圆锥曲线的方程（七）讲义-2025届高三数学专项复习（含答案）

2025高考一圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七

知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程，求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,

椭圆中三角形（四边形）的面积

典例L已知椭圆=其离心率为当，若力鸟分别为C的左、右焦点，x轴上

方一点P在椭圆C上，且满足百,艺，|西+所卜26

（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线I交C于另一点Q（点Q在第二象限），点M

与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N,若VP。'的面积是AOMN的面积的2倍：求直线1的方

程.

Y*P*48

随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为亍，且长轴长为4.

（1）求C的方程.（2）直线1经过点（7,1）,且斜率大于零.过C的左焦点耳作直线1的垂线，垂足

F

为A,过C的右焦点1作直线1的垂线,垂足为B,试问在C内是否存在梯形F【F\AB，使得梯形FEAB

的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

典例2、已知椭圆u[+/=l(a>b>0)的离心率为上其右焦点为F,点且依|=正.

(1)求C的方程；

(2)过点P且斜率为左(女工0)的直线1与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为

M、N,直线AN与直线>=3交于点E,证明：B、M、E三点共线.

随堂练习：已知椭圆C：£+左=1(八6>0)过点仆2,0),离心率八率

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左右两个顶点分别为A,B,过点0,0)的直线与椭圆C交于M、N(不与A、B重合)

两点，直线AM与直线*=4交于点Q,证明：B、N、Q三点共线.

典例3、已知椭圆C：千+号=1，左右焦点分别为02,直线y=-x+l与椭圆C相交于48两点.

(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；

(2)求“8"的面积.

随堂练习：已知椭恢I%：看।5=1的长轴长为生左、右顶点分别为八，B,经过点P(LO)的动直线

与椭圆"相交于不同的两点C,D(不与点A,8重合).

(1)求椭圆力的方程及离心率；(2)求四边形力C6。面积的最大值；

知识点二根据a、b、c求椭圆标准方程，求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点

问题

典例4、已知椭圆C：4+p-=I(a>b>0)的左右焦点为耳,尸2,上、下端点为九房.若从耳,%

4，当中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过点7。，2)作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于A,B,E,产四点，

若线段48,E尸的中点分别为M,N,试问直线MN是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果

不是，请说明理由.

随堂练习：已知椭圆比二十二=1("八0)上任意一点。到椭圆“两个焦点月，工的距离之和为4,且

a~b~、'

离心率为坐.

(1)求椭圆时的标准方程；

(2)设A为M的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线力分别与"交于C,。两点，证明：直线CO

经过定点，并求这个定点的坐标.

和点［L半］

典例5、已知椭圆E经过点

(1)求椭圆的标准方程；

⑵设圆。：/+歹2=|,直线1与圆C相切于P(x0,yo),XovO,与椭圆交于A,B两点，且|力81=6,求

直线1的方程.

随堂练习：已知点B是圆U(X-I)2+V=16上的任意一点，点/(-1,0),线段8尸的垂直平分线交8c于

点P.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)直线/：y=2x+m与E交于点M,N,且MV卜上浮，求m的值.

典例6、已知①如图，长为2。，宽为措的矩形"CO,以A、8为焦点的椭圆忙提+Q1恰好过co两点

②设圆(X+我2+。=[6的圆心为s,直线/过点T(£O),且与X轴不重合,直线/交圆S于。。两

点，过点T作SC的平行线交SD于“,判断点〃的轨迹是否椭圆

(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆”的标准方程；

(2)根据(1)所得椭圆M的标准方程，若尸为椭圆M上的点，耳，鸟分别是椭圆M的左右焦点，若

4平=60。，求巴的周长与面积.

随堂练习:已知椭圆C：+今=10>6>0）的左,右焦点分别为6%过6的直线/与椭圆。交于“，

N两点，圆P是AA/NK的内切圆当直线’的倾斜角为45。时，直线/与椭圆C交于点[£一；

(1)求椭圆。的方程；(2)求圆夕周长的最大值.

