北师大版九年级数学上册 应用一元二次方程（每课时）教案汇编（含两个教案）

2.4应用一元二次方程(课时1)

一、核心素养目标

1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题；

2.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的

一般步骤.

二、教学重点及难点

重点：能建立一元二次方程模型求解行程与几何实际问题.

难点：能从实际情境抽象等量关系列方程，掌握列方程解应用题的通用步骤.

三、教学过程

【新知导入】

还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？

如图，一架长为l()m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶

端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

设计意图：借用经典梯子滑动几何情境导入，前后章节内容呼应衔接，依托直角三角形勾股定

理的旧知引出一元二次方程实际应用场景，快速调动学生已有知识储备，自然开启利用方程解

决几何长度变化问题的新课学习.

【探究新知】

教师提出：在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶

端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布

答案，并规范解题步骤.

解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.

根据题意，有(8-x)2+(6+x)2=102,

整理，得P2E).

解这个方程，得K=0（舍），X2=2.

因此，梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.

教师追问：如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距

离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

xm

学生在草稿纸上进行作答，教师进行巡视指导，观察学生的作答进度，在绝大多数学生完成后，

公布正确答案，并规范解题步骤.

解：设梯子顶端下滑工米，底端滑动犬米.

根据题意,得（12㈤2+（5+4=132,整理,得f-7入=0.

解这个方程，得笛=0（舍），X2=7.

因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等时为7m.

设计意图：在原有梯子问题基础上增设等量滑动距离的设问，由浅入深递进探究；通过学生板

演、自主演算、教师巡辅订正的模式，让学生实操借助勾股定理建立一元二次方程模型，学会

检验并舍去不符合实际意义的根.两组数据对比练习，强化几何实际问题建模思路，规范完整

解题流程，提升学生提取等量关系、处理实际解取舍的能力.

如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向

200nmile处有一重要目标C.小岛。位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛尸位于BC中

点.一艘军舰从A出发，经8到C匀速巡航，一艘补给船同时从。出发，沿南偏西方向匀速直

线航行，欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由8到。的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时

补给船航行了多少海里（结果精确到O.lnmilc）?

学生根据题干回答以下问题：

(1)要求OE的长，需要如何设未知数？

(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？

(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

(4)构造出RtZkQEb后，三条边长OE,DF,EF分别是多少？

答案预设：(1)一般求什么设什么，可设。E的长为mmile.

(2)根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.

(3)连接。尺由三角形中位线得ABIIOF,从而。目LEF,构造出RSOEE

(4)DF=100nmile>DE=ATimile.EF=AB+BF-(AB+BE)=(3OO-2x)nm\\c.

根据以上分析，教师引导学生解题.

解：连接。E

-AD=CD,BF=CF,

.・.Qb是AABC的中位线.

r1

・・・QF||48,S.DF=-AB,

2

,-ABLBCJA8=8C=200nmile,

•••DF工BC,DF=100nmile,BF=100nmile.

设相遇时补给船航行了xnmile,

那么£>E=xnmilc,AB+BE=2xnmi\efEF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmi\c.

在Rt△。石厂中，根据勾股定理可得方程『=1O()2+(3OO_2J:)2.

整理，得3.F—120(k+100000=0,

解这个方程得X=200-詈®。118.4,200+若员(不合题意，舍去).

所以，相遇时补给船大约航行了H8.4nmile.

设计意图：选取海军巡航的行程几何综合应用题，层层拆解设问引导学生分步分析题意；借助

三角形中位线性质搭建直角三角形，把行程速度路程关系与勾股定理结合构建一元二次方程模

型.通过分步提问降低复杂应月题的理解门槛，训练学生拆解复杂题干、转化几何线段、筛选符

合实际的方程根的综合解题能力，巩固用一元二次方程解决实际问题的完整流程.

通过以上探究学习，归纳运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤，学生做笔记.

运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：

分析数・关系建立一元二次

实际问题解一元二次方程

设未知数方程模型

检蛤

实际问题的解一元二次方程的根

教师强调：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是

否符合实际问题的要求.

设计意图：借助流程图直观梳理完整解题闭环，把实操经验提炼成标准化解题流程，帮助学生

形成固定解题思维框架；特意强调根的实际意义检验环节，纠正学生只解方程不取舍答案的常

见疏漏，强化方程建模解决实际问题的严谨性，完成本节课方法体系的总结升华.

