2026人教版九年级数学：因式分解法（分层练习）

25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点一提公因式法因式分解解一元二次方程

1.一元二次方程V—5x=0的解为（)

A.x=5B.x=0C.$=°，X?=5D.=0,x2=-5

2.解方程：x（.r-4）+5（x-4）=0.3.解方程：4（x-3）=2x（x-3）.

4.用因式分解法解下列方程:

(1)3x2-6x=0；(2)x(2x+3)-4x=0.

5.一元二次方程Y+5x=3（x+5）的根是

知识点二公式法因式分解解一元二次方程

1.方程/-1=0的根为（）

A.x=\B.Xi=x2=\C.X|=l,=-lD.=x2=-l

2.下列各选项是方程/+2x+l=0的解的是()

A.1B.-1C.2D.-2

3.解方程：(1)x2-l=O；(2)x2-3.r-4=0.

4.解下列方程：(1)X2-2X+1=25.(2)3x(x-l)=2(x-l).

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点三十字相乘法因式分解解一元二次方程

1.解方程：X?-8x+7=0.2.解方程：.5-7'=-12.

3.解方程：(1)X2-3X=0;(2)2,v2-3.V+1=0.

4.解下列方程：（1）3x2-2.v-1=0；(2)12+xj一512+x)+4=0.

知识点四选择合适的方法解一元二次方程

1.用适当的方法解下列方程:

（1）x2=7x;(2)2x'+5x+3=0.

2.解下列方程：（1）25^=16；(2)a2-2a-15=0.

3.解下列方程(1)/76=2(x+4)(2)2X2+5X-3=0

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

4.解下列方程：(1)X2-4X+3=0；(2)x(x-5)=2x-10.

5.解方程：

(1)(XI2)225=0；(2)(x2)2=2(X2)；

(3)x2-4x+3=0.(4)(2x-l)2=x2+2

知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程

1.解方程:(x-4)(x+l)=6.2.解方程：(XT)(X+4)=4X+8.

3.解方程：2X(X-2)=X2-3

4.用适当方法解下列方程

(2)2(y-lf=3-7y

(1)(2x-l)(x+3)=4;

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

知识点二换元法解一元二次方程

1.请阅读下列材料：

解方程卜2_1)2_512_])+4=0.

解法如下：

将一一1视为一个整体，然后设寸-1=力则

原方程可化为JJ-5J，+4=0,解得必=1,%=4.

(1)当y=l时，/-1=1,解得X=±V^;

(2)当2=4时,X2-1=4,解得x=土6.

综合(1)(2),可得原方程的解为再=©/=-&，占=石,玉=-氐

请你参考明明同学的思路，解方程(XT)'-5。-1)2-6=0.

2.已知人满足（1-/）（/一/>2+4）+4=0,则代数式/一反的值为（）

A.-2B.4C.-2或4D.2

3.已知（〃尸+叫"+3（〃/+〃2）_10=0,则〃/+〃2=.

4.解方程：（4x-l『-10（4x-l）-24=（）

知识点三已知方程的根，因式分解求参数

1.若关于x的一元二次方程/+X-加=0的一个根是x=l，则另一个根是()

A.J=2B.x=-2C.r=3D.r=-3

2.已知关于工的一元二次方程(帆-2)/+%+〃/+〃?_6=0的一个根为0,贝lj〃?的值为

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

3.已知关于x的方程/-2〃用/-1=0.

(1)求证：不论〃7取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一根为4,求〃7的值.

4.已知关于4的方程--(24-1)》+公+1=0.

(1)若x=-2是该方程的一个解，求A的值;

(2)若该方程有实数根，求太的取值范围.

知识点四解分式方程(化为一元二次方程)

1.分式方程-二的正数解为()

x-lx+2

A.x=TB.x=4C.x=-2D.x=2

2.分式方程」7+1=上的解为

X—1X-1---------------

x2-13

3.分式方程?元=而可的解是--------•

4解方程.------——二二一

4.胎力用X+2X-3.

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点五因式分解法解一元二次方程实际应用题

1.一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球速度为lm/s.

（1）小球的滚动速度平均每秒减少m.

（2）小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m?（直接写出答案）

（3）小球滚动8m用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度＜（初速度

与末速度的算术平均数）与路程，，时间/的关系为$=讥.）

2.跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一.该项目练习成本低，且运动安全性较高.

