2026人教B版高考数学复习 第10章 第10节 概率与函数、数列（含答案解析）

第10节概率与函数、数列

题型分析近几年高考重视在知识交汇处命题，通过综合运用函数、数列等知识解决蹴率统计实际

问题，突出知识间的综合应用.解决概率统计与函数的交汇问题的关键在于利用函数的单调性确定

最优解;解决概率与数列的交汇问题的关键在于找出概率P”或均值仇M)的递推公式,利用数列的性

质、求和公式等解决问题,该问题的实质仍是以概率统计为主导.

题型一概率与函数

例1(2023・新高考H卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有

明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

频率

组矩

().040

0.036

0.034

0.012.............

().(X)2吁1~~IIIIII一

09S1001051015120125130指标

患病者

利用该指标制定Y检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C

的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阳性的概率,记为p(c)；误诊率是将未患病

者判定为阳性的概率,记为夕(。).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的

概率.

⑴当漏诊率P⑹=0.5%时,求临界值C和误诊率")；

(2)设函数抬尸p(c)+g(c).当口［95,105］时,求危)的解析式，并求在区间［95,105］上的最小值.

解(1)由题图知(100-95)X0.002=1%>0.5%,

所以95々<100.

设X为患病者的该指标，

贝！Jp(c尸P(XWc)=(c-95)X0.002=0.5%,

解得c=97.5.

设丫为未患病者的该指标，

贝!］q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)X0.01+5X0.002=0.035=3.5%.

(2)当95WcW100时,

p(c)=(c-95)X0.002=0.002c-0.19:

#)=(100-c)X0.01+5X0.002=-0.0lc+1.01,

所以/(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;

当100<cW105时,

p(c)=5X0.002+5100)X0.012=0.012c-1.19,

q(c)={105-c)X0.002=-0.002c+0.21,

所以/(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98.

综上所述，

(-0.008c+0.82,95<c<100,

/(c)(0.01c-0.98,100<c<105.

由一次函数的单调性知，函数次。)在［95,100］上单调递减，在(100,105］上单调递增，

作出/匕)在区间［95,105］上的大致图象(略),可得/(c)在区间：95,105］上的最小值/(c)min=/(100)=-

0.008X100+0.82=0.02.

思维建模概率与函数交汇问题的解题步骤

第一步:通读题目，仔细审题,理解题意；

第二步:根据题目所要解决的问题,确定自变量及其取值范围；

第三步:构建函数模型，写出函数的解析式；

第四步:通过函数的单调性(有时借助导数)等求函数最值达到解决问题的目的.

训练1(2025・太原调研)甲、乙两人参加一个比赛,该比赛设有奖金256元,谁先赢满5局,谁便赢

得全部的奖金，已知每场比赛乙赢的概率为M0<P<D，甲赢的概率为3,每场比赛相互独立,在乙

赢了3局甲赢了1局的情况下,设备出现了故障,比赛被迫终止，则奖金应该如何分配才合理?有专

家提出如下的奖金分配方案:若出现无人先赢5场且比赛意外终止的情况,则甲、乙按照比赛再继

续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比。甲：2乙分配奖金.

⑴若〃弓,求乙应该获得的奖金数；

(2)记事件力为“比赛继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当比赛继续进行下去，甲获得全部奖金

的概率为加),并判断当P，|H立事件A是否为小概率事件,并说明理由.(注若随机事件发生的概率

小于0.05,则称随机事件为小概率事件)

解⑴设比赛再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢.

由题知,当年2时，乙以5：1赢，

所以P(X=2)=1X%；

当X=3时,乙以5：2赢，

所以尸(六3)VXGXqX卷；

当六4时,乙以5：3赢，

所以尸(X=4)=|XC*XG)2啜；

当片5时，乙以5：4赢，

所以尸(片5)亭第汉33嗫

所以乙赢得全部奖金的概率为注急嗫喑，

所以乙应该得奖金256乂察2521元).

(2)设比赛继续进行y场甲获得全部奖金，则最后一场必然甲赢.

由题知，当口时，甲以5：3赢,

所以p(y=4尸(1-〃)4,

当上5时，甲以5：4赢,

所以P(y=5尸(1-p)X僚x(1-p)3P=4(1-p)4p,

所以甲获得全部奖金的概率

f(p)=(1-p)4+4(1-p)4p=(4p+1)(1-p)4,pe|,i),

所以/V尸4(1-p)4-4(4p+1)(1-p)3

=4(1-p)3(1-p-4〃-1尸-20(1-p)3P.

・・・〃£[”)，・・・./V尸-20(l-p)3pv0,

・・・加)在”)上单调递减，

所以/S)max=/(§号X0)4*00450.05,

故事件力是小概率事件.

题型二概率与数列

例2（2024•扬州两校联考）某校为了合理配置校本课程资源,教务部门对学生们进行了问卷调查.据

统计，其中为勺学生计划只选择校本课程一,另夕曲勺学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二.

44

每位学生若只选择校本课程一,则记1分;若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分.假设每

位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率.

