2027年高考数学一轮复习-函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值

【课标要求】1.借助函数图象.会用数学符号语言表达函数的单调性、最值.理解实际意义2掌握函数单调性

的简单应用.

・落实主干知识・

1.函数的单调性

（I）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数人幻的定义域为D,区间比n如果V.上"

当即〃2时,都有加止短1，那么就称当M々2时.都有面）＞力心）,那么就称函数

定义函数贝处在区间/上单调递增，/U）在区间/上单调递减，

特别地，当函数在它的定义域上特别地，当函数凡1）在它的定义域上单调递

单调递增时，我们就称它是增函数减时，我们就称它是减函数

必⑺甲厂p⑸

图象

描述opiX2-X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/U）在这一区间具有（严格的）单调性,

区间/叫做=yu）的单调区间.

2.函数的最值

前提一般地，设函数y=J（x）的定义域为D如果存在实数M满足

（IWxWD,都有/U）WM；⑴都有.空泛经

条件

（2归xoWD使得ZU0）=M（2归MFD使得/U））=M

结论M是函数y=/U）的最大值M是函数y="x）的最小值

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“x”）

⑴若函数/W满足1一3）勺（2）,则於）在［—3,2］上单调递增.（X）

（2）若函数八丫）在（一2,3）上单调递增.则函数/U）的单调递增区间为（一2,3）.（X）

⑶若函数/㈤在区间刈上连续.则凡I）在区间口⑼上一定有最值.（4）

（4）函数的单调递减区间是（一8,0）U（0,+8）.（x）

2.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

Aj=-x+lB.y=（x-1）2

C.y=|lnx\D.y=x

答案D

解析y=-x+\在（0,+8）上单调递减.不符合题意；

y=CLl/在（0,+8）上不单调，不符合题意；

因为＜1'则y=|ln川在（0,+8）上不单调，不符合题意；

y=x在（（）,+8）上单调递增，符合题意.

3.函数丁二一去在区间“，2］上的最大值为（）

A.--B.--

32

c.-lD.不存在

答案A

解析）口一土在（-1，+8）上单调递增.则尸一士在区间［1,2］上单调递增，

所以

4.函数人工）是定义在［0,+8）上的减求|数，则满足大Zr—1）才的x的取值范围是

答案图

解析:/U）的定义域是［0,+8）,

.,.2A—120,即x若,

又・・/幻是定义在［0,+8）上的减函数，

则X的取值范围为E，I）.

回微点提醒

1.熟记与函数单调性有关的常用结沦

⑴若0/（X1Hl2）,则

①/（勺）-/（必）＞0（或（乃一⑴伏汨）一次总）］＞0）=贸箝在区间/上单调递增.

xl~x2

②必止△»＜（）（或3—9）饮用）一次电）］＜0）=火x）在区间/上单调递减.

X1-X2

（2）），=x+：的单调递增区间为（一8.-1］和［1,+8）,单调递减区间为（一”））和（（）1）.

（3）在区间/匕两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

（4）函数德（切的单调性与函数）=加）和"=g（x）的单调性的关系是“同增异减”.

2.解题时谨防以下易误点

（1）单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.

（2）求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.

⑶一个函数的同一种单调区间用“和”或连接,不能用“U”连接.

（4）“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然

■探究核心题型.

题型一确定函数的单调性

命题点1函数单调性的判断

例1（多选）下列说法中，正确的是（）

A.函数产广工一妥在（一8。上单调递减

B.若负幻田⑴都是R上的增函数，则/G）=/U）+g。）也是R上的增函数

C.函数y=2|x+l|的单调递减区间是（一8,—1］

D.函数_/U）=2T2+2X+3的单调递增区间为口,+8）

答案ABC

解析在（-8,0）上函数尸针与尸一点都单调递减.所以尸记一点在（-8,0）上单调递减.故A正确；

两增函数的和为增函数，故B正确；

作出函数y=2|x+l|的图象.如图所示,

由图象可知.函数y=2|x+l|的单调澧减区间是（一8,—1].故C正确；

由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得儿丫）的单调递增区间为（一8,]],故D错误.

命题点2利用定义证明函数的单调性

例2试讨论函数*）=隼（4£0）在（一1,1）上的单调性.

X—1

解方法一定义法

设一

因为欢）=。安={1+W），

所以KM—Ax2）=a（l+六）—《1+六）=谭1），

由于一

所以m一Xi,。/—1<0^2—1<0,

故当<7>0时次汨）一/（x2）>0,

即於|）MX2）.函数段）在上单调递减；

当a<0时危|）一段2）<0,

即危）412）.函数危）在（-1』）上单调递增.

方法二导数法

〃玲-3），伊-1）-。屹一》—g（x-l）-gr__a

八，（x-1）2（x-l）2（x-1）2'

故当“>0时/（x）<Q函数加）在（一1J）上单调递减；

当。<0时函数段）在（一1,1）上单调递增.