2025高考一圆锥曲线的方程(一轮复习)课时七答案

典例1、答案：(1)7+y=1>P®网(2)/x-2y+2m=0

解：(1)因为芦，桃，所以两•%=。，且附『+附卜电。

又|两+小卜2万,所以图2+2期,电+%2=12,

即时+%2=12,即图'+阿『=|月入『="=12,所以"石，

又离心率6=£=4，所以。=#,c2=a2-b2,所以人=百，所以椭圆方程为、+*=1.

a2GJ

(2)•.・西。也<12,又...|西卜|阿卜2〃=2亚防卜陷卜亚」.P点的坐标为(。，叫.

依题意直线1的斜率存在，设直线1的方程为旷=履+百，

y=kx+小厂

由V/消去y整理/+1产2+4限=0,解得“。或

163

(~4J3k百-2®2、_2辰2_在］

所以Q点坐标为QN+Y2V+1J，从而M点坐标为+1，2V+1J，

所以直线PM的方程为N=5》+"，则N点的坐标为卜2回,0),

因为VP0N的面积是WN的面积的2倍，点Q在第三象限，所以凡呐=SVQMN,

即:£：=9卜2限),解得女=乎(舍负)，

乙K+1ZZ

所以满足条件的直线1的方程为N="x+有，即：加x-2y+2邪=0.

随堂练习：答案：⑴宁+/1⑵存在；&+1

V.2工2a2b2

解：⑴设C的内接正方形的一个端点坐标为(x,x),则f+/"=l‘解得—=「+商，

则C的内接正方形的面积为j：：,)2X2：〃2=g,

即12(储+6,-又2a=4,所以a・2,

代入12仔+止)=7/〃,解得"=3,故C的方程为》,=1.

(2)存在梯形乙片力巴其面积的最大值为a+i.理由如下：设直线，：，=履+刖，k>0.

因为直线1经过点(-】，1),所以〃一人，=1,所以点片(T，0)到直线1的距离为号劣=疝了,

点8(1。)到直线1的距离为%?=%g

所以梯形入大力8的面积S=；诲尼|cos3（8为直线1的倾斜角），

c12A+2.12（"1）2

所以26+1天+1:"A+l+_当且仅当％=8-1时，等号成立,

A+l

此时，直线/：»=（正一1/+近，直线8鸟号=一（在+l）x+/+l.

3

4

联立这两条直线的方程，解得_3应+2，因为122+12酒47+24]47+24x1.583

囱出—+--------------------------<L—

433248969696

4-

3"+2、/_4+^72+2

八一二9Z

所以点4在C的内部.同理可证:44也在C的内部.

故在C内存在梯形入片“巴其面积的最大值为3+L

典例2、答案：（1）—+：y=1;（2）证明见解析.

c1

解：⑴设厂（c,0）（c>0）,由题意知片5，「.”2c.

•.•点p（o,i）,且丁卜户T=如,解得。=i,•.a=2,b=邪,

因此C的方程为7+g=l•

（2）由题意可知，直线1的方程为^=米+「

31女+「得（3+软2产2+8k8=0,

由

3k8

设4和必）,则玉+工2=「

3+4公，X'X2~~3+4k2•

・「"N”•辄...N（0,%），.直线力N:y匕工+为

X（3f

令），=3,得E•.•力加1^轴，「."（°，乂）.

k__（3—必）（乂一%）

k凹一为（乂一%）3-二一

EM一_x（3f）~X2凸（3-为）X】

乂一%卬3F7+.心y）卜奇和2（……占］

中。2f）

8

乂一为2x上.2"=0

工也（3-%）.3+4KJ3+4%

/.B,M,E三点共线.

X2,

随堂练习：答案:（1）仃=1；（2）证明见解析.

解：⑴由题意知，。=2,e="与所以c=G则=

*>

所以椭圆C的方程为£+「=1.

