现代数字信号处理-使用MATLAB分析与实现（新形态版）第6章课后题答案

6-1已知实信号x（n）的频谱如图6.10.1所示，试画出该信号2倍抽取后的频谱

XD（*）。

图6.10.1题6-1图

解:

xD(2m)=x(2m)

=共X（e鸟）+X9，号）|

也可以写为:

1

而（叫=肃3中）

6-2已知实信号工（八）的频谱如图6.10.2所示，试画出该信号2倍抽取后的频

谱XD®W）。

解：

用公式分段表示（以3>0为例）：

（1一3^，0-60-04兀（三角下降）

）-j1,0.4TT<o）<0.6TT（矩形）

vO,o）>0.6TT

3Vo部分与之偶对称,

XD("3)=|[X(e，&/2)+X(e，3-2和/21，侬e[-n,n]

乙

0.8〃7tco

6-3已知实信号》（九）的频谱如图6.10.3所示，试画出该信号4倍内插后的频

谱Xi®w）。

，X（，w）

I

-0.8兀0Q8冗w

图6.10.3题6-3图

解：

设3之0：

0<<0.5TT

0.8TT—0)810a)

|X(叫|=0.5TT<o)<0.8TT

0.3TT337r

0,o)>0.8TT

验证&=0.5TT得l,o)=0.8TT得0c

负频：

—0.5〃<o)<0

co+0.8TT10a)8

+-0.8TT<o)<-0.5TT

0.3TT~3TT3

0,6)<-0.8TT

验证：co=—0.5兀得l,s=—0.8/r得0o

一乃一0.570().5乃7tco

6-4试求图6.10.4所示多速率系统的输入x(7i)与输出y(n)的关系。

图6.10.4题6-4图

解析：各模块均为整数倍插值或抽取，无淀波器。

第一步:%(n)2%(八)

n=7k,kEZ

其他

即:

00

%(n)=Wx(k)8(n-7k)

k=-8

第二步:%(n)tv2(n)

v2(n)=vt(3n)

代入％表达式：

oo

v2(n)=2x(k)6(3n-7k)

k=-oo

冲激函数非零当且仅当:

371

3rI=7k=/c=—

由于k必须是整数，所以n必须是7的倍数。令n=7么则上=3九因此:

M3£),n=72,2STL

v(n)=

2°，其他

即口2(几)仅在n=7名处非零，且值为x(3/)。

第三步82（几）TV3（n）

巧（几）=卜（与，几=7醇mcz

（0,其他

代入外的特性：以。）仅在£=72处非零，值为叙3分。因此，要使内（九）非零，需

同

时满足：

l.n=7m（插值条件）

2.y=m且m=7/（由方非零条件）

得几=7m=7x72=49/。此时：

%（49£）=外（70=封3£）

其它n处内（几）=°。因此：

R(3O,n=49?,£€Z

v(n)=

3(0，其他

|3

第四步:%(九)Ty(n)

y(n)=S0>n=3p,pez

(o,其他

已知％(t)仅在£=492处非零。因此，要使y(7i)非零，需同时满足:

l.n=3P(插值条件)

25=p=49£(由内非零条件)

得几=3p=3x49£=147/。此时：

y(147£)=.(4%)=-30

其他n处y(?i)=0«因此：

(x(3O,n=1471,2W.1L

yW=0,其他

等价地，可写作:

灿)=卜宸)，当兀="7£共2

(0,其他

因为当n=147/时，看=3二与%(3£)一致。

6-5已知实信号武①的频谱如图6.10.5所示，试画出该信号3倍抽取后的

频谱。

图6.10.5题6-5图

解：

27r

。，1^1<TZ-

27r

(Z)—Q-/32\27r

X(e，&)=---而—=3(---5)，—<OJ<n,正频上升部分

'77T/3\7T3/3

2兀

—(JO—2\27r

----——=-3(—+-),-71<0)<,负频下降部分

71/3\n3/3

X0(e，&)=严"}⑴G[一m兀]

k=0

即:

X/e/s)=把，a)G[-n,n]