（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成.某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个

手柄或1200根绳子.现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子

恰好配套？

（2）小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个.己知

小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误

了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练.求小林平均每分钟跳绳多少个？

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

3.某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲

组的甲组先单独做了5天，之后甲组和乙组又合作了2D天，刚好如期完成了整项工作.

（1）求甲组单独完成整项工作需要多少天？

（2）推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套

纪念品进价20元，定价为40元，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每

涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利10000元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪

念品的售价应为多少元？

4.某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机

器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500

件快递.

（1）电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不

少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？

（2）日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时.为提升分拣效率，中心对机器进行了系

统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100。件（">0）,且每天比原

计划少工作2〃小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作。小时.调整

后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求。的值.

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

知识点一含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解

1.关于x的一元二次方程一+〃田+2sL2)=0.

(1)求证：方程总有实数根；

(2)若该方程有两个负实数根，求，〃的取值范围.

2.已知关于x的一元二次方程(A+1)X2+(A+3)X+2=0.

(1)判断该一元二次方程根的情况；

(2)若方程有一个根为-2,求力的值及方程的另一个根;

(3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求攵的值.

3.已知：关于x的方程加+(〃-2卜-2=0(〃=0).

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)如果〃为正整数，且方程的两个根均为整数，求〃的值.

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

4.已知关于x的方程/-44+4公-1=0.

(1)求证：无论人取何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)若该方程的两个实数根阳，x2,且满足2-2a<9，求人的值.

知识点二结合几何图形的方程综合题

1.已知关于x的方程/一(2〃+1抉+4〃-2=0

(1)求证：无论人取何值，此方程总有实数根.

(2)若等腰△力8c的一边长。为4,另两边A。的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形

的周长.

2.已知关于x的一元二次方程*-(Z+l)x+2k-2=0.

(1)求证：无论左取任何实数值，方程总有两个实数根；

(2)若等腰△力8c的周长为7,且两边长a,b恰好是这个方程的两个根，求女的值.

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25.2.3因式分解法分层练习(学生版)

3.已知△/伙:的一条边8C的长为5,另两边AB、/C的长是关于、的一元二次方程

——(2Z+3)工+/+3%+2=0的两个实数根.

(1)求证：无论々为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)当〃为何值时，△相(?为直角三角形.

4.阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设川不出)，2(弓为)

如图1,当4,8纵坐标相同时，^=|x,-x2|,当小R横坐标相同时，匕巴=|凹-闾

图1图2

如图2,求片巴长度，可构造直角三角形C/f由图1可知。4=上-司|,CP2=\y2-y]\,由勾股定理

可得两点间距离公式为Pg=J(&+(乃-%丫

请直接利用两点间距离公式，解决下列问题：

(1)平面直角坐标系中有两点4(5,7),8(2,3),则线段加长为

(2)已知一个三角形各顶点坐标为力(-1,4),5(-3,1),C(l,l),请通过计算说明M点的形状;

(3)若平面内有两点〃(-1,3),N(3,0),在V轴上找一点尸，使"MN为直角三角形，我们可以这

样解答：

22

设以0，〃).则利用两点间距离公式可得：/产=(-1-3『+(3-0):25,月02=[+(”3)、PN=a+9

若NP=9(T,则有A/M=PA/2+PN2,即(4一3『+1+/+9=25

若NA/=90',则有,即

若/M=9(T,贝IJ有,即

(4)在(3)的条件下，若在x轴上存在一点。，使MMN为等腰三角形，请直接写出所有点。的

坐标.

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

知识点一提公因式法因式分解解一元二次方程

1.一元二次方程5x=0的解为()

A.x=5B.x=0C.=0,x2=5D.=0,x2=-5

【答案】C

【分析】因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-5X=0,

x(x-5)=0,

•1x=0或x-5=0,

解得再二0，±=5.

2.解方程：X(A-4)+5(X-4)=0.

【答案】-=-5,七=4

【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：x(x-4)+5(x-4)=0,

(x-4)(x+5)=0,

"+5=0或x-4=0,

解得:州=-5,”4.

3.解方程：4(x-3)=2x(x-3).

［答案］.=3，W=2

【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，再提取公因式，即可解答.