（2）由题知：1斜率不为零,设1为彳=叼+1,”（再叫,Ng为），

x=my+1

由二+产=1得，（〃入4户2*3=0,则…广一含，卬”目，

所以2〃少风=3（乂+必），••・"气，直线AM的方程为，=总（'+2）,则。最

=-2__3乂_y2a+2）-3必（』-2）=」（加必+3）—3乂（〃?％一1）

的X2-2A-,+2（0-2）（演+2）（x,-2）（x,+2）

-2my.y.+3（y.+y,）,,

=（x：2）（x；+2）.=°,即如吩=演。，J.N、B、Q三点共线・

典例3、答案：（1）焦点坐标为斗T，°），K（L°）;离心率为半（2）半

JJ

22

解：（1）椭圆C：£+9=l知，该椭圆的焦点在X轴上，设焦距为2c,

由/=3,/=2,所以T=1,所以焦点坐标为斗-1,0）,口1,0）

离心率为：

（2）由直线y=-x+l与椭圆。相交于48两点，设4（不必）,例心必）

（x2y2

贝“32消去y得5--6X-3=0,X}+X2=-,X}X2=--,

y=-x+\

所以M"1=J。+公）&+）2-心㈤=JX像…⑶岑

又6到y=-x+l的距离为1」7+a一“="

72

所以“8片的面积为：SJBF、=

随堂练习：答案：⑴]+『=1；e=Y⑵2百

解：（1）由题意，得/=4m=4,解得〃?=1,所以椭圆"方程为亍+V=1,

，"2,b=l,c=®则离心率为可=#

（2）当直线的斜率人不存在时，由题意，得。。的方程为x=l,

代入椭圆〃的方程，得CL

又因为»8|=2Q=4,AB1CD,所以四边形/C3O的面积S=；/必卜|。|=2",

当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为），=仪x-1）（人=0）,

1)

设03，必），。（称为），联立方程£+/=],消去匕得”+了-8人+444=0,

由题意，可知△>（）恒成立，则占+占=市77，芭占二而不，

f八十■^TAC十1

四边形力的面积S=S.皿+5〃皿=；"卜叫+；，4xM卜;”卜加一月|

令4公+1=/,则四边形力C8。的面积S=2,-Jj+3,"（0,1）,

所以S=2,+4<2忑,综上所述，四边形力。6。面积的最大值26.

2J

典例4、答案：⑴y+^-=I（2）直线MN过定点，且定点为㈠⑼

解：（1）解法一：从耳，匕，4,当中任选三点可构成四个三角形，

其中△片片尸2/\二月外用，△44星9/\4入鸟.

为此仅需考虑怎，与为面积等于2的直角三角形即可.

其中仲鸟=g2c♦6=1,S：=；，2b.c=l.

因为△耳8行为等腰三角形，故可得月=90。，即有：2/=牝2；

同时因为力/层为等腰三角形，故可得/4片员=90。，即有：2/=4从；

22

综上可得：b=c=2t/=4,即可得椭圆。的方程为曰+与_=1.

解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从石，工，用，层中任选三点所构成的三角形,

均为等腰宜角三角形，故四边形£8区区是面积为4的正方形，

又正方形的边长为",故。2=4,即〃=2

又正方形的对角线相等，所以26=2c,即

又因为〃+。2=/=4,所以人=C=/从而椭圆C的方程为J+1=l.

⑵解法一：依题意，设直线的方程为：尸珞+2①

设直线石厂的方程为：广3+2,

联立方程①与椭圆C的方程可得（2k+1产++4=°

瓯X.+xR4k.

由韦达定理得心十x-不7，根据中点公式可得：-不？

则加4对+2=叼，即例「罚，不"同理可得：N「赤、说7TJ

从而直线MN的斜率为：3N=F7=F；=E7

故直线MN的方程为：尸治=匚乐（“尚j

2

因为人+&=2,将七=2-占代入上式可得：）'=]_的+2%：（"+1）

故直线MN必过定点。（-1,0）.

解法二：依题意可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：i+b①,

设直线"的方程为：、=¥+2②，设直线E尸的方程为：y=3+2,

联立方程②与椭圆C的方程可得（2攵；+1产+防工+4=0

8匕X,+x„4k.

由韦达定理得阳+4=一诟工7根据中点公式可得：%=、-二—年T

b-2

同时点M是直线48和直线MY的交点，联立方程①②得与=门

4k.b-2，三

即可得一3^77=^，整理得2从;一4例+6—2=°④

同理可得2bk；-4kk】+b-?=。⑤

根据④⑤可以理解为人,卜为关于k。的一元二次方程2胸;-4kko+b-2=O的两个根.