37r

是一个V形,在a=0时为0,在㈤=兀时为l/3o

八XQ

6-6抽取器如图6.10.6(a)所示，已知某模拟信号及。)的频谱如图6.10.60)

所示，其最高频率为人，若对该信号以£..2工。进行采样，形成x（〃），然后通过图

6.10.6（a）所示的抽取器彳导到抽取后的信号/（〃）,试分析并分别画出以下波形：原

序列的频谱门（网”）|（以。为变量），原序列的频谱卜@。）|（以①为变量）；抽取

序歹U（M=2）的频谱（以。为变量）；抽取序歹lJ（M=2）的频谱

（以4为变量）。

式〃)~：------%(〃)

----------►IAZ..............-

fs-----------fEJM

(a)

图6.10.6题6-6图

(1)

由于Xa（70）是三角，支撑在［-4,0］，而为〈崂,所以:

以0网）|（以。为变量）="%（/矶\n\<nh

并在［0>。九直到"6为o,在更高模拟频率会周期性重复（但这里只画基带周期）。

（2）

频谱为:

因（，3）|="凡。&/7）|,⑷工必

并在叫<⑷<7T为0（无混叠时），且以2"周期重复。

(3)

Xd-=^-Xa(jQ)f\Q\<Qh

并在回>0八至咪=兀/(27)为Oo

■:1/(27)；

一乃/(2T)0/乃/(27)c

(4)

“Xd(/j|

一l/(2p"；

-7t-2(0h02(oh71(0

6-7在图6.10.7所示系统中，已知匕(z),卅(z)./(z)分别是理想的实系数的低

通、带通和高通滤波器，通带为1,阻带为零，通带频率分别是

0〜三,三~生竺~冗,己知x(")的频率响应如图6.10.7(b)所示，分别画出

3333

%("),"矶)乂力的幅频响应。

.%(〃)

M(〃)

(a)

图6.10.7题6-7图

解:

(0,co<TT/3或3>2n/3

|X(e%)|=3-几/3卅1\

H^=3匕—胡〃/34342兀/3

负频率3<0时幅度也为Oo

因为X®&)是以2兀为周期的，可以画出主值区间［-兀,曲内的幅度谱。

•“。(〃3)：理想低通，通过带|3及兀/3,增益1,阻带0

•”i(e汝):理想带通，通过带兀/3S|3|02兀/3,增益1,阻带0

•〃2(e，3):理想高通，通过带2兀/3&|(o|女，增益1,阻带0

(1)%(元

%通带㈤工〃/3,而X在此区间幅度为0,所以：

|%(叫|=0,V3

⑵丫1(几)

%通带几/3<|o)|<2n73,正频部分与X非零区间完全重合，负频部分通带

［一2"3,-"/3］与X无重叠(因为X在负频为0),所以：

|匕(叫|=卜(£9，"/3"工2兀/3

(.0,其他

1|1(/)1

1/

04/32乃/3)co

(3)y2(n)

H2通带2TT/3<|eo|<TT(正频)及-TT<o)<-2n/3(负频)，而X在3>2TT/3

幅度为0,在负频幅度也为0,所以：

帆(〃&)|=0,V3

6-8己知序列”［(〃)是由图6.10.8(a)所小的系统得到，序列£(“)是由图

6.10.8(b)所示的系统得到，图题6.10.8(c)是模拟滤波器的频率特性。现希望用数

字域方法直接从％(〃)得到儿(〃)，试给出具体实现方法的框图。实现中用到数字

流波器时，给出具体指标要求。

-500005000QJ2n-300003(X)0Q/2n

图6.10.8题6-8图

解：

•输入：xa(t)

・模拟低通滤波器“1。，):

旧仙)1=6:|/|<5000Hz

|/|>5000Hz

其中f=。/(2〃)。

•采样间隔：T[=ICT，s

.采样率：41=11Tl=10000Hz

・输出序列:x(n)=尻⑷*七⑴儿=叫

输入：%a(t)