【详解】解：4(x-3)=2x(x-3)

移项得，4(x-3)-2x(x-3)=0,

/.(x-3)(4-2x)=0,

.•.尤-3=0或4-2x=0,

•*-X］=3,X2=2.

4.用因式分解法解下列方程:

(1)3x2-6x=0;

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

(2)Jf(2x+3)-4.r=0,

【答案】(1)%=0/2=2

(2)玉=0,々=3

【详解】(1)解：把方程左边分解因式，得标(戈-2)=0.

因此,有3x=0或x-2=0.

解方程，得石=0也=2;

(2)解：原方程化为一般形式，得2/-x=0.

把方程左边分解因式，得M2x-l)=0.

因此，有x=0或2x7=0.

解方程，得内=。，&=；.

5.一元二次方程/+5.E=3(X+5)的根是.

【答案】*=-5,七=3

【详解】解：、+5X=3(X+5)

x(x+5)=3(x+5)

x(x+5)-3(x+5)=0

(x+5)(x-3)=0

x+5=0或x-3=0

解得$=-5,x,=3.

知识点二公式法因式分解解一元二次方程

1.方程/一1=0的根为()

A.x=lB.玉=.%TC.X=l,~=-1D.玉

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答.

【详解】解：・・・/-1=(),

(x-l)(x+l)=0,

/.X)=1,x2=-1

故选：C.

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

2.下列各选项是方程/+2x+l=0的解的是()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

利用因式分解法进行求解即可.

【详解】解：x2+2x+[=0

(x+1)'=0

耳=%=-1

故选B.

3.解方程：

(1)X2-1=0;

(2)X2-3X-4=0.

【答案】(1)再=1，匕=-1

(2)*=4,x2=-1

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

⑵利用因式分解法解方程

【详解】(1)解：・"-1=0,

/.(x+l)(x-l)=O,

$=1,工2=-1；

(2)VX2-3X-4=0,

/.(x-4)(x+l)=0,

...玉=4,x2=-1.

4.解下列方程:

(1)x2-2x+1=25.

(2)3x(x-l)=2(x-l).

【答案】(1)玉=6,X2=-4

(2)X]=1,x,=|

【分析】(1)根据配方法求解方程即可；

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

(2)根据因式分解法求解方程即可.

【详解】(1)解：方程变形得：(1)2=25,

开方得：x-l=±5,

解得：玉=6,x2=-4:

(2)解：移项得：3X(X-1)-2(J-I)=0,

分解因式得：(x-l)(3x-2)=0,

所以1=0或3x-2=0,

2

解得：*=1,勺二丁

知识点三十字相乘法因式分解解一元二次方程

1.解方程：/_8尤+7=0.

【答案】X=1,x?=7

【详解】解：•.•/一&丫+7=0,

・・.(."1)(..7)=0,

/.x-l=0iaJcx-7=0,

解得再=1,X2=7.

2.解方程:x2-7x=-12.

【答案】X=3,”4

【详解】A-2-7A=-I2

X2-7X+12=0

(x-3)(x-4)=0

工一3=0或*-4=0

X)=3,X2=4.

3.解方程：

(1)x2-3x=0;

(2)2X2-3X+1=0.

【答案】(1)*=0，»3

⑵阳-1,“2=3

【分析】(1)(2)把方程左边分解因式，再解方程即可.

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

【详解】(1)解：♦・*_3x=0,

x(x-3)=0,

/.x=0或工一3=0,

解得X=0,占=3；

(2)解：'/2X2-3X+1=0,

2x-l=0u£x-l=0,

解得再=1,x2=1.

4.解下列方程：

(1)3X2-2X-1=0;

(2)12+x『-512+x)+4=0.

【答案】(1)x.=-1,x2=l

-1+75-1+-1一拒

⑵内=--一，X2=——，/=一2一

【分析】(1)用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可;

(2)设歹=/+x,用换元法求解即可.

