2025-2026学年广东省深圳市某中学高中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市实验学校高中园高一（下）期末数学试

卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.样本数据5,8,8,9,9,9的众数为（）

2.已知半径为R的球的体积与表面积相等，则R=（）

3.已知向量万一（2,1）,7（3J）,（2H+石）_L1,则片（）

4.如图，平行四边形O'A1B'C'是水平放置的四边形O49C的直观

图，（VC=2,Of.V[0则四功形048。的面积S=（）

A.4v/»i

B.84

C.8\而

D.h.I.

5.如图，在平行四边形48CO中，M为/出的中点，/C与0A7交于点

。，贝1J讨=（）

A「加।而

()3

1-9-

C•加;705

D.I而

43

6.已知一组数据加，X2,不，…，口的平均数为/"/））,将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新

数据.门+人及+/心+『,・•・,/“+/，则新数据与原数据相比（）

A.平均数不变B.方差不变C.极差变大D.中位数不变

7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个

年级共400名学生参加“青春心向党•奋进新征程”党史知识竞赛.如图，结合参赛学生的年级分布饼图与

第1页，共9页

高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（)

400名参赛学生的年级分布饼图

A.这400名学生中，高一人数比高二人数多40

B.成绩前200名的高一学生有90人

C.成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64

D.成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多

8.已知非零向量K乃与满足（r百+•°,且|届而|・2&,何9+而|6日，点

。是△力5c的边力4上的动点，则诃.戏的最小值为（）

—

A.-1B.——C.——D.——

458

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.若复数z满足zi=3+4i（i为虚数单位），则（）

A.£二1-：aB.|z|=5C.2.£=7-24/D.z2=7-24/

1（）・一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事

件,4="第一次取到标号为1或2的号签"，事件B="第二次取到标号为5的号签“，事件C=”两张号签

标号之和为5"，则（）

A.4与4独立B.4与C对立C.P(AC):D.P(.44-B)

—*

11.如图，在正方体力8C»/1I8IGDI中，M是8。的中点，N是线段上一

动点，则下列说法正确的有（）

A.三棱锥N-BAAx的体积随着点N的位置的改变而随之变化.

B.无论点N在何处，始终有丛。1平面ICW成立.

C.直线A/N与平面力8CD所成角的正切值的取值范围为［化\勺.

D.平面4QN截得正方体4BCD-ABCQ的截面可能是三角形或四边形.

第2页，共9页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若可，谡是单位向量，且可•谡，对，则Q与正的夹角是_____.

2

13.在△N3C中,b=ccosA,则△48。一定为—三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等

腰”）

14.如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为1且相互独立，则这个电路接通1-0-

的概率为—•-0—

令

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题15分）

在人力“c中.角力.田c的对边分别为〃且=a

（1）求角B；

（2）若。=75°,6=2,求边

16.（本小题15分）

在四棱锥SdBCZ）中，平面S481平面力8c。，SA=SB=底面力8c。为菱形，力8=2,

Z.ABC=E,尸分别是S/4,8C的中点.

（1）求证：E*平面SCZ）；

（2）求点8到平面SCO的距离.

17.（本小题15分）

已知△48C的三个内角力,B,。所对的边分别是a,b,c,8是钝角，且，汨=2bsiM.

（1）求8的大小；

（2）若△力4C的面积为岑&且6=7,求”+c的值；

（3）若6=6,求△48C面积的最大值.

第3页，共9页

18.（本小题15分）

某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊

球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图

如图所示.

（1）由频率分布直方图，求出图中/的值，并估计考核得分的第6（）百分位数：

（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例

分配），从得分在［70,90）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自［70,

80）和［80,90）的概率;

（3）现已知直方图中考核得分在［70,80）内的平均数为75,方差为6.25,在［80,90）内的平均数为

85,方差为0.5,求得分在［70,90）内的平均数和方差.

频率/组距

0.025-

0.020

0.015

0.010-

0.005A

5060708090100考核得分

19.（本小题17分）

“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史.相传在东周春秋时期，墨翟以

木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进

造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸驾”.到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开

始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝：到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动.风

筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成.如图（1）就是一个由菱形的风筝面44。和两

一

个直角三角形尾翼△力。。和△CQP所组成的风筝.其中/"A。=/PDLCD,QDLAD,AD=\,

＜）

PD=QO=松.现将此风筝的两个尾翼分别沿力。、CQ折起，使得点尸与点。重合于点S,并连结

BS,得到如图（2）所示的四棱锥Sd8CD

第4页，共9页

s

图(1)

(1)求证：SBDx

(2)若E为棱”上一点，记管A(O<A<I);

13Al

①若入=：,求直线CE与平面SB。所成角的正切值；

«5

②是否存在点£使得直线C£与直线4。所成角为60°,若存在，请求出入的值，若不存在，请说明理由.

