四川南充市嘉陵区2026年九年级数学第一次模拟测试试卷（解析版）

四川南充市嘉陵区2026年九年级数学第一次模拟测试试卷

1.如图，在数轴上，点P表示的数可能是（）

-2-101

A.-2.5B.-1.5C.-0.5D.1.5

【答案】B

【解析】【解答】解：如图直线上点P表示的数是-1.5,

故答案为：B.

【分析】通过观察点P在数轴上的位置，确定它所表示的数值.

2.如图，在正六边形ABCDEF中，点M、N分别为CD、DE边上的点，且AN〃BM,若NBAN=80。，则

ZBMC的度数为（）

A.80°B.60°C.40°D.20°

【答案】C

【解析】【解答】解：•••六边形ABCDEF是正六边形，

=乙BCD=（6-2118。。=120°,

VAN//BM,且NBAN=80°,

・•・ZABM=180°-ZBAN=100°,

ZCBM=120°-ZABM=20°,

・•・ZBMC=180°-l20°-20°=40°

故答案为：C.

【分析】根据正六边形的性质可得NABC二NBCD=120。，利用平行线的性质可得NABM=1O（F,求得

ZCBM=20°,然后利用三角形的内角和定理计算可得答案.

3.中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载

体.某校开展了喷呐、二胡、古筝、等子四种民族乐器兴趣班，小乐同学准备在四种民族乐器中随机选择一种

学习，则小乐刚好选中“笛子''的概率为（）

ABC

-I,\,\D'I

【答案】D

【解析】【解答】解：依题意得：小乐刚好选中“笛子''的概率为］

4

第1页

故答案为：D.

【分析】根据概率公式即可求解.

4

4.计算+占的结果等于（)

m—2

A.-2B.2C--D.1

22

【答案】A

【解析】【解答】解：原式=£-恐

4—2m

~m—2

故答案为：A.

【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果.

5.如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E,连结AC、DE交于F,若AB=6,

EF：DF=2：3,则BC=（）

C.4D-

【答案】C

【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE,

VABCD是矩形，

AAB//CD,AD=BC,AB=CD=6,

/.△AEF^ACDF,

AAE：CD=EF：DE=2：3,

・・・AE=4,

.\AD=BC=4,

故答案为：C.

【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE二BC,AB〃CD,即可得到△AEFs/\CDF,根据对应边成比例

求出AE氏解答即可.

6.中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，

得酒二斗.问醇、行酒各得几何?”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价

值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少?设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程

第2页

组为（)

A(x+y=2,(x+y=2，

l50x-10y=30.(50x+10y=30.

[x+y=2,

D[%+y=2，

ll0x+50y=30.(10x-50y=30.

【答案】B

【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，

根据题意得：｛50；X=30

故答案为：B.

【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱;

现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可.

7.日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液.如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与

盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数y=[,（k>0,k为常

数）的图象上.若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为a、b、c,f则其大小关系为（）（提示：

【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意，可知氯化钠的质量为xy,

由图可知，描述甲、丙两瓶盐水情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，

・••甲、内两瓶盐水中氯化钠的质量相同

・・•乙在反比例函数的图象上方.

・•・含氯化钠质量填多的是乙

b>a=c

故答案为：A.

【分析】根据题意可知氯化钠的质量为xy,根据各个点与反比例函数图象的关系，即可求解.

8.已知m、n满足~——H—-—=0,则义―三的值为（）

mnm—nmn

A.VilB.+<11C.V5D.+V5

【答案】D

第3页

.._1___1_九一m__m一—

【解析】【解答】解:

*mn~mn-mn

m-n]

・••原等式变形为,=0

mnm—n

]_m-n

移项得,

m-n-mn

交义相乘得,（m-n）2=mn,即m2-2mn+n2=mn,

整理得，n】2+n2=3mn,

nmn2—m2,

m~H=mn""

22

两边平方得：（九=（九2__2）;（源+*）-4瓶2九2

ImnJ（mn）2m2n2

将m2+n2=3mn代入得：

2（3mn）2—4m2n2_9m2n2—4m2n2_5m2n2

=5

篇书=m2n2m2n2m2n2

故答案为：D.