⑴从学生中随机抽取3人记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;

⑵从学生中随机抽取〃人（〃eN*）,记这〃人的合计得分恰为的概率为p〃,求0+必+…+口.

解（1）由题意知,每位学生计划不选择校本课程二的概率为a选择校本课程二的概率为*

则X的可能取值为3,4,5,6,

尸（X=4）小（汴（丁磊

P（^5）=Cixg）2X（i）=l

尸”（丁磊

所以X的分布列为

X3456

192727

P

64646464

所以E（A>3XH4X-5X"6X/

⑵因为这〃人的合计得分为〃+1分,

所以其中只有1人计划选择校本课程二,

所以所C4（旷写

设S产P1+P2+…切〃

■…琮,①

则节*'力…琮I，②

①一②得起小玲康

4n4"+1'

即次=3XKE——ii一也

「哽〃J人1」4,,+114n4"114"】'

4

所以PI+P2+…+p〃W(l-篝).

思维建模概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线建立关于概率的递推关系.解决此类问

题的基本步骤如下：

(1)精准定性,即明确所求概率的“事件属性”；

(2)准确建模,即通过概率的求解,建立递推关系化为数列模型问题；

(3)解决模型，即转化为等差数列、等比数列的问题求解，在求解过程中应灵活运用数列的性质.

训练2(2025・重庆联考)掷一枚质地均匀的骰子，得分规则若出现的点数为1,则得1分，若出现的

点数为2或3,则得2分;若出现的点数为4或5或6,则得3分.

(1)记X为连续掷这枚骰子2次的总得分,求X的数学期望.

⑵现在将得分规则变更如下:若出现的点数为1或2,则得2分,其他情况都得1分.反复掷这枚骰子,

设总得分为〃的概率为P”,证明数列为等比数列.

⑴解由题知掷一次骰子,得1分的概率为得2分的概率为;，得3分的概率为;.

bJ/

X的所有可能取值为2,3,4,5,6:

产(六2),1X1一1,

'76636

尸侯3尸2X*三，

OOx

P(AM)=xQx打制，

尸佯5尸2X1)导11

P(X=6)=|xS

故E(X)=2X抒3义$4XX孑6义智.

(2)证明改变规则后,掷一次骰子,得1分的概率为，,得2分的概率为今

*JJ

当〃=1时,〃1三.

当心2时,总得分为什1有两种情况一种情况是当得分为〃时,下一次再得1分另一种情况是当

得分为〃-1时,下一次再得2分.

所以pn+i=|p"电”(心2),

故P”+「P，广勺

=--伊〃-p〃」)(〃22),

易得以=|义143,

则必-piq-|=1wo,

所以仍〃+「〃｝是首项为芯公比为一料等比数列.

■马尔可夫链拓展视野

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式,我们既可以

构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型，即:设数轴上一个点,它的位置

只能位于整点处,在时刻片0时,位于点x=j(i£N*),下一个时刻,它将以概率a或者在(火口£

(0,1),a+夕=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态如•表示:在时刻，该点位于位置x=i(i£N*),那么

由全概率公式可得:产出e尸尸(XE)・P(AM-岗=川+尸(居汁】)/(%+而田).

由于尸(居1■岗M1)=S，P(%+I]¥ji)=a,代入上式可得

进一步,我们假设在x=0与x=m(〃7>0,〃[£N")处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收,不再游

走.于是,po=O,p6=l.随机游走模型是一个典型的马尔可夫过程.

进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为。；原地不动,其概率为"向右

平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得/%=apm+bp什cp”.

典例(2023•新高考I卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮;

若未命中,则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为06乙每次投篮的命

中率均为08由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率：

(2)求第，次投篮的人是甲的概率；

nn

⑶已知:若随机变量X服从两点分布，且P(X=1尸l-P(X=0)=%,i=l,2,…,〃，则E(ZX)=E务记前〃

z=li=l

次(跳从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

解⑴第2次投篮的人是乙分为两种情况：

第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5X(l-0.6)=0.2;

第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5X0.8=04

所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+04=0.6.

⑵设第i次投篮的人是甲为事件A”

则P(小尸0.5,P(4+i尸P(4)XO.6+[1-P(4)]X(1-O.8)=|尸(4)《，

所以尸(4+1)昙"(4)一非

所以|P(A)-?是以3为首项,|为公比的等比数列，

所以P(4)gx(|)i

所以P(4)=*X(|)TN”.

0o\D/

(3)由(2)知,第i次投篮的人是甲的概率为

尸(4)职X(|)i,i£N*,

第，次投篮的人是甲记为X=1,否则记为x=o,则X服从两点分布,

且尸的1)职x(|)i

由题意知£(y)=E(£X)=£qt

/-IJ-l

[*x(|)T

=ip(xi=\)=i

»=1i=lL36\57

n-1

=6n+5_l/2\

F―9\57*

课时对点精练

1.(2025•河北名校联盟模拟)如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏:将一个半径适当的小球放

入如图所示的容器最上方的中间入口处,小球将自由下落,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障

碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是最后落入力袋或4袋中.一

次游戏中小球落入/袋记1分，落入8袋记2分,游戏可以重复进行.游戏过程中累计得〃伽eN*)分

的概率为P”.