思维升华确定函数单调性的四种方法

⑴定义法.（2）导数法.（3）图象法.（4）性质法.

跟踪训练1⑴下列函数中，满足“对任意汨,也£（0,+8）,当石令2时渚陌火汨）次⑸”的是（）

A./x)=|.v|B./(X)=X-3

cyu)=—f+z》Dyu)=e"

答案B

解析对任意汨用£(。,+8),

当x\<x2时，都有风打)>fe),

则函数./U)在(0,+8)上单调递减，

yu)=kl在(o,+8)上单调递增，故A错误；

汽1)二%一§在(0,+8)上单调递减.故B正确；

yu)=-f+2x=-(x-a+i在(o,+8)上不单调，故c错误；

yu)=e'在(0,+8)上单调递增.故D错误.

(2)(2024・唐山模拟)函数於)=logM2/一3x-2)的单调递增区间为.

2

答案(-00,-0

解析令2A'—3A-2>0,

解得工>2或

则人幻的定义域为(-oo,-l)u(2,+8),

由尸噬了在(0,+8)上单调递减,),=2?—3工一2在(一8,-3上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

根据复合函数的单调性可知应0的单调递增区间为(-%-习.

题型二函数单调性的应用

命题点1比较函数值的大小

例3定义在R上的偶函数/U)满足：对任意的为足£(一80(即#也),有外21"〃。〃*)

%1一万2

A/-2)</(3)</(4)

BJ(-2)》(3)次4)

Cy(3)</C4)</(-2)

D：/(4)4-2)43)

答案A

解析因为对任意的内黑£(-8,0]3WX2),有地匕3<0,

xl-x2

所以久丫)在(一8。上单调递减，

又应丫)为偶函数，

所以人幻在((),+8)上单调递增.

则购勺(3)勺⑷,

又为一2)=心,

所以人一2)勺(3)勺(4).

命题点2求函数的最值

例4函数I+x(x23)的最小值为____________.

X—1

答案I

2

解析设/=X—1/22,

则y=3―1+x=f+：(/22),

X—1t

又函数)，=/+：在⑵+8)上单调涕增.

所以当，=2,即x=3时,

函数有最小值2+(=:

■微拓展■--------------------------------------------------------------------------------------

求函数的值域(最值)的常用方法

(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

(2)单涮性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.

(3)数形结合法.

(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.

(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分禹成一个常数和一个分式和的

形式.

典例(多选)下列函数中，值域正确的是()

A.当工£[0,3)时，函数=f・2%+3的值域为[2,6)

2x+1

B.函数)，二工彳的值域为R

C函数y=2x-7x-1的值域为序,+8)

D.函数)，=的值域为［a，+8)

答案ACD

2

解析对于A,(配方法)y=f-2A+3=(X-I)+2,

由,3),再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为［2,6).

对于B,(分离常数法))，=J2x+1

故函数的值域为(-8,2)U(2,+8).

2

对于C,(换元法)设r=Vx-1，则x=P+1,且Z>0,/._y=2(?+1)-t=2(t-^+y,

由120,再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为仁,+00).

对于D,函数的定义域为［1,+8),

•••产、%+1与k>/7=1在［1,+8)上均单调递增，.•・>=J%+l+^/7^T在［l,+8)上为增函数，

・•・当上=1时，ymin=V2,即函数的值域为［鱼，+8).

命题点3解函数不等式

例5(2025・湖州模拟)已知函数用)=炉一e",则使逃⑼勺(-3f+4)成立的实数x的取值范围是()

A.(-l,0)B.(—l,+8)

c.(-u)D.(1,+8)

答案c

解析函数y=e”为增函数.函数y=ef为减函数.

所以函数/U)=e'-e』为增函数，

所以川x|)<7(—3/+4)=国<—3/+4,

即3邸+园一4<0小|一l)(3|x|+4)v0,得OW|x|vl,

解得一14V1,

所以实数X的取值范围为（一1,1）.

命题点4求参数的值（范围）

一工2—2QX-QX<0

尢一，’八’在R上单调递增，则。的取值范围是

｛ez4-ln（x4-l）,x>0

（）

A.（—8,O]

C.[-l,l]D.[0,+8）

答案B

解析因为./U）在R上单调递增，

且x20时*#=。，+坨（1+1）单调递增，

则需满足2x（-1）-

-a<e°+lnl,

解得一1WaWO,

即a的取值范围是[―1,0].

思维升华（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

⑵求解函数不等式时、由条件脱去“广，转化为自变量间的大小关系.应注意函数的定义域.

（3）利用单调性求参数的取值（范围）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象

的升降.再结合图象求解.对于分段函数.要注意衔接点的取值.

