八年级数学《三角形》单元自测卷（解析版）

第13章三角形单元自测卷

【新教材，人教版】

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

考前须知：

I.本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。

2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。

第I卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】根据三角形的分类可直接得到答案.

【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰

三角形和等边三角形，

则图中的A表示等腰三角形.

2.如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（）

A.三角形具有稳定性B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短D.两点确定一条直线

【答案】A

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.

【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性.

3.若三角形的两边长分别为6和8,则第三边的长度可能是（）

A.1B.2C.7D.15

【答案】C

【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度.

【详解】解：设三角形第三边的长度为x,

•・•三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为6和8,

:.8-6<x<8+6,即2Vx<14,

对比选项，只有7在该范围内，因此选C.

4.如图，下列说法错误的是（）

A.。产是△BDF的边B.NfBC是〜所。的内角

C.以NA为内角的三角形有3个D.以8c为边的三角形有3个

【答案】D

【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答.

根据三角形的内角和边判断即可.

【详解】解：A、DP是..BDF的边,说法正确，不符合题意；

B、N尸BC是二的内角，说法正确，不符合题意；

C、以乙4为内角的三角形有3个，分别为.AC。、//“£、ABC,说法正确，不符合题意；

D、以6。为边的三角形有4个，分别是「.06。、-EBC.△尸BC、,说法错i吴，符合题意:

故选：D.

5.等腰三角形的两边长分别为4和8,则该三角形的周长是（）

A.16B.20C.16或20D.12

【答案】B

【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可.

【详解】解：根据题怠,

2/21

①当腰长为8时，三角形三边分别为8,8,4,4+8>8,能组成三角形，则周长=8+8+4=20；

②当腰长为4时，三角形三边分别为8,4,4,4+4=8,不能组成三角形；

综上，则该三角形的周氏是20.

6.在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是

180。”的是（）

A.过点C作所〃A3

B.

C.

D.

【答案】D

【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角正行转化，再根据平角的定义逐一判断即可

得出答案.

【详解】VEF//AB,

I.ZEC4=ZA,ZFCB=ZB,

ZEC44-ZAC/?+ZFC«=l80°,

AZA+ZB+ZAC^=180°,故A选项不符合题意,

,:CE〃AB,

：.Z.FCE=4A/ECB=NB,

*CE+/ECB+ZACB=1期,

?.Z4+Zfi+ZACB=180°,故B选项不符合题意,

VDE//BC,DF//AC,

NADE=N及Z.BDF=ZA,ZC=ZAED,NAED=/EDF,

・•・ZC=ZEDF,

/LADE+ZEDF+ZLBDF=180°.

AZA+ZB+ZC=180°,故C选项不符合题意，

•・,DE//BC,

・•・/ADE=/B&ED=NC,不能证明“三角形的内角和等于18（）。”故D选项符合题意.

7.如图，在AABC中，ZA=90°,D,E是边A3,4c上两点，将AABC沿OE翻折，使点A落在点尸处,

DF交BC于点、G.若AC〃。/，NB=a,则/CM的度数为（）

A.laB.90O-2aC.45°+aD.45°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可.

【详解】解：•・•在V4BC中，4=90。，/B=a,

・•・ZC=90°-a,

•••折叠，

Z.F=NB=a,

•・•AC//DF,

・•・/DGB=NC-a,

・•・/尸GE=1800-NDGB=a+90。，

・•・ZCEF=180o-a-90°-a=90°-2a.

8.如图，为aABC的中线，AE为AAbZ）的中线，"为△AEC的中线，若'△A£F的面积为2cm,,则

C.16cm2D.18cm'

4/21

【答案】A

2

【分析】先由AF为AAEC的中线，求出SACE=2s诋=4cm,根据AE为△A8O的中线可得S_=SABE

SCDE=SBCE，进而即可求解.

【详解】解：•・•天■为△4EC的中线，的面积为2cm2,

•*-sACE=2S皿=4cm~,

丁AE为△4，。的中线，

••SA［）E=SABE,sCDE=SBCE，

••SACE=SADE+SCDE=mSARC，

SABC=2sACE=8cm2•

9.如图./\ABC中.Z4C/?=90c.0是AC延长线卜一点，/昉744干凡加交AC干E.图中有（）

个直角三角形.

【答案】C

【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数.

【详解】解：./4。8=90。，

.【ABC是直角三角形，

。是8c延长线上一点，

NECD=180°-NACB=90°,

・•.,石8是直角三角形，

DF.LAB,

：.NAFE=NBFD=90°,

/..AFE^IABFD都是直角三角形，

综上所述，图中的直角三角形有VA8C、..EC。、AAFE.4BFD,共4个.