AL2k

由韦达定理可得：%+k2=犷了=2,即可得：b=k,

直线MN的方程为：y=—（x+l）,故直线MN必过定点。㈠,0）.

随堂练习：答案：（1）日+V=1（2）直线0。恒过定点（-*。），证明见解析

解：⑴由椭圆定义知:阿+网=北=4,解得：，,=2,

22

乂离心率e，=g:.c=6：.b=a--c=\y

a2

7

「•椭圆M的标准方程为:£+「=1.

(2)由⑴知:4(-2,0)；

当直线C。斜率存在时，设CQ：y=匕+〃?，C(西,必)，。(与，必)，

y=kx+m

由/2得：(l+4k)/+8"〃次+4"『-4=0

6+),=1

则△=16(1+4公_〃/)>0,解得：〃/<1+止，,玉+4=-代，，x,x2=±^

\,1+4A1+4k

二.隈"土'含=T,「•必必=T内-2的+々)-4.

即(H+吗(3+m)=**七+〃»(X1+/)+〃/=-A|A2-2(4+X2)—4

2

；.(k，+l)x(x2+("?〃+2)(王-x,)+ni+4=0,

(k2+1)(4m2-4)8km(mk+2)

即+m2+4=0

\+4k21+4R?

整理可得:5m2-16km+\2k2=(5〃?-6k)(6-2左)=0/.m=3或m=2k

当机=2%时，直线C»y=依+2攵=%(x+2)恒过A点，不合题意;

当加=与〃吐直线。:尸质+9=&卜+乡，.二。恒过定点(q，°

当直线CD斜率不存在且恒过(一川时，即mX=q,

44

4<«

得：J'=±g，，酿.kAD=——X-g-满足题意;

——+2——+2

55

综上所述：直线co恒过定点(一:，°).

2

典例5、答案：(1)y+/=l(2)x-y+y/2=0^x+y+y/2=0

解:(1)设椭圆E方程为储+4=1,(t,〃>0且0•)

b/+L=]

将点卜回，用，卜，白)代入椭圆方程得到‘/_，

1+不一1

解得，=3=1，所以椭圆的标准方程为£+/=].

JJ

(2)不妨设直线1的方程为“较一〃(〃>°)，”(不必)，巴孙必),

因为该直线与圆C：/+/=1相切，所以7言7=1，所以1+/=〃2,

将直线方程代入椭圆方程并消去X

得:(3+〃/)/一2〃7即+〃=3=0,则必必.8=^^,,

所以加+上＞-工必=山+加,工Y-4。S

I"|=Jl+3+nr)3+M，

联立1+川=〃2,解得加2=1/2=2,

ni=1

叫好或或〃=也,贝I」直线1的方程为x-y+石=。或x+y+6=0.

(1)由条件可得rq+*i=pq+附卜口。|=4＞尾卜2

所以动点P的轨迹E是以A。为焦点的椭圆，设其方程为£+£=1(。乂＞。)

22

所以24=4,2c=2,所以,7=2,C=1力=6所以方程为?+?=1

22

尸尸=1

(2)设”(和凹)小H2，%)联立j43可得19./+16始+4/-12=0

y=2x+m

所以由△=256/-76（4加-12）>0得〃?w

16〃？4W2-12

x^xi=--x^2=—^—

因为网=机/依+才-4司=护尊百引二誓所以可解得，"±1

典例6、答案：(1)7+)2=1;(2)5羯玛=坐，，=4+26

解：(U选择条件①：由已知可得点c(6i)代入椭圆方程得:

a2-b2=3

a2=4x2

b，=i故椭圆方程为：-+K=1

选择条件②：

由题设可得如下示意图，易知：asc。为等腰三隹形且sc=s力，

ZSCD=ZSDC,又TMI/SC,即ZMTD=ZSCD,ZMTD=ZSDC,则=MD,

MS+MT=MS+MD=SD=4,

椭圆定义知:动点”到两定点S(-3,0),7(3,0)的距离和为定值4,

•M的轨迹方程为+>,2=1.

一