提供了理论支撑。02关键思路

03核心步骤Step1：找可疑点

求开区间内的所有驻点和不可导点。Step2：算函数值

计算可疑点及区间端点处的函数值。Step3：比大小

比较所有函数值，定最大与最小值。启发式教学-例题精讲(例1)

03.比较大小定最值将四个关键数值排序：-19<-3<1<17。通过直接比较，即可确定函数在闭区间内的最大值与最小值。

启发式教学-例题精讲(例2)

01.求导找驻点02.计算关键点函数值03函数图像

思政有机融入-从赵州桥到现代工程01案例引入：跨越千年的赵州桥智慧赵州桥的圆弧拱设计，从力学上分解垂直压力至桥墩，从材料上实现跨度与承重的最优平衡。这一巧思蕴含了朴素的“最值”思想——在约束条件下寻求最优解，是古人将自然规律与工程实践完美结合的典范。02古今一脉：现代工程的精神传承现代工程以精密数学模型和计算机技术优化设计，核心仍是“效率最高、成本最低、用料最省”。这种精益求精、追求极致的内核，正是我们要培养的工匠精神，也是数学思维在职业发展中的核心价值。河北赵县赵州桥（安济桥），始建于隋代，由李春设计建造。其敞肩圆弧拱的创新结构，不仅是中国桥梁建筑史上的奇迹，更是中华优秀传统文化中“尚巧工、求极致”精神的生动体现。应用天地-几何领域的优化01.最大体积问题(例3)

02.用料最省问题(例4)

应用天地-电学与经济领域的优化案例5：最大输出功率在电路设计中，电源输出功率的最大化是核心问题之一。通过微积分求极值，可得出负载电阻等于电源内阻时，系统效率达到最优。问题与建模：电源电动势为E，内阻为r，负载电阻为R。输出功率P(R)=(E²R)/(R+r)²。求解结论：当且仅当R=r时，输出功率取得最大值，此为电路匹配的重要黄金法则。案例6：利润最大问题生产管理中，次品率随产量增加而上升，直接影响盈利。利用导数工具建立利润函数模型，能精准计算出使日盈利额最大化的最优日产量。

应用天地-费用最省问题案例：利润最大化定价

构建数学模型

寻找最优解

核心价值：通过量化销量与价格的函数关系，用数学工具替代经验判断，精准制定商业决策中的最优定价策略。随堂练习

知识梳理-本节课核心内容01一个核心概念：函数的最值最值是函数在整个定义域区间上的全局性质，指函数在该区间内所能取到的最大数值和最小数值，是对函数整体变化趋势的刻画。02一个重要辨析：最值vs.极值极值是局部概念，仅在区间内部点取得；最值是全局概念，可在区间端点或内部点取得。极值不一定是最值，最值也不一定是极值，二者是局部与整体的关系。03一个核心方法：闭区间求最值三步法第一步，求导数并找出区间内的驻点和不可导点；第二步，计算上述可疑点及区间两个端点的函数值；第三步，比较所有计算出的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。04一个关键思想：最优化建模在解决实际应用问题时，核心是建立数学模型，将实际场景中的“最大、最小、最优”目标转化为函数的最值求解问题，从而用数学工具解决现实决策问题。反思与拓展思考一：从“单一因素”到“多元变量”今天探讨的多是单变量函数的最值问题，但现实中目标往往受多个因素制约（如盒子的长宽高设计）。这便引出了多元函数极值的核心概念，让我们能在多维空间中寻找最优解，是数学优化思维的进阶延伸。思考二：无处不在的“最值”思维实用场景：

物流配送的最短路径规划、投资组合的风险收益平衡，都是对“最值”思想的直接应用。前沿与日常：

AI模型训练的损失函数最小化、个人时间管理的效率最大化，让数学智慧真正融入生活。核心总结：最值原理不仅是抽象的数学理论，更是一种重要的决策思维方式。掌握它，能帮助我们在复杂多变的现实世界中，厘清关键因素，做出理性且最优的选择。布置作业基础巩固·夯实求最值方法

实际应用·建立数