10.如图，点E在A4的延长线上，EC与A。交于点尸，且NE=NDCE,NB=N£>,NEfA是NFCB的

余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段用4上一点且满足NMN/=NM/W,/K平分

ZEFM.下列结论：①BE*CD；②AOCB-③&V平分NABW；@ZD+ZE=105°；⑤NKFN=30。.其

中结论正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得BECD,

故①正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得AQKC,改②正确；根据两直线平行，内错角相等，

可得：/MNF="FN,又因为NMNF=/MFN,等量代换可得：乙\FN=4MFN,故③正确；根据两宜

线平行，内错角相等，可得：”=/W，根据两直线平行，内错角相等，可得：NEFA=NECB,又因

为㈤羽是NFC3的余角的5倍，可以求出NEE4=75。，从而可得：NO+NE=105。，故④正确；根据角

平分线的定义可得：^MFK=+ZAFM）,乙MEN.幺府,从而可得：NMEV=37.5。，故⑤错

误.

【详解】解：NE和NDCE是BE、CO被直线EC所截形成的内错角，且NE=NDCE,

BECD,

故①正确；

BE\CD,

/HAO+NO=180。，

又NB=ND,

ZBAD+ZB=180°,

/.ADBC,

故②正确；

ADBC,

6/21

:.NMNF=ZAFN,

/MNF=/MFN、

AAFN=4MFN,

，FN平分ZAFM,

故③正确；

•.­EB\DC,

：.ZEAF=ZD,

ADBC,

:.NEFA=NFCB,

设NEFA=NFCB=x。,

•/AEFA是ZFCB的余角的5倍，

/.A=5(90x),

解得：x=75,

NEFA=4FCB=W,

在JS4F中，ZE+ZEAF+ZEFA=180°,

/.ZE+ZEAF=180°-75°=105°,

/.ZD+ZE=105°,

故④正确；

FK平分NEFM，

...NMFK=gNEFM=；(NEFA+4AFM),

由③可知FN平分ZAFM,

NMFN=、NAFM,

2

/.乙KFN=aMFK-々MFN

=-ZEFA

2

=-x75°

2

=37.5°,

故⑤)错误；

综上所述，结论正确的个数是4.

故选：C.

第n卷

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.如图，ABfCD,直线瓦■与A4、CO分别交于点E、F,的平分线与/W交于点G,过点G作

G〃_LE产于点，，Z1=20°,贝ijZ2=度.

【答案】50

【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与尸。的关系，最

后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出N2的度数.

【详解】解：・.，G平分Nd）,

ZEFD=2Z1=4O°.

.AB\CD,

:"HEB=NEFD=40。.

GH±EF,

Z2=90。-/HEB=90。-40。=5（F.

12.如图，在「ABC中，点。在AC边上，BD:CD=\i2,连接AO,点后为A。上一点，点F、G分别为AC、

CZ）的中点，连接石厂，EG.若AA8C的面积为9,则阴影部分的面积为.

【答案】3

2

【分析】根据三角形面积公式，利用BD：CD=\：2得到5:8=554隗=6,利用点F、G分别为AC、

CD的中点得到SECG=hECD,58=；5斥2所以阴影部分的面积=；S".

【详解】解：BD.CD=\-2,

8/21

/.DC:BC=2:3,

22

•''^,ACD=~^^,ABC=—><9=6

二点F、G分别为AC、CD的中点,

二•S.ECG=5S.ECD，S.ECF=5S.，

S.ECG+S.ECF=ECD+SECA),

即阴影部分的面积=《SA8=gx6=3.

13.如图，在4ABC中，ZA=40。，NA8C的平分线与NACO的平分线相交于点£,则—E的度数为

【答案】20。/20度

【分析】首先根据角平分线的定义可得/。8£二?448。,/。点=?乙4。。，再结合三角形外角的定义和性

22

质可得/。。£=20。+'/48。，然后由NE=NDCf—NC3E求解即可.

2

【详解】解：•・•班;平分N44C,C£平分ZACO,

・•・Z.CBE=-ZABC,ZDCE=-ZACD,

22

VZA=4()°,ZACD=ZA+ZABC=40°+ZABC,

・•・ADCE=-ZACD=-(40°+Z>4BC)=20°+-ZABC,

22

・•・NE=ZDCE-ZCBE=20°+-ZABC--ZABC=20°.