H

⑴求〃1,〃2,〃3；

⑵写出p〃与p〃」（〃£N*且〃22）之间的递推关系,并求出｛〃“｝的通项公式.

解⑴小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中，

此概率尸仍尸援弓丫+髭6了三，

则小球落入4袋中的概率

13

尸（“）=1一尸（8尸厂尸下

故P尸尸⑷弓

由依,

P3=（，+GX：X|=^

⑵法一游戏过程中累计得不到"分,只可能在得到（"-1）分后的一次游戏中小球落入B袋中,

即prl=1-，〃一।（〃丘N,且〃>2）.

由P"=1—%N（〃£N'且〃22）,

得P〃T=—（Pn-i-j）（«£N*且〃22）,

故｛区-9为等比数列，

且首项为“专注■公比为T

故技x（一；Y|《义（一丁

故p.x（一步前£N）

法二游戏过程中累计得〃分可以分为两种情况：

得到（〃-2）分后的一次游戏中小球落入B袋中,或得到（〃-1）分后的一次游戏中小球落入A袋中,

故。〃小〃1坳〃2（〃£N♦且〃23）,

即P〃+'如i=P〃/坳〃-2（〃£N“且〃23）,

故｛p'+3P〃T｝（〃£N*且〃22）为常数数列，

且，2中1=1，

故P+」=1（〃£N，且心2）,

即p〃=l£N”且〃22).

下同法一.

2.某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成队员甲与队员

乙组成一个小组.游戏规则如下:每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次

数之和不少于3的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为pi,P2.

⑴若“4,P2=|,求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率；

⑵已知Pl+P2=1,则当P"2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号

的概率最大?并求出此时的最大概率.

解⑴每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”，

则可能的情况有①甲投中一次,乙投中两次;②甲投中两次，乙投中一次;③甲投中两次,乙投中两次.

..12

・Pl=pP2=p

・・・他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为

⑵由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率

p=Gpl(l-pi)P2+PlC2P2(1-P2)+P1P尹2〃必3l+p2)-3p；冰.

.•,6.12°22

又0WpiW1,0Wp2W1,pi+p24，

*pWl.

令m=p\p2=-pl-^p\

=-(Pl-5)2也

则加三屋］，

p=Hm)=-3m2+^m=-3>(m—§琮.

・・・p=-3加苧在曲身上单调递增,

・/9、297

.-)=-T,

\ZDZOZD

此时pi=p2T.

3.(2021•新高考II卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,

经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的

且有殂同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(^/)=p,(/=0,1,2,3).

(1)已知po=O.4,0=0.3,“2=0.2,p3=0.1,求E(X)\

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:po+pix+pl+plf的

一个最小正实根,求证:当时,p=l,当E(X)>\时,pvl;

(3)根据你的理解说明第⑵问结论的实际含义

⑴解E(㈤=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1.

⑵证明设.心)=〃M3+P>2+3-1)X+〃0,

因为“3+p2+pi+po=l,

故./W=PM3+P2X2-S2+P()tP3»+PO.

若E(X)W1,则夕i+2o+3〃aW1,

故以+2〃3W〃o.

/(X尸Bps^+Zp忒-Sz+po+ps),

因为八0)=-3+〃()+〃3)<0,

八1)=p2+2p3-poW0,

故人工)有两个不同零点XI,X2,

且X1<O<1WX2,

且XE(-8,X|)U的,+8)时,/3>0；

XW(X],X2)时J(x)v0；

故府)在(-8,xi),(X2,+8)上为增函数在(M,⑼上为减函数.

若X2=l,因为,/W在(X2,+8)上为增函数且川)=0,

而当儿e(o,人2)时,因为/(八)在a1,人2)上为减函数,故/o/a2Hz⑴-o,

故1为po+pil+p>2+。43=工的一个最小正实根；

若X2>1,因为火1)=0且在(0,X2)上为减函数,故1为po+p\X+P2X2+P3X3=X的一个最小正实根.

综上，若E(X)W1,则p-1.

若E(A)>1,则pi+2P2+3。>1,

故“2+2〃3>〃0.

此时八0)=-3+po+p3)VO,

/'(l)=P2+2p3-po>O,

故八工)有两个不同零点X3,X4,

且X3<KX4〈1,

且「8,也)U(X4,+8)时/团>0；

X£(X3,X4)时,/(x)vO;

故后)在(-8,4),任4,+8)上为增函数,在(w%4)上为减函数，

而用)=0,故/4)<0,

又./(0)=po>0,

故心)在(0,X4)存在一个零点P，且P<1.

所以〃为po+p|X+P2X2+P3X3=X的一个最小正实根,此时p<\,

故当E(&>1时,p<L

(3)解每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后必然灭绝;若繁殖后代的平均数

超过1,则若干代后灭绝的概率小于1.

4.(2025・武汉调研)已知常数p£(0,1),在成功的概率为〃的伯努利试验中,记X为首次成功时所需

的试脸次数,X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.

8n

⑴对于正整数k,求P(X=k),并根据E(X)=£kP(X=k)