跟踪训练2⑴若函数於尸三审在（4+8）上单调递增，则实数0的取值范围为

答案[1,2）

x+a-3x-l+a-2

解析©=

x-1x-1=T

・・・危）在3,+8）上单调递增,

⑵（多选）函数外）的定义域为R,对任意的实数X142（即金2）,满足W3）+%&2）>工l/（X2）+x成为）,下列结论

正确的是（）

A.函数«r)是减函数

CJ(O)=O

D.不等式次2x—1)4(3—x)的解集为(一8,§

答案BD

解析由工成X[)+工认检)>X次工2)+,皿笛)，

得(由一及)伏为)—"2)]>0,

因此久丫)是增函数.A错误；

由-5<0<1,得,八—5)勺(0)勺(1),B正确;

不一定有/(())=().如人工)=2、在R上为增函数次0)=1,C错误；

由/(2x—1)勺(3—幻,得Zi—1<3—x,解得xv5D正确.

课时精练

[分值:90分]

I。知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共3()分)

1.下列函数中，在(0,+8)上单调递减的是()

A•尸4Bj=W

小%+i

C.y=RD.y=log2X

答案C

解析)，=a=也因为40,所以)，=正在(0,+8)上单调递增，故A错误；

因为.尸工在(0,+8)上单调递减.所以),==在(0,+8)上单调递增，故B错误；

XX

因为0弓<1,所以尸(丁+1在(0,+8)上单调递减.故C正确；

因为2>1,所以y=logM在(0,+8)上单调递增.故D错误.

2.已知/U)=2'+x,则"穴占)=凡丫2)”是“处=也”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为函数y=2j，=i在R上为增函数，

则函数/U)=2，+x在R上为增函数，

则“负心)=人出”可以推出“M="'，"片=照”也可推出“兀⑺=火M)”，

故“肺)=於2)“是”的充要条件.

3.函数yu)=m(x—1)的单调递减区间是()

A.(-8,o)B.(0,1)

C.(pl)D.(l,+8)

答案B

解析危尸管

作出图象，如图所示.

达

可以得到函数7U)的单调递减区间是(o').

4.已知函数«r)=含，则大幻在区间26］上的最大值为()

A.—B.3C.4D.5

O

答案C

解析：/5)=含=2+W在12,6］上单调递减，

••jU)max=7(2)=4.

5.已知函数大幻=［之一2"，1"<1，满足对任意国己也，都有"加一""2)>0成立,则实数a的取值范围为()

UOg。%，%>ivi"x2

A.(l,2)B.(2,3)

C.(2,3JD.(2,+8)

答案C

出的定义域为

解析函数,/(工)=R,

由对任意工仔山都有‘5)一"不)>(),

Xi-x2

得函数JU)在R上为增函数，

Q—2>0,

于是a>1,解得2<aW3,

Q—3W0,

所以实数。的取值范围为(2,引.

6.已知函数y=/(x)的定义域为R,对任意汨M且占力汹,都有念止3>—I,则下列说法正确的是()

X1-X2

A.y=fix)+x是增函数

B.y=fix)-l-x是减函数

C.y=Kr)是增函数

D.y=/(x)是减函数

答案A

解析不妨令X|<v2,%2<0,

・.・—1=/Ui)—*X2)<—Ql—X2)=/(X1)+.叫5X2)+工2,

XL42

令g(/)=/W+y，g(Xl)<g(X2),

又X\〃2,.**g(X)=/&)+X是增函数.

二、多项选择题(每小题6分.共12分)

7.已知函数./U)=岁=，则下列选项中正确的是()

2人十1

AJ(-X)=XA-)

B.函数段)的值域为

C.VXM2eR,且为CM,有""2)一八八)〉0

X2-X1

D.Vx£R,是“加^Osinx)”的充分不必要条件

答案CD

解析犬―幻=彩=黑=-/«，故A错误；

由危尸^^二1一97,因为用工0,所以7WWL故B错误；

由人1—对于VX1,X2ER,且X1<X2,

24十12"+1

2..2_22_2(2X2-2X1)

则於2）一人为）=1

2X2+12X1+12巧+12*2+1(2*1+1)(2〃+1)'

因为M<X2,所以2"2>2R即2*2—2必>0,

又因为（2血+1）（2力+1）＞0,

所以加2）—/Ui）＞0,所以函数於）在其定义域R上为增函数,

所以寸即j2WR且即工必有""）一"八）＞0,故C正确；

x2-xl

充分性:当时，因为一1WsinMl,

由凡K）为增函数，

所以yd2心山幻,故充分性成立；

必要性：由凡X）为增函数，

当加2）宓sin%）恒成立时,

因为一1Wsin）W1,

所以.解得或a〈一I,故必要性不成立,

综上可知“。21”是“施冷电sinQ”的充分不必要条件，故D正确.

