北师大版九年级数学上册《认识特殊的平行四边形》同步练习题（带答案）

北师大版九年级数学上册《1.1认识特殊的平行四边形》同步练习题（带答案）

一、选择题

I.（5分）如图，在平行四边形A8C。中，点。为的中点，E尸过点。且分别交AH,CD于点E,F.若AE=

10,则的长为（）

2.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点8,C位于第一象限，菱形0ABe的顶点A的坐标为（4,0）,ZAOC

=60°,则点B的坐标为（）

A.12,26）B.（6,26）C.（4,4）D.（6,2）

3.（5分）如图，在矩形A8C。中，48=8,8c=4,将矩形沿AC圻叠，则重叠部分△APC的面积为（）

4.（5分）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误

的一项是（）

A.①：一个角是直角B.②：对角线相等

C.③：对角线互相垂直D.®：一个角是直角

5.（5分）如图，将I3A4C。沿对角线4c折叠，使点4落在配处，若/1=N2=44",则N/6为（）

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B'

A.66°B.104°C.114°D.124°

6.（5分）下列关于菱形性质的说法，正确的是（）

A.对角线相等B.四个角都是直隹

C.对角线互相垂直D.不是轴对称图形

7.（5分）如图，点P是矩形A/3CO的对角线AC上一点，过点。作石尸〃4C,分别交A从CD于E、F,连接PB、

PD.若4E=2,P尸=8.则图中阴影部分的面积为（)

D.18

8.（5分）已知：如图，在正方形ABCO外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若

AE=AP=\,PB=V6,下列结论：

②点B到直线AE的距离为代；

③EB上ED;

®S^APD+S^.APB=1+V2.

C.@®®D.①②④

9.（5分）如图，在菱形AAC。中，对角线4C,BD交于点O,菱形/WC。的面积为8,BD=6,A凡L8C于点E,

则OE的长为（）

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A

10.（5分）如图，矩形ABC。的对角线AC,8。交于点O,4B=6，BC=8,过点。作。E_LAC,交AD于点、E,

过点E作垂足为尸，则OE+E尸的值为（）

12

D.——

5

二、填空题

I.（5分）如图，在菱形人BC。中，若NA8C=100。，BA=BE,则N8EA的度数为

2.（5分）如图，E,尸是正方形A8CD的边AD上两个动点，满足AE=D尸.连接C尸交8。于点G,连接8X交

AG于点从若正方形的边长为2,则线段。”长度的最小值是

3.（5分）如图，在正方形ABCO的外侧，作等边△AOE,则NBEZ）的度数是

4.（5分）如图，团A5C。的顶点。在等边△3EF的边5F上，点石在AB的延长线上，。为。石的中点，连接CG.若

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AD=3,AB=CF=2,则CG的长为

5.(5分)如图，在正方形A/3CO中，A3=3,点、E,F分别在C。，A。上，CE=DF,BE,O相交于点G.若图

中院影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：3,则ABCG的周长为

三、解答题

1.(5分)如图，四边形A3C。为平行四边形，N84。的角平分线4£交。。于点R交8c的延长线于点£.

(1)求证：BE=CD；

(2)连接8尸，若BF_LAE,ZBE4=60°,人8=4,求平行四边形/WCQ的面积.

2.(5分)如图，E,尸分别是矩形48CO的边4。，AB上的点，若EF=EC,且所_LEC.

(1)求证：AE=DC；

(2)已知。C=&,求BE的长.

Ck答案

一、选择题

1•【解答】解：•・•四边形4BC。是平行四边形

：.DC=AB,DC//AB

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：.ZFDO=ZEBO,ZDFO=ZBEO

•・•点。为4Q的中点

：.OD=OB

：・40D乂丛OBECAAS）

：.DF=BE

：・DC・DF=AB-BE

：.CF,=AE=\O

故选：D.

2.【解答］解：如图，菱形QWC的顶点A的坐标为（4,0）,N4OC=60°,过点B作8。垂直x轴，垂足为

：,OC//BA,OA=AB=4

・・・N8AO=NAOC=60°

在RtAAB。中，ZBAD=60a

・•・NA4Q=30°

：.AD=2

在直角三角形/WO中，由勾股定理得：BD=7AB2-=26

；・OD=OA+AO=6

・••点8的坐标为（6,2百）

故选：B.

3.【解答】解：•.•△A。'Cg△CB4

•••△A。'FWACBF

〃与ACB尸面积相等

设BF=x,则（8・x）2=f+42

64-16X+.V2=JV2+16

16.v=48

解得％=3

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11

:.ZM"的面积=/x4X8->3X4=IO.

故选：B.

4.【解答】解：•・•有一个角是直角的平行四边形是矩形

・•・①应填：一个角是直角

故选项A正确，不符合题意；

•・•对角线互相垂直的平行四边形是菱形

.••②应填：对角线互相垂直

故选项8不正确，符合题意；

•・•对角线互相垂直的矩形是正方形

・••③应填：对角线互相垂直

故选项C正确，不符合题意；

•・•有一个角是直角的菱形是正方形

・••④应填；一个角是直角

故选项。正确，不符合题意

故选：B.

5.【解答】解：•・•四边形A5CO是平行四边形

：.AB//CD

：.ZACD=ZBAC

由折叠的性质得：/BAC=/B，AC

:.NBAC=NACD=/B'AC=^Z\=220

AZB=180°-N2-N8AC=I8O°-44°-22°=114°；

故选：C.

6.【解答】解：A、对角线不一定相等，原说法错误，故不符合题意;

8、四个角不•定都是直角，原说法错误，故不符合题意；

C、对角线互相垂直，原说法正确，故符合题意；

。、菱形是轴对称图形，原说法错误，故不符合题意；

故选：C.