22

14.一个三角形的三边长分别为2,3^7+1,11,则。的取值范围是.

【答案】:<。<4

【详解】解：由三角形的三边关系得到：11-2v3〃+lvll+2,

A9<3^+1<13,

8

，一<〃<4.

3

15.如图，在AABC中，A。平分/胡C,E为线段AO上一点，过点E作必S3C,若N8=40。，ZC=70°,

则'

【分析】根据三角形内角和定理得出N8AC=7(儿确定N3AO=/C4O=35。，得出NEZW=75。，再由三角

形内角和定理即可求解.

【详解】解：•••ZB=40°,ZC=70°,

ZBAC=I80°-40°-70°=70°.

•••4。平分N8AC,

.­.ZBAD=ZC4D=35°,

ZEDF=180°-35°-70°=75°,

,:EFJLBC、

:.NEFD=9(F,

:.，DEF=180。-90。-75。=15。.

三、解答题(本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(10分)已知〃、b、d是三角形的三边长.

(1)比简|a-b-c|+|c-a|+|c-a-b|；

(2)用一条长21cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一条边长为5cm,求这个三角形的三边长.

【答案】⑴a+0+c

(2)5cm,8cm,8cm.

【分析】此题考查了三角形三边关系、等腰三角形的定义、整式的加减等知识，熟练掌握三角形三边关系

是解题的关键.

(1)根据三角形三边关系定理可得a-cvO,b-c-a<0,c-a-b<0,再去绝对值符号，最后合并同

类项即可；

(2)根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系分情况进行解答即可.

【详解】(1)解：•・•〃、b、c是三角形的三边长，

a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0,

10/21

\a-b-c\+\b-c-c^+\c-a-t\=-(a-b-c)-(b-c-a)-(<c-a-b)

=-a+b+c-b+c+a—c+a+b

=a+〃+c；（5分）

（2）若腰长为5cm,则底边长为21-5-5=ll（cm）,此时5+5=10vll,不能构成三角形，不符合题意；

若底边长为5cm,则腰长为，21-5）=8（cm）,此时5+8=13>8,能构成三角形，符合题意：此时这个三

角形的三边长分别为5cm,8cm,8cm.（10分）

17.（8分）（1）如图①，在Rt△八中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为。，NACO与—5有什么关系？

为什么？

国①图②图③

（2）如图②，在Rt2\A4c中，NC=90。，。、£分别在AC,A8上，且ZADE=NB,判断VAQE的形状

是什么？为什么？

（3）如图③，在RtZ\ABC和R[.；OBE中，ZC=90°,ZE=9（3°,ABA.BD,点C,B,石在同一直线上，NA

与上。有什么关系？为什么？

【答案】（1）Z4CD=ZB,理由见解析；

（2）VAOE是直角三角形，理由见解析；

（3）ZA+ZD=90°,理由见解析

【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

（1）利用余角性质即可求解；

（2）由直角三角形两锐角互余可得NA+N3=90。，即得NA+Z4£>E=90。，据此即可求解；

（3）利用余角性质可得以=NZ>3E,再根据直角三角形两锐角互余即可求解.

【详解】解.：（1）ZACD=ZB,理由如下：

•・•在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB,

/.Z4CD+ZA=ZB+ZA=90°,

••・/ACD=N3；(2分)

(2)VAOE是直角三角形.

•・•在中，ZC=90°.

ZA+N8=90。，

•；ZADE=ZB，

・•・Z4+ZADE=90°,

・•・ZA£D=90°,

・・・VAOE是直角三角形；(5分)

(3)ZA+ZD=90°.

VZC=90°,ZE=90°,

/.Z4BC+ZA=90°,ZDBE+ZD=90°,

'/AB工BD,

ABD90?,

・•・ZABC+NDBE=90°,

/.ZA="BE,

AZ4+ZD=90°,(8分)

18.(8分)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,C£>_L4B于Q,"'平分，。B交CD于£,交BC于F.

(1)如果NC庄=70。，求N8的度数;

(2)试说明：ZCEF=ZCFE.

【答案】(1)50。；

(2)证明：vZACfi=90n,

.\ZCAF+ZCFE=90P,

CDLAB,

ZAOE=90。，

/.ZmE+ZAED=90°,

•・•4”平分/CAB交。。于£,

：.ACAb=^DAE,

12/21

...ZCFE=ZAED,

,;ZAED=NCEF,

ZCEF=ZCFE.