8.已知函数人幻的定义域为R,对任意。力ER,都有人〃加6）=/（〃+沌/（O）HO且当心＞0时,0勺⑴＜1,则（）

A.VxER.都有人幻二一六

/（F

B.当彳＜0时用

C*x）是减函数

D.若贝3）=刎不等式42尸一5。弓的解集为（一|,4）

答案BCD

解析令。=04=1,则加次1）=川）,易知0＜讥1）＜1.所以,八0）=1.

当x＜0时,一式＞0,所以0＜7（一幻＜1,

又Jlx）成-x）=/（x-x）=J（O）=lt

所以其丫）=万一,即/U）＞1,A错误,B正确；

/（F

设汨〈立,且X|R,则儿叫）一人也）=/3—X2+X2）~/U2）=./Ul一也风。）—/U2）=AX2）L/Ul-心）-1],

又工14（2,所以为一X2＜0,所以."1一照）,1,

又当x<0时4#>1,当x>0时,oqu)<170)=1,

所以曲）一/2）＞0,即外。次心）,

所以；U）是减函数.c正确；

因为43）日

所以*2）=/（6沆6）=欣3）广=看

所以42尸一5/）＞卷

即42尸一5/）412）,

又应丫）是减函数，

所以2尸一5/＜12,

解得一汐＜4,

所以不等式人2尸一5/）初2）的解集为（，,4）,D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.函数凡0=瓷的单调递增区间为,

答案（一卷+8）

审R\4x-34x+6-9。9

解析府)=m=』r=2

2x+3‘

由2x+3#0,得丘一右

当刀£（-8,-'）时,），=不三单调递减,

\乙/乙X।＜5

7U）单调递增；

当+8）时J=三单调递减，

7U）单调递增.

所以£r）的单调递增区间为（―8,—|）,（一|,+8）.

10.柯西（Cauchy,1789—1857）是著名的法国数学家.我们把函数方程於+y）=/a）+JU）称为柯西方程，满足该

方程的函数/U）称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数.

答案yu）=—M答案不唯一）

解析设yu)=-X,在R上单调递减.

<x+$)=-x~yj(x)=-xj(y)=.)，，满足7U+y)=7U)+/0，).

所以函数7U）=-x是在R上单调递减的加性函数.

四、解答题（共27分）

11.（13分）已知函数4x）=x+；

（1）用定义证明函数«r）在（1,+8）上单调递增；（7分）

⑵求函数人幻在区间［3,6］上的最大值和最小值.（6分）

（I）证明任取M/2£（l,+8）且汨42,

则7（川）.八八2）=由+£入2^-=A1.12+：：%=3A2）（l—

因为工1用£（1,+8）且不令2,可得X|—X2<0,X|X2>1,0<^—<1,

则1一二一>0,

X\X2

所以欢|）一抬2）=（即一12乂1一表卜0,

即人汨）勺（M）,

所以函数/U）在（1,+8）上单调递增.

（2）解由（1）知函数,/U）在［3,6］上单调递增，

所以jV）max=.A6）=^/（A"）min

oto

所以函数ZU）在区间［3,6］上的最大值为后,最小值为号.

63

12.（14分）已知定义在（0,+8）上的函数於），满足加?〃）=加〃）+加）（人心0）,且当.3时段）>0.

⑴求证：/（；）=/（⑼一人〃）；（5分）

⑵若｛2）=1,解不等式於+2）一贸2琰>2.（9分）

（1）证明加?）=/（；•九）=/（；）+加），

即/（：）=«〃?）—火〃）•

⑵解任取XI/2£（0,+8）,且Xi<X2,

则注>1.

X1

由⑴得加2）—的）=/（9>0,

即加）次斯）,

••JU)在(0,+8)上单调递增，

•••火2)=1,・・・2=人2)+./(2)=/(4),

y(x+2)—A2x)>2<^*A^4-2)>A2x)4-y(4)<=>/(^4-2)>rt8x),

又J(x)在(0,+8)上单调递增.

£的解得0<4

故不等式於+2）—/（2幻>2的解集为｛x[o<x<习.

10能力拓展

13题6分,14题5分洪11分

13.（多选）（2025・八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切

函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh4T-.双曲余弦函数cosh双曲正切函数lanh

厂包兽.则（）

coshx

A.双曲正弦函数是增函数

B.双曲余弦函数是增函数

C.双曲正切函数是增函数

tanhx+tanhy

D.tanh(x+y)=

1+tanhxtanhy

答案ACD

解析对于A,令X.v）=sinhX=。；,

则/V）二吧F>0恒成立，

故双由正弦函数是增函数，故A正确:

对于B,令g(x)=coshx=--—，贝ljg'(x)=---,

由A知田。)为增函数，又g<())=S/=0,

故当K£（-8,0）时,夕（冷<0,当工£（0,+8）时,（（幻>0,故g（x）在（-8。上单调递减，