【详解】(1)解：・.,3——=0,

.-.(3A+1)(X-I)=0,

/.3x+1=0或x-1=0,

解得再=-;，%=1；

(2)解：设尸/+x，则原方程化为y2-5y+4=0,

・・・g)(y-4)=0,

y-i=o或y-4=o,

解得必=1,y2=4,

当y=i时，则/+x=i,&px2+x-i=0,

VA=l2-4xlx(-l)=5>0,

.-l±>/5

.・x=--;

当y=4时，则f+x=4,spx2+x-4=0,

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

VA=l2-4xlx(-4)=17>0,

.-1±>/17

.•x=----------;

2

综上所述，原方程的解为玉=三更-加—1+47—1—yJ\7

厂子^—，

知识点四选择合适的方法解一元二次方程

1.用适当的方法解下列方程:

(1)X2=7X;

(2)2X2+5X+3=0.

【答案】(1)-r.=0,X2=7

(2)-V,=-1,^2=~2

【详解】(1)解：・・、2=7X,

/.x2-7x=0,

...x(.v-7)=0,

x=0或x-7=0,

解得演=0,工2=7；

(2)解：*/2/+5x+3=0,

,\(2J+3)(x+1)=0,

・・.x+l=0或2x+3=0,

解得再=T，

2.解下列方程：

(1)25/=16;

(2)。2-2。-15=0.

【答案】(1)演-4/"44

(2)q=5,a2=-3

【分析】(1)将方程变形后用直接开平方法求解；

(2)用因式分解法求解，选择合适的方法即可得到方程的解.

【详解】(1)解：・♦・25。=16,

・7

•・x25，

._4v__4

.・石一x2---.

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

(2)解：；。2-2。-15=0,

(tf-5)(fl+3)=0,

:.a-5=0或"3・0,

解得％=5,%=-3.

3.解下列方程

(1)x2-16=2(x+4)

(2)2X2+5X-3=0

【答案】(1)再=T,/=6

(2)为=；,七=一3

【分析】(1)先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可;

(2)直接利用因式分解法求解.即可.

【详解】(1)解：^2-16=2(X+4),

(x+4)(x-4)=2(x+4),

(x+4)(x-4)-2(x+4)=0,

(x+4)(x-4-2)=0,

(x+4)(x-6)=0,

x+4=0或x-6=0,

$=-4,x2=6.

(2)解：2x2+5x—3=0,

(2x-l)(x+3)=0,

2x-l=0或x+3=0,

4.解下列方程:

(1)X2-4X+3=0;

(2)x(x-5)=2x-10.

【答案】(1)玉=1,/=3

(2)玉=5,X2=2

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【分析】用因式分解法解一元二次方程.

【详解】(1)解：X2-4X+3=0,

(x-l)(x-3)=0,

/.x-l=0ngx-3=0,

解得再=1，彳2=3；

(2)解：A(X-5)=2X-10,

x(x-5)=2(x-5),

x(x-5)-2(x-5)=0,

(x-5)(x-2)=0,

I.x-5=0或x-2=0,

解得％=5,x2=2.

5.解方程：

(1)(l+2)2-25=0；

(2)(X-2)2=2(X-2)；

(3)x2-4x+3=0.

(4)(2X-1)2=X2+2

【答案】(1)x.=3,X2=-7

(2)$=2,x2=4

(3)$=1,x?=3

2+S2-V7

(4)x,=——,%=1—

【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)利用公式法解方程即可.

【详解】(1)解：(x+2『-25=0,

(X+2)2=25,

x+2=±5,

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

解得：*=3,占=-7

(2)解：(X-2)2=2(X-2),

(.r-2)2-2(x-2)=0,

.・.(x-2)(x-4)=0,

解得；*=2,x2-4；

(3)解：/—4x+3=0,

.­.(x-l)(x-3)=0,

x-1=0,x-3=0,

解得：9=1,9=3；

(4)解:V(2x-l)=x?+2,

整理得：3x2-4x-1=0,

A=(-4)2-4X3X(-1)=28,

,4±>/284±2万2±V7

••X=------=------=-----

663

・2+y/l2-77

••Xj=,X)=•

323

知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程

1.解方程:(x-4)(x+l)=6.

【答案】M=5,x?=-2

【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解.

【详解】解：X2-3X-4=6

X2-3X-10=()

(x-5)(x+2)=0

工一5=0或x+2=0,

X=5,x2=-2

2.解方程：(x-l)(x+4)=4x+8.

【答案】玉=4,X2=-3

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【分析】因式分解法解一元二次方程.

【详解】解：(x-l)(x+4)=4x+8,

x2+3x-4=4x+8,

-x-12=0,

(x-4)(x+3)=0,

x-4=0或x+3=0,

=

$=4,x2-3.