【分析】（1）根据三角形内角和可得NC4尸的度数，根据角平分线的定义打得NC4B的度数，根据直角三

角形的性质可得NB的度数：

（2）根据直角一角形的两锐角互余可得NCAb+NC庄=90。，/D4£+NA£O=90。，根据角平分线的定义

可得NC4/=NDAE,从而可得4>、£=44">,进而可知NCE〃=NCPE.

【详解】（1）解：♦♦・446=90。，ZCFE=70°,

尸=180°-90°-70°=20°,

AF平分NCAB交。。于E,

ZCAB=2ZC4F=40°,

.­.z^=90o-40°=50°：（4分）

（2）略.（8分）

19.（8分）如图，跖是aABC的角平分线，在A8上取点。，使O8=O£.

⑴求证：DE//BC；

⑵若NA=75。，ZAED=40°,求NO石4的度数.

【答案】⑴证明见解析

（2）32.5°

【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理；

（1）根据角平分线性质得到NA〃£=NC4£,根据O3=OE,得到443K=N£>£8,求出NCBE=NDEB,

即可证出结论；

（2）根据三角形内角和定理得到NA7）E=65。，根据。石〃BC,得到NA£>E=WC=65。，根据角平分线

得到NC3E=g乙44C=32.5。，推出NCM=NOa?,即可求出.

【详解】（1）证明：•・•砥是VAAC的角平分线，

/.小BE="BE,

,/DB=DE,

/.33E=4DEB,

，NCBE=/DEB,

ADE//BC.（4分）

（2）VZA=75°,Z4ED=40°,

・•・/ADE=180°-4AED-ZA=180°-40°-75°=65°,

,rDE//BC,

ZADE=ZABC=65°,

ZABE=ZCBE,

/CBE=-ZABC=32.5°,

2

•；KBE=/DEB,

，乙DEB=32.50.（8分）

20.（8分）如图，AD,人七分别是VA8c的角平分线和高.

(1)已知/8=40。,/。=60。，求NZME的度数.你还能求出哪些角的度数？

(2)/A4E与N8,NC(NC>/8)有怎样的关系？为什么？

【答案】⑴

"AE=10。，

还可以求4408=100。，ZADE=80°,ZC4E=30°.

(2)解：与28.NC的关系为=.

•・•在6ABe中，"4。=180。-23-4,

：A。是角平分线，

・•・/BAD=1NBAC=^(180°-ZB-ZC),

•・,AW是4c边上的高，

AAE±BC,BPZAEB=ZAEC=90°,

14/21

在R/A8E中，/BAE=90。-/B,

又NDAE=NBAE-NBAD,

代入得：/£＞人七=（90°—24）-3（180。一NB-NC）=90°-N4—9（）°+；N8+g/C=；（NC-N4）,

・•・NDAE与NB/C的关系为：ZDA£=^（ZC-ZB）.

【分析】（I）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解NBA。的度数，再由直角三角形可求解

28A石的度数，由此可求—D4石的度数，再根据三角形内先和定理还可以求解NAOE,ZADB,NC4E的

度数.

（2）先由三角形内角和得到/胡。=180。一/8-/。，以及NBAE=9（）o-NB,再根据

NDAE=NBAE-NBAD,代入表示即可.

【详解】（1）解：在二A8C中，/84。=180。一/3—/。=180。一40°—60。=800,

•・•AD是ZBAC的角平分线,

・•・/BAD=-/BAC=-x80°=40°，

22

丁AE是4C边上的高，

AAEJ-BC,即NA£B=NAEC=900,

在RfA8E中，ZBAE=90°-ZB=90o-40°=50o,

・•・ZDAE=ZBAE-ZBAD=50°-40°=10°,

还可以求解乙NADB,NC4E的度数，

在.ABD中,ZADB=180°-ZZ^-ZBAD=180°-40°-40°=100°,

・•・ZAOE=180°-ZADB=180°-100。=80°,

在R%ACE中，ZC4E=90°-ZC=90°-6（）o=30o.（4分）

（2）略（8分）

21.（10分）【教材呈现】

【问题回顾】

(1)已知：如图1,在aABC中，乙4=60。，BD,C。分别平分44C和/ACB,/8OC的度数是.

(2)已知：如图2,在中，能平分N4BC,CE平分外角/4C石，试判断44和NE的数量关系，并说

明理由.

⑶如图3,BF平分外角NCBP,CF平分外角N4CQ,若设4=。，则々=.(用含。的式子表示)

【拓展与应用】

(4)如图4,BI平分ZABC,CI平分ZACB，把VA4C折叠，使点A与点/重合，若N1+N2=130°,则ZB/C=.