【分析】先对已知等式通分化简,得到m2+M与mn的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后

代入求值，最后开方得到结果.

9.如图，在正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画弧，交以AB为直径的半圆于点M,连接DM

并延长，交BC于点N,若AB=8,则MN的长为（）

A.1B.2C.2.5D.3

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E,连接DE,AM,EN,EM,DE和AM交于点F,

由题意可知：DA=DM,AE=EM,EM=EB,AE=EB=\AB=4.

VDE=DE,

第4页

・•・△DAE=ADME(SSS)

.\ZDAE=ZDME,ZADE=ZMDE,ZAED=ZMED,

•・•四边形ABCD为正方形，

・•・ZDAE=ZDME=ZEBN=90°

VZADE=ZMDE,DA=DM=8,

/.AM_LDE.

.\ZDFA=ZDFM=90°

••・在尺3口八巴中，根据勾股定理得：DE=7DM+AE?=4隗,

・••在RtADAE中，根据SAD.E=^DA^AE=^AF•DE,

尔DAAE8x484

得:"4P二B』r

・••在RSDAF中，根据勾股定理得：DF=A”=卑，

:-FE=OE-OF=隼

VZDME=ZEMN=ZEBN=90°,EM=EB,EN=EN,

ARtAEMN^RtAEBN(HL),

AZMEN=ZBEN,

VZAED=ZMED,

・•・ZMEN+ZMED=ZBEN+ZAED,

・&MEN+AMED=Z.DEN=1x180。=90°,

.\ZDEN=ZDFM=90°

AFM//EN,

,DFDM

••而一丽

.....FE-DMr

.•MN=-=2

Dr

故答案为：B.

【分析】取AB的中点E,连接DE,AM,EN,EM,DE和AM交于点F,根据正方形的性质和圆的性质证

明4DAE会4DME,得到对应角相等，根据等腰三角形的性质得到AMJ_DE,根据勾股定理得到DE、DF的

长度，通过证明RtzxEMN会RsEBN,得到对应角相等，继而证明NDEN二NDFM=90。，FM//EN,根据平行

线分线段成比例得到爵=器继而得到MN的长度.

10.已知点P（xi,yi）、Q（X2»yz）分别在抛物线y=mx?+2mx（mH0）、y=2x2—3x（且xiX2,0）上.若

xiy2=3x2yr,是一个与x无关的定值k时，则k的值为（）

第5页

A.-3B.3C.-ID.最

44

【答案】C

【解析】【解答】解：丁点P(xi,yi)在抛物线y=mx?+2mx上，Q(xz,y2)在抛物线y=2x?-3x上

：・丫1=mx1+2mxi，y2=2xj-3x2»

Vxiy2=3x2yu

•'•Xi(2x2-3%2)=3x2(mxj+27nx1),则x।X2(2x2-3)=3xiX2(mxi+2m)

,.,xiX2*0,贝(J2x2-3=3mxi+6m,

.3mxi+6m+3

・・X2=—--------

,,x37nxi+6m+336m+3

・.k=?-=-----%------=不m+二---

x12422x1

,；k与xi无关的定值，

.*.6m+3=0>

,1

••m=―y

..3

••k=--r

4

故答案为：C.

【分析】根据题意，易得y]=m*+2m;q,y2=2x^-3x2,代入整理可得不=3m4,6-+3,从而忆=

算=*+嗡±再根据定值k与xi无关，可得6m+3=0,即可求出m和k.

11.若72.7m=76,则m的值为.

【答案】4

【解析】【解答】解：・・・72・7m=72，m=76

2+m=6

m=4

故答案为:4.

【分析】根据同底数案的乘法法则运算即可求解.

12.某校为全面落实《深化新时代教育评价改革总体方案》，大力提升学生核心素养，对学生实施综合评

价，评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按5：3：2计入综合评价.若小张同学的学习成绩为

94分，体育成绩为90分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为.