3.解方程：2X(X-2)=X2-3

【答案】X=LX2=3

【详解】解：・・・2x(x-2)=x2—3,

2x:-4.r=x2-3,

••厂一4x+3=0,

(x-l)(x-3)=0,

工一1=0或x-3=0,

解得演=1,x?=3.

4.用适当方法解下列方程

(1)(2A-1)(X+3)=4；

(2)2(V-1)2=3-7JV

7

【答案】（1）石=1，々二——

2

-3-x/17-3+x/17

⑵M=---'乃=----

4■4

【分析】（1）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解;

（2）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解:

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关犍.

【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得2/+5X-7=0,

.・.(x-l)(2x+7)=0,

・・.尤—1=0或2x+7=0,

x2=--；

乙

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

(2)解：去括号得2/-4y+2=3-7y

方程整理成一般形式，得2/+3y-l=0,

，。=2,6=3,c=-\,

*/A=/r-4ac=32-4x2x(-l)=17>0,

.-3±Vi7-3±如

••y=-------=--------9

2x24

nri—3—Jl7—3+\/l7

即乃_——，4.

知识点二换元法解一元二次方程

1.请阅读下列材料：

解方程(/-1)2-51一1)+4=0.

解法如下：

将Y-1视为一个整体，然后设W-1="则，-I)：丁,

原方程可化为丁-5卜+4=0,解得必=1,必=4.

(1)当y=l时,x2-l=l,解得、=±五；

(2)当y=4时，X2-1=4,解得”土石.

综合(1)(2),可得原方程的解为*=上,々=-啦,七=石/4=-石.

请你参考明明同学的思路，解方程(》-1)'-5(..1)2-6=0.

【答案】X)=1+\/6,》2=1-#

【分析】设(x-l)2=y,则原方程化为一元二次方程：r-5y-6=0,先解出V的值，再进一步解出X

的值.

【详解】解：设(x-1)2=)，，则原方程可化为：/一5歹-6=0,

解得：必=6,y2=-\,

2

(1)当卜=6时，(x-1)=6,解得玉=1+",x2=1->/6,

(2)当卜=-1时，(x-l)2=-l,比方程无实数根，

综合(1)(2),可得原方程的解是：X,=1+76,X2=1-V6.

2.已知a、b满足(。2-炉乂1-从十4)+4一0,则代数式力的值为()

A.-2B.4C.-2或4D.2

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【答案】A

【分析】设/_〃2=x,将等式（42_/）（/_〃+4）+4=（）变形为伞+4）+4=0,解方程即可.

【详解】设—,

由一一〃+4）+4=0,得％（x+4）+4=0,

化简得/+4x+4=0,

解得演=与=-2,

即八从=2

3.已知"+〃2「+3"+〃2）_]0=0,则m2+〃2=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键.

根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答.

【详解】解：设，=，〃2+〃2（壮0）,

•.•（加+〃2『+3（〃?2+叫-10=0

则“+310=0,

.・.（r-2）（/+5）=0,

则，+5=0或-2=0,

・・.f_2或r--5<0（舍去）；

♦22c

••tn+n=2•

故答案为：2.

4.解方程：（4x-l『-l0（4&-l）-24=0

【答案】•=.，*J.

44

【分析】令，=缶-1，得到关于/的方程，利用配方法求得4=12,a=-2,进而求出x的值即可.

【详解】解：令"4x7,代入方程得产-10/-24=0,

v/2-10z-24=0,

.../TO/=24,

.•/-10/+25=24+25,

.•.”5）2=49,

Z—5=±7,

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

解得：《=12,q=—2,

当以-1=12时，x=

4

当4x-l=-2时，x=~~

4

13I

•••原方程的解为x2=-i

44

知识点三已知方程的根，因式分解求参数

1.若关于X的一元二次方程V+x-〃?=()的一个根是x=l,则另一个根是()

A.x=2B.x=-2C.x=3D.x=-3

【答案】B

【分析】先将已知根代入方程求出机的值，再解一元二次方程得到另一个根.

【详解】解：・・・x=l是一元二次方程』+X-〃?=0的根，

/.l2+l-/n=0,

解得切=2,

，原方程为X2+X-2=0,

解得再=1/2=-2,

・・・方程的另一个根为户-2.