【答案】(1)120。

(2)/£=344,理由见解析

(3)ZF=90°-^a

(4)122.5°

【分析】(1)根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果；

(2)根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；

(3)根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出洁果；

(4)根据折叠的性质，平角的定义，以及(1)中的结论进行求解即可.

【详解】(1)解：在VA8C中，ZA=60",

/.ZABC+ZACB=120°,

,?BD,CO分别平分ZABC和NACB,

・•・Z.DBC=-NABC2DCB=-ZACB,

22

・•・NDBC+Z.DCB=g(ZABC+ZACB)=60°,

JABDC=180°-(ZDBC+ZDCB)=180°-60°=120°；(2分)

(2)解：=理由如下：

•/BE平分NA6C,CE平分外角ZACE,

・•・2CBE=-乙ABC,NECM=-ZACM,

22

•・•ZACM是cA8C的外角，ZECW是.BCE的外角，

Z.ZACM=ZABC+ZA,ZECM=ZCBE+ZE,

・•・-ZACM=-ZABC+-ZA,即NECM=ZCBE+-ZA,

2222

16/21

ZE=-Z>4；（4分）

2

（3）解：VZA=a,

JZABC+ZACB=\S（）0-a,

：.乙PBC+ZQCB=1800-ZABC+I8O°-ZACB=180O+a,

•・•BF平分NCBP,C/平分4BCQ,

・•.ZCBF=-NPBC,NBCF=-Z.BCQ,

・•・/CBF+NBCF=|NPBC+gNBCQ=90。+ga,

・・・/F=180。—卜0。+/）=90。—（7分）

（4）解：•・・折叠，

/LADE=/IDE,ZLAED=/IED,

Zl+Z2=130°,

・•・ZADI+ZAEI=180°+180°-（Zl+Z2）=230°,

・•・/A=180。-g（NA。/+AE1）=65°,

TB/平分ZABC,。平分NACB,

由（1）得：^BIC=90°+Z/l=90°+32.5°=122.5°.（10分）

22.（10分）【教材呈现】

如图，在aABC中，ZABC=80°.ZACB=50°,BP平分ZABC,CP平分NACB,求N3PC的度数.

解：•.8〃平分N/AAC（已知），

/.NPBC=-NABC=-x80°=40°,

22

同理可得NPCB=。.

N3PC+NP3C+NQC3=18O。（）,

N8kC=180。-NPBC-NPCB（等式的性质）

（1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）.

（2）【拓展延伸】如图【，在AABC中，ZABC、NACB的平分线交于点P,将△ABC沿折叠，使得点A

与点P重合，若Nl+N2=100。，求/8PC的度数；

（3）如图2,在aABC中，角平分线80、CO交于点0,ODA.OB,交边8C于点。，点七在C3的延长线上，

作石的平分线交CO的延长线于点尸.若“二24。，则NOOC=

【答案】（1）25；三角形内角和定理；115。

⑵115。

（3）24

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；

（2）先由折叠的性质和平角的定义得到乙正。+乙位把=13（）。，进而求出乙4=5/，同（1）即可得到答案；

（3）根据角平分线得到乙=/FBA=/FBE,进而可知"80=90",即可求出N尸03=66。，

根据OQ_LOB得至UNQO3=90°,根据三角形内角和即口「得解.

【详解】（1）解：•・・卸＞平分448C（已知），

・•・Z.PBC=-/ABC=-x80°=40°.

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同理可得NPC4=25。.

•・•/BPC+/PBC+4PCB=180°（三角形内角和定理），

:./BPC=180°-ZPBC-NPCB（等式的性质）

=180°-40°-250

=115°.（3分）

（2）由折叠的性质可得NAED=/尸互＞,ZADE=NPDE,

•/Zl+ZADP=180°,Z2+ZAEP=180°,Zl+Z2=100°,

:.2ZAED+2ZADE=260°,

：.ZAED+ZADE=\3（T,

.•.Z4=180°-Z^£D-ZADE=500,

VZA=5O°,

.­.Z4fiC+ZAC«=180^-^4=130°,

8P平分ZABC,CP平分NACB,

:.ZABC=2NPBC,ZACB=2/PCB,

"PBC+2NPCB=130°,

18/21

即NPBC+NPCB=65。,

^BPC=180°-ZPBC-zLPCB=115C；(6分)

(3):80是乙ABC角平分线，BF是NABE角平分线

：./ABO=Z.OBC=-ZABC,NFBA=Z.FBE=-NABE,

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•・•