【答案】91分

【解析】【解答】解：94x5罡）常85x2=%（分）

O।OI4

故答案为：91分.

【分析】根据加权平均数公式即可求解.

第6页

13.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,分别以A,B为圆心，大于2AB为半径画弧，两弧分别交于

M,N两点，直线MN与AC交于点D,连接BD,则/CBD的度数为

【答案】30°

【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN为线段AB的垂直平分线,

?.AD=BD,

AZA=ZABD=40°

•・・△ABC为等腰三角形,

1800-40°

=ZC==70°

2

/-ZCBD=ZABC-ZABD=7O°-4O°=3O°

故答案为：30。.

【分析】先根据作图确定直线MN是A8的垂直平分线，得出AD=BD,进而得到/A=/ABD,再利用等腰

三角形两底角相等求出NABC的度数，最后通过角的差求出NCBD的度数.

14.关于x的一元一次方程(m-l)xlml-1=4+m的解为

【答案】x=-2

【解析】【解答】解：根据一元一次方程的定义，得且

解得m=-1，

将m=-l代入原方程，得(-l-l)x-l=4+(-l),

整理得-2x-l=3,

移项得-2x=4,

系数化为1得x=-2.

故答案为：x=-2.

【分析】根据一元一次方程的定义求出参数m的值，再代入原方程求解未知数即可.

15.如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点A(6,2)照射在x轴上的平面镜上的点P(2,0)处,

反射光线经过点B(m,n),则加器急的值为

第7页

【解析】【解答】解：•・•入射角等于反射角,

・・・NAPE=NBPO,

作点A(6,2)关于x轴对称点A，(6,-2),连接PAT

.\ZA'PE=ZAPE,

/.ZA'PE=ZBPO,

・••点A，，点P和点B在一条直线上,

设直线AP的解析式为y=kx+b,

把A'(6,-2),P(2,0)代入y=kx+b,

伊+b=-2

t2/c+b=0

k=-i

解得

■b=1

则直线AP的解析式为y=+

乙

•・,点B(m,n)在直线AP上,

・・・几=-/巾+1,

m+2n=2

m—2—2n—2n

27n4-3n—4-2(m+2n)—n—4—4-n—4=2

故答案为：2.

【分析】由入射角等于反射角得出NAPE=NBPO,作点A(6,2)关于x轴对称点A",-2),连接PA，，进一

步得出点AT点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线A，P的解析式为、=-今久+1,把点

B(m,n)代入解析式，得出m+2n=2,然后将m+2n=2代入变形后的式子求解即可.

16.如图，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，BE=AB=10,DE与BC交于点F,点P是对角线

BD上一动点(小与端点B,D重合)，过点P作GP〃AB,与AD交十点G,点Q为BG的中点.下列结论:

①CF=BF；②当BG平分NABD时，PQ1BG；

第8页

③tanzBDE=I；@PQ的最小值为花

其中正确的结论是.（填写序号）

【答案】①②④

【解析】【解答】解：①在正方形ABCD中，BC//AD,

XVAB=BE,

・・・CF二BF；故①正确；

@VBG平分NABD时，

，NABG=/DBG,

VGP//AB,

/.ZABG=ZBGP.

.\ZDBG=ZBGP

APG=PB

又丁点Q为BG的中点，

・・・PQ1BG；故②正确；

③作BM_LDE于点M

则4DCF^ABME,

.DC_CF

.10_5_5、弓

•丽二而二丁

：-BM=2遥，MF=y[5

-'-DM=6通

tanzFDF==/；故③错误;

④延KGP交DE于H.连接RH.

第9页

D

VGH//AE,

.GP_DP_PH

，fAB=DB=BE

XVAB=BE,

・・・GP二PH

IQ为GB的中点,

；・1)(2为4GBH的中位线

：・PQ=』BH

故当BH,DE时，BH有最小值.

由③可知8"最小=8M=2而

・・・PQ最小=BH最小=正•故④正确；

综上可知，正确结论有①②④.

故答案为：①②④.