2.已知关于工的一元二次方程(小一2)/+%+m2+〃?一6=0的一个根为0,则〃?的值为.

【答案】-3

【分析】将x=0代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0,

筛选得到符合条件的小的值.

【详解】解：把x=0代入(〃?-2)/+1+〃/+〃-6=0得〃/+〃-6=0,

因式分解得(加+3)(*2)=。

解得吗=-3,叫=2,

・.♦原方程是关于x的一元二次方程，

/.m-2*0,

即=2,

因此用=-3.

3.已知关于X的方程/-23+>_1=0.

(1)求证：不论加取何值，方程总有两个不相等的实数根：

(2)若方程有一根为4,求机的值.

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【答案】（1）见解析

（2）〃？=3或〃？=5

【分析】（1）证明A=（—2,〃）2-4（/7）>0即可；

（2）把x=4代入原方程得到关于小的方程，解方程即可得到答案.

【详解】（1）证明：由题意得，△=（-2/疗-4（/-1）

=4ni2-4nr+4

=4>0,

.♦.不论〃?取何值，方程总有两人不相等的实数根；

（2）解：:方程有一根为4,

・,•把x=4代入x2-2mx+〃/_]=o得4?-3m+〃/一1=0,

解得的=3或〃7=5.

4.已知关于x的方程产-（2"1*+公+1=0.

（1）若x=-2是该方程的一个解，求々的值；

（2）若该方程有实数根，求A的取值范围.

【答案】（1）勺=一1/=一3

⑵

4

【分析】（1）将彳=一2代入丁一（2左—l）x+F+i=。，然后解方程即可得到4=—l£=—3；

（2）根据根的判别式ANO,可求得攵的取值范围.

【详解】（1）解：•「=-2是关于x的方程x2-（2"l）x+F+]=o的一个解，

（-2）2-（21）X（-2）+/+1=0,

整理得炉+44+3=（）,

解得匕=-1化=-3；

（2）解：・.・关于x的方程/一（2七一l）x+〃+1=0有实数根，

.•.[一（2左一1）了一4x1x（炉+1）=-4A-3>0,

解得《工~»

4

即公[时，关于x的方程f_（2Z-l）x+炉+1=0有实数根.

知识点四解分式方程（化为一元二次方程）

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

1.分式方程=7=—1的正数解为()

r-1r+2

A.J=-4B..v=4C.x=-2D.x=2

【答案】B

【详解】解：2=—三

x-\x+2

方程两边同乘(x-l)(x+2)得：2(x+2)=x(x-l),

整理得：X2-3X-4=0.

因式分解得：(x-4)(x+l)=0.

解得*=4或x=-l,

检验:当x=4时,(x-l)(x+2)±0,

当x=-l时，(x-l)(x+2)^0,

・•・原方程的正数解为或x=4.

12

2.分式方程々+1=等的解为

x-1x-1----------

【答案】X=-2

【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解.

17

【详解】解：—+1=告，

X-1X-I

方程两边同乘公分母(x-lg+1),得工+1+(/_1)=2,

整理得/+..2=0,

因式分解得(x+2)(x-l)=0,

解得工=-2或x=l,

检验：当工=1时，(l)(x+l)=。，故x=l是增根，舍去；

当x=-2时，(X-1)(X+1)HO,满足方程要求：

因此原分式方程的解为》=-2.

x2-13

3.分式方程-7丁=7^^的解是

x+2xx(x+2)----------

【答案】x=2

【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零.

x2-13

【详解】解：=

x+2xx(x+2)

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

v2-13

对分母因式分解得3T=7飞，

x(x+2)x(x+2)

方程两边同乘最简公分母Mx+2),得犬-1=3

整理得/=4

解得再=2,占=~2

检验：当工=-2时，x(x+2)=0,原分式方程分母为零，

因此、=-2是增根，舍去；

当x=2时，X(X+2)=2X4=8*0,满足原分式方程分母不为零的要求.

因此原分式方程的解为x=2.

【答案】x=7

【详解】解：原方程可化为我一高离=专

方程两边同乘最简公分母(X-3)(X+2),得X(X-3)-I0=2(X+2)

展开整理得X2-5X-14=0

因式分解得(X-7)(X+2)=0

解得*=7,X2=-2

检验：当工=-2时，(x-3)(x+2)=0,原分式方程分母为0,无意义，因此工=-2是增根，舍去

当x=7时，(x-3)(x+2)w0

因此原方程的解为x=7

知识点五因式分解法解一元二次方程实际应用题

1.一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球速度为lm/s.