・模拟低通流波器”2。。)：

|/|<3000Hz

|/|>3000Hz

.采样间隔：72=：'10-3=吗S

66

.采样率：fs2=1/T2=6000Hz

•输出序列：赴⑺)=瓦⑴*^2(0]lt=mr2

已知xS)(采样率10kHz,带宽5kHz)

希望得到％2(m)(采样率6kHz,带宽3kHz)

采样率变换比：

fs2二6000二3

47=10000=5

这是分数倍采样率下降,可采用整数倍内插-抽取法实现。

(1)内插-抽取方案

采用L=3、M=5实现3/5倍变换：

T3低通滤波15

x(n)(10kHz)->v(/c)(30kHz)—iv(/c)->x2(m)(6kHz)

⑵低通滤波器市标

•工作在内插后采样率G=3x10000=30000Hz

・模拟带宽限制:京ax=3000Hz(由%决定)

•对应数字截止频率：

a)c=2n•3000/30000=0.2zr=—

•通带：0工340.2"(模拟03000Hz)

•阻带：至少从0.2〃到几足够衰减，以消除：

1.内插产生的镜像频谱

2.防止后续抽取时混叠

•滤波器类型：可用FIR或HR,线性相位推荐FIR。

6-9数字录音带(DAT)驱动器的采样率为48kHz,而光盘(CD)播放机则以

44.1kHz的采样率工作。为了直接把声音从CD录制到DAT,需要把采样率从

44.1kHz转换到48kHz，为此，考虑采用图6.10.9所示的分数倍采样率变换系统。

X

XCDWu(n)卬(律),DATW

------------►tL-H(〃w)---------►IM-------------

<______)\______JI______J

图6.10.9题6-9图

求L和M的最小可能值，以及低通滤波器H(e，w)的频率特性指标。

解：

采样率转换比：

危_48_480_160

47=444=441=147

系统采样率变化关系:

M_160

T=147

为使L与M互素的最小正整数解，取

L=147,M=160

为实现分数倍变换黑，标准方法为:

147

T160H(>3)1147

XCDWTTtxDAT(n)

其中”(34)工作在中间采样率:

/mid=44.1x160=7056kHz=7.056MHz

滤波器的两个作用：抗镜像滤波和抗混叠滤波

采样率：7.056MHz

通带截止频率片:应保留输入信号的最高频率。

保守设计取:

CD信号带宽为22.05kHz(Nyquist频率)，通常音频上限取20kHz。

fp=22.05kHz

阻带起始频率启

输出Nyquist频率为24kHz,为避免抽取混叠，阻带应在24kHz之前开始。

可设:

4=24kHz

数字频率对应:

22.05kHz

a)j)=271——————70.006257r

P7.056MHz

24kHz

3c=27r----------«0.00680"

s7.056MHz

过渡带非常窄，要求滤波器具有很高的阶数和陡峭的滚降。

衰减要求：

通带纹波式O.ldB,阻带衰减N40dB(通常需N以保证高质量音频

6-10某插值系统如图6.10.10(a)所不，系统中〃5)是图6.10.10(a)右边所示

的5点序列。图6.10.10(b)是图6.10.10(a)的等效实现，其中人(〃),刨〃)，八⑺的长

度不超过3点(04〃42)。试求：对任意给定的双加,正确选择似初似〃)北⑺与

的关系，使两系统等效，即输出y(〃)f(〃)。

励)

双力)----加(“)------M(”)[1d

------12------力(〃)——-a|羊

0234577

(a)

(b)

图6.10.10题6-10图

解：根据h(n)长度5确定多相分量

设九(八)=仇0，九1，八2,九3,八4｝对应71=0,123,4。

按L=3分成多相分量(相位k=0,1,2):

Po(m)=h(3m)=h(0),h(3)

即Po=[九(0),九(3)](长度2,因为m=0,l;m=2时h(6)不存在)

PJ(m)=h(3m+1)=九⑴,h(4)

即Pi=[/i(l),九(4)](长度2)

p2(m)=h(3m+2)=h(2),0?因为九(5