第5页，共9页

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

II.【答案】BCD

12.【答案】丁

13.【答案】直角

14.【答案】?

8

15.【答案】450

a=\Z（i

16.【答案】取S力的中点M,连接ME,MC,

因为E,〃分别为S4,5。的中点，则EAO4力且EA/AD,

又因为尸为的中点，口四边形力8c力为菱形，则”11力。且

可得£加|尸。且£A6尸C，可知四边形EPCM是平行四边形，MEFWMC,

且MCu平面SCQ,E/过平面SCO,所以七八|平面SCQ

V3O

17.【答案】解：（1）,«0\/3<2=2bsinA,

•••利用正弦定理可得:u'3sinA=2sinBainA^又sin/W0,

第6页，共9页

可得—加〃或，

2

•.♦8是钝角，

2

••B=-71；

3

)..I15《

24

.,•可得：ac=15»

,■,^2=a2+c2-2accos5,

••-49=Ca+c)2-ac,

•••a+c=8；

(3)yb2=a2+c2-2accosB»

36=a2+c2+ac22ac+act

.,•acW12,

.\S'lacsinB—ar<(当且仅当〃「2小时面积取最大值:.

24

18.【答案】解:(1)由题意得：10X(0.01+0.015+0.020+Z+0.025)=1,

解得片0.03,

设第60百分位数为x,

则0,01X10+0.015X10+0.02X10+0.03X(x-80)=0.6,

解得x=85,

即第60百分位数为85；

8

(2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在［70,80)的有5x^=2人，设为力、B,

20

在［80.90)的有5x3人,设为“、b、c,

.IJ

则样本空间为C={(4B),(J,a),(力，b),(A,c),(8、a),(B,b),(8,c),

(a,Z?)»(a,c),(byc)},n(C)=10»

设事件"C两人分别来自［70,80)和［80,90)”，

则M=(Afa)»(力，6),(4c),(8,a),(B,b),(8,c)},〃(A/)=6*

八〃(M)63

因此PM,

'n(l>)105

所以两人得分分别来自［70,80)和［80,90)的概率为:；

5

(3)考核得分在［70,80)内的人数为().02X10X40=8人，在网)，90)内的人数为0.03X10X40=12人,

第7页，共9页

812

所以得分在[70,90)内的平均数为、-7-X75•-x85=81,

o-r12X-12

812

方差为，X[6.25+(75-81)2)4----X[0.5+(85-81)2]=26.8.

8+128+12

19.【答案】(1)证明：连接4C,交于点。

•••底面ABCD为菱形，.'ACIBD,

由题意知，SDLAD,SDLCD,

•：ADC\CD=D,4Qu平面Z8C。，CQu平面月8CQ,

•••SZXL平面ABCD,

又4Cu平面力BCD,；.SD1AC,

,:SDCBD=D,SOu平面S8Q,8Ou平面S3。,

••MCI平面SBD.

(2)解：①连结SO,交CE于点G,

由(1)得CO_L平面SBD,

:ZCGO为直线CE与平面SBD所成角,

-SDy/2,AD=CD=\,48/0=60°,

•••siSCAC瓜、即△S/IC为等边三角形,

ISEI

丽

在△SEC中，zJ5C=60°,

由余弦定理得，CG=SE?+Sa2SE・SCCG3SC='+3-2X'」X、3Xcos60°='，即CE=-21,

3333

EC2+AC2-AE2

...cos.I(,\

2EC-AC

「；()(o,<.(；(1()ro^lC\

I

721

-cosZ.CGO=—r，

1

第8页，共9页

ainZ.CGO

msZCGO

故直线CE与平面SBD所成角的正切值为

②连结BE,

-BCUD,

；/ECB或其补角为直线C£与直线/I。所成角，

假设存在点巴满足4EC8=60",

由盟cM”;WI)得，SE=/IEy/3(lA),

ld/ll

在zXSEC中，乙4SC=60°,SC=心,

由余弦定理得，CE^S^+SCNZSbSCcos'lS