7.【解答】解：作尸M_LA。于M,交BC于N.

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则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPM四边形BEP/V都是矩形

：SSDC=S£.ABC，SMMP=S"EP，SAPBE=S&PBN，S&PFD=SAPDM,S^PFC=S^PCN

I

:.S&DFP=S^PBE^2x2X8=8

Syj=8+8=16

(本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题)

故选：C.

8.【解答】解：在正方形/WC。中，AB=AD

*：APLAE

：,^DAE+ZDAP=90°

又:ZDAP+ZBAP=ZBAD=90°

：.ZBAE=ZDAP

在AAP。和△AEB中

AE=AP

Z.BAE=匕DAP

AB=AD

：,/yAPD^/\AEB(SAS),故①正确；

•・・AE=AP,APLAE

•••△AEP是等腰直角三角形

/.ZAEP=ZAPE=45°

・・・NAE8=NAPQ=180°-45°=135°

AZBEP=135°-45°=90°

：.EBLED,故③正确；

'：AE=AP=\

：,PE=y/2AE=yf2

在RtZkPBE中，BE=7PB2-PE2=J(V6)2-(>/2)2=2

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S^APD+S^APB=S^APE^S^fiPE

=1xlX14-|xV2x2

乙乙

=0.5+V2,故④正确：

过点B作BFA.AE交AE的延长线于F

VZBEF=180°-135°=45°

.•.△BE/是等腰直角三角形

:・BF=§x2=V2

即点B到直线人上的距离为后，故②错误

综上所述，正确的结论有①③④.

故选:A.

9.【解答】解：•・•四边形48CQ是菱形

・•・OA=OC,菱形ABCD的面积=34c•=*x6x4C=8

・“_8

­•AC-3

•・・AEJ_8C,OA=OC

14

：.OE=^AC=^

故选：c.

10.【解答】解：・.・A8=6,4C=8

.•・矩形/WCO的面积为48,AC=yfAB^TBC^=10

：.AO=DO=1AC=5

•・•对角线AC,交于点O

•••△AOD的面积为12

EOLAO,EFlDO

11

/.S^OD=S^AOE+S^DOE^即12=OXEO+^DOXEF

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11

/.12=X5XEO+1x5XEF

・・・5CEO+EF)=24

24

：,EO+EF=^

故选：C.

二、填空题

1.【解答】解：•・•四边形ABC。是菱形，NABC=100°

ZABE=义/A6C=50°

•：BA=BE

：.NBEA=NBAE=gx(180°-/ABE)=1x(180°-50°)=65°

故答案为：65°.

2.【解答】解：在正方形A8CO中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG

在AABE和△OC尸中

(AB=CD

△BAD=/.CDA

\AE=DF

：.4ABE9ADCF(SAS)

AZI=Z2

在A4OG和△COG中

AD=CD

乙ADG=Z-CDG

DG=DG

•••△AQGg△COG(SAS)

:.Z2=Z3

AZI=Z3

：NBAH+N3=N84O=90°

，Nl+NR4H=90°

AZA/7B=180°-90°=90°

取AB的中点。，连接。”、OD

则OH=AO=B=1

在RtaAO。中，OD=y/AO2+AD2=^1^+2^=V5

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD

・••当0、。、〃三点共线时，。〃的长度最小

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最小值=0。・0"=代—1.

（解法二：可以理解为点〃是在RtZkA〃从A8直径的半圆AS上运动当。、，、。三点共线时，。〃长度最小）

故答案为：V5-1.

A_EF

3.【解答】解：•・•四边形ABC。是正方形

：.AB=AD,ZBAD=90°.

•・•等边三角形ADE

：.AD=AE,ZDAE=ZAED=60a.

N3AE=NBAD+NDAE=90"+609=150°

AI3=AE

NAEB=NABE=(180°-NBAE)4-2=15°

ZBED=ZDEA-ZAEB=60°-15°=45°.

故答案为:45°.

4.【解答】解：•・•四边形ABC。是平行四边形

：,AD=BC,CD=AB,DC//AB

*：AD=3,AB=CF=2

:・CD=2,BC=3

；・BF=BC+CF=5

•••△BE”是等边三角形，G为OE的中点

：・BF=BE=5,DG=EG

延长CG交BE于点”

*：DC//AB

：,/CDG=/HEG

在AOCG和△£：”(；中

NCDG=Z-HEG

DG=EG

Z.DGC=Z-EGH

:.△DCG妾MHG(ASA)

:.DC=EH,CG=HG

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VCD=2,BE=5

：.HE=2,BH=3

VZCBH=60°,BC=BH=3

•••△CBH是等边三角形

:・CH=BC=3

13

：.CG=gCH=.

故答案为：I.

5.【解答】解；•・•阴影部分的面积与正方形40co的面积之比为2：3

2

・•・凯影部分的面积为1x9=6

・•・空白部分的面积为9-6=3

由CE=ORBC=CD,NBCE=NCDF=90°,可得ABCESF

12

・•・4BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为yx3=1

ZCBE=ZDCF

*：ZDCF+ZBCG=90°

•••NC4G+N改?G=90°，即N4GC=90°

12

设5G=a,CG=b,则髀

又・・・/+庐=32

・,・/+2"+。2=9+6=15

即(a+b)2=15

：.a+b=y/15,即8G+CG=质

•・.△BCG的周长二值+3

故答案为：A/15+3.

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D

-------V

三、解答题

1.【解答】(1)证明：•・•四边形ABC。是平行四边形

.'.AD//BC,AB//CD,AB=CD

・•・/AEB=/DAE

是NBA。的平分线

，NBAE=NDAE

：.NBAE=NAEB

：.AB=BE

・•・BE=CD；

(2)解：•:AB=