(1)小球的滚动速度平均每秒减少m.

(2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m?(直接写出答案)

(3)小球滚动8m用了多少秒？(提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度"(初速度

与末速度的算术平均数)与路程s,时间/的关系为$=讥.)

【答案】(1)1

(2)共滚动了12.5m

(3)小球滚动8m用了2杪

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小

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25.2.3因式分解法分层练习(解析版)

球的退动减少的速度等于速度变化+小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键.

(1)从滚动到小球速度为lm/s平均每秒速度减少值为：速度变化+小球运动速度变化的时间；

(2)利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的最，即可求出小球从开

始到停止滚动的时间，再利用s=历求得小球从开始到停止滚动的距离；

(3设小球滚动到8m时的时间为心，根据s=得到方程，解方程即得到行驶时间.

【详解】(1)解：?=l(m/s),

4

即小球的滚动速度平均每秒减少1m,

故答案为：1;

(2)解：(5-0)+l=5(s),

5；。x5=12.5(m)；

答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了12.5m；

(3)解：设小球滚动到8m时的时间为心,

由题意得："(5；皿＜=8,

整理得:x2-1Ox+16=0»

解得：石=2,£=8(舍去)，

答：小球滚动8m用了2秒.

2.跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一.该项目练习成本低，且运动安全性较高.

(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成.某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个

手柄或1200根绳子.现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子

恰好配套？

(2)小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个.己知

小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误

了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练.求小林平均每分钟跳绳多少个？

【答案】(1)安排8名工人生产手柄，2名工人生产绳子力能恰好配套.

(2)小林平均每分钟跳绳180个.

【分析】(1)设安排生产手柄有x名工人，则绳子的工人有(1。-名，再分别表示手柄，绳子的生

产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可；

(2)设小林平均每分钟跳绳加个，则小王平均每分钟跳绳(/〃+20)个，则利用时间关系建立分式方

程求解即可.

【详解】(1)解：设安排生产手柄有x名工人，则绳子的工人有(10-x)名,

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

由题可知：1x600x=1200（10-x）,

解得：x=8,

A10-x=10-8=2（名），

答：安排生产手柄有8名工人，生产绳子工人有2名；

（2）解：设小林平均每分钟跳绳〃?个，则小王平均每分钟跳绳（m+20）个，则

600159007

----1--=-----,

m+2060m4

解得：〃?=180或阳=-50（不合题意，舍去），

经检验：加=180是原方程的根，且符合题意；

答：小林平均每分钟跳绳180个.

3.某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲

组的甲组先单独做了5天，之后甲组和乙组又合作了2。天，刚好如期完成了整项工作.

（1）求甲组单独完成整项工作需要多少天？

（2）推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套

纪念品进价20元，定价为40元，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每

涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利10000元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪

念品的售价应为多少元？

【答案】（1）甲组单独完成整项工作需要41天

（2）该纪念品的售价为70元

【分析】（1）根据工作总量=工作时间*工作效率，设甲组单独完成整项工作需要x天，则甲组的

工作效率是乙组的工作效率是*,根据工程的完成情况列方程解答即可.

x5x

（2）根据利润=（售价-进价）X销售量，设该纪念品的售价为y元，根据涨价后的销售情况列方

程解答即可.

【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要》天，则甲组的工作效率是1,乙组的工作效率是

X

4

不，

由题意可列方程：—+20^—+—=1,

x5x）

解得：x=41,

经检脸，、=41是原方程的解，且符合题意，

答：甲组单独完成整项工作需要41天；

（2）解：设该纪念品的售价为N元，

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

由题意可列方程：（丁-20）800-y（^-40）］=10000,

整理得：（》-30心-70）=0,

解得：乂=30,必=70,

Vy>40,

・・・y=70.

答：该纪念品的售价为70元.

4.某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机

器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500

件快递.

（1）电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不

少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？

（2）日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时.为提升分拣效率，中心对机器进行了系

统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100。件且每天比原

计划少工作2〃小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作。小时.调整

后，两台机器一天恰好分拣快递6