四、随堂练习

通过课件展示练习题,教师带着学牛进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题；

2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.

六、板书设计

运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：

00幼GOE

2.4应用一元二次方程（课时2）

一、核心素养目标

1.利用一元二次方程解决销售问题；

2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.

二、教学重点及难点

重点：梳理销售问题中的数量关系，建立一元二次方程模型求解利润类实际应用题.

难点：准确梳理单价、销量、总利润之间的变化关系，结合实际场景对方程的根进行合理取舍.

三、教学过程

【知识回顾】

回顾运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤:

步骤内容摘要

①审审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.

②设设未知数，i种是直接设法，另一种是间接设法.

③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.

④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.

⑤检检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.

⑥答写出实际问题的答案.

设计意图：回顾列一元二次方程解应用题的解题流程，唤醒上节课几何、行程类应用题的解题

经验，为本次销售利润类实际问题的建模解题搭建方法把架，引导学生沿用规范步骤分析新题

型，培养条理化解题习惯.

【新知导入】

新华商场销售某种冰箱，每台进货价为25()()元.调查发现，当销售价为290()元时，平均每天

能售出8台；而当销售价每降低5()元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销

售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

教师提出：这一情境中涉及哪些量？

学生根据题干回答：进货价、销售价、销售量、总利润.

教师追问：你知道它们之间存在怎样的等量关系吗？

学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答.

售价■进价二利润；每台的销售利润x平均每天销售的数量=5000元.

设计意图：以生活中常见的冰箱销售利润问题创设真实教学情境，引导学生自主梳理进价、售

价、销量、总利润等核心数量，回顾利润相关基础等量关系式，唤醒学生已有经济类问题的知

识储备，自然引出本节课销售类一元二次方程应用题的探究内容，为后续分析价格变动带来的

销量变化、建立方程模型做好铺垫.

【探究新知】

设每台冰箱降价x元，教师引导学生完成表格.

每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元

降价前82900-2500(2900-2500)x8

X

降价后8+4x—2900-X-25005000

50

根据表格，教师引导学生列一元二次方程解决问题.

解：设每台冰箱降价工元，

根据题意，得(2900一九一2500)(8+4x—)=5000

解这个方程，得X|=X2=15().

290()-150=2750(70)

所以，每台冰箱应定价为2750元.

设计意图：借助表格直观梳理降价前后销量、单台利润的变化，清晰呈现价格变动带来的销售

量变化规律；引导学生依托总利润等量关系列出一元二次方程，规范解题格式，在合作探究中

掌握销售类问题的建模方法.

教师提出：如果设每台冰箱的定价应为x元，你能列出怎样的方程？

学生独自在草稿纸上列方程，完成后，教师随机选取学生代表进行回答.

2900-r

(x-2500)(—X4+8)=5000

教师提出：(2900—工一2500)(8+4x^)=5000,(x-2500)(x4+8)=5000.

观察这两个方程有什么区别和联系？与同伴进行交流.

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.

区别是未知数的意义不同(一个设降价金额，一个设定价).

联系是两个方程本质上是同一问题的不同形式，通过代数变形可相互转化.

设计意图：通过设定不同未知数的两种解题思路，引导学生自主尝试直接设元与间接设元两种

方式列方程，再借助小组交流对比两个方程的区别与内在联系，让学生理解设元方式的灵活性,

体会不同设元方法下方程可以相互转化，拓宽学生的解题思路，帮助学生根据题目特点选择更

简便的设元方式，提升分析•、建模的灵活应变能力.

通过探究冰箱销售利润问题，进行归纳.

销售问题一般常见是利润问题.

★常用的等量关系：①总利润二销售总额■总成本；

②总利润二每件商品的利润X销售总数量.

★通常可直接设商品的售价为未知数，但列出的方程比较难解，所以解决此类问题时经常间接

设未知数.

设计意图：对冰箱销售例题进行提炼，系统梳理利润问题的两大核心等量关系式，对比直接设

元与间接设元的优缺点，引导学生优先选择间接设未知数简化运算，规避复杂方程的求解难点.

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元

至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少1()个.为了实现平均每月

1000()元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？

设这种台灯售价上涨上元，学生积极发言，完成表格.

每月的销售量/个每个的销售利润/元总销售利润/元

涨价前60040-30