【分析】根据正方形的性质即可判断①；根据角平分线的概念与平行线的性质即可判断②；作BM_LDE于

点M,利用相似三角形的判定与性质即可判断③；延长GP交DE于H,连接BH,利用对应边成比例可得

GP=PH,再根据三角形的中位线可得当BH_LDE时，BH有最小值，进而即可判断④.

3

17.已知：(a+2尸+|3-b|=0,求a(a+b)-(a-2b不+也押的值.

［答案］解：原式=a2+ab-a2+4ab-4b2+4b2-a

=5ab-a

v(a+2)2+|3-b1=0,

a=-2,b=3

・・・原式=5x(-2)x3-(-2)

=-30+2

=-28

【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与h

的值，然后代入计算即可.

第10页

18.如图，在口ABCD中，将△ABD沿对角线BD翻折得到△ABD,AB与CD交于点E.

(I)求证：△A'DE^ACBE；

(2)点O为BD中点，连接OE,NBDE=35。.求NBEO的度数.

【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AAD=CB,ZA=ZC.

由折叠可得：AD=AD,ZA'=ZA.

.\A'D=CB,ZA'=ZC.

在4A'DE^OACBE中,

(Z.A=Z.C,

乙4缶。=乙CEB,

(A'D=CB

：.AA'DE^ACBE(AAS)

(2)解：VAA'DE^ACBE,

AED=EB.

.\ZDBE=ZDBE=35°.

•・•点。为BD中点,

AEO1BD,

・•・ZBOE=90°.

ZBEO=90°-zDBE=90°-35°=55°

【解析】【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质得AD=CB,ZA'=ZC,利用AAS证明△ADE且aCBE；

⑵由⑴得ED=E8,得NDBE=NBDE=35"，结合点O为BD中点，根据等三角形三线合一得/BOE=90。，进

而计算即可得NBEO的度数.

19.为筑牢食品安全防线，某初中校组织全校学生参加了“食安小卫士”的食品安全知识科普竞赛活动，竞赛

成绩分为A,B,C,D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个

年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析.部分信息如下:

信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表

年级平均分中位数众数方差

七年级8.76m91.06

八年级8.768n1.38

第11页

信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图

二年级竞赛成绩条形统计图八年级竞赛成绩扇形统计图

人数B级4%

24

24)-----------

如

根据以上信息，解答下列问题:

（1）表中m=,n=，七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是年级;

（2）若该校七年级有400人，八年级有50。人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请

估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人?

（3）现从七年级学生竞赛成绩为满分同学中已经选出了甲、乙、丙、丁四名同学，再从这四名同学中随

机选取两名作为食品安全宣传员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲同学、而没选中乙同学的概率.

【答案】（1）9；10；七

（2）解：400x1224+500X（44%+4%）=528（人）.

O2Ut

答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人

（3）解：列表如下：

甲乙内T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

由上表可知，可能出现等可能的结果共有12种，其中选中甲没选中乙同学的结果有4种.

•P__4_—1

”一12一3

【解析】【解答】解：（［）•・•七年级成绩的中位数为从小到大排列第25个人和第26个人的成绩的平均数，这

两个

人都成绩都为B等级，

m=9,

由扇形图可知：44%>36%>16%>4%,

...八年级成绩人数最多的为A等级，

n=10,

•・•七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差，

第12页

・・•七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是七年级；

故答案为：9,10,匕

【分析】（1）利用中位数的特点求m,利用众数的特点求n,根据方差进行解答即可;

⑵利用总数乘以所占比例进行解答即可；

⑶用列表法求概率即可.

20.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a^O）.

（1）当a+b+c=O时，求证：方程总有实数根；

（2）若a、b、c、k均为正数，且方程的两实根之和为当一玄，两实根之积为知为，探究以a、b、c为

边长的三角形的形状，并说明理由.

【答案】（1）证明：,:a+b+c=O,c=-a-b.

b2—4a（—a—b）

=b2+4a2+4ab

=(b4-2a¥>0.

・••方程总有实数根

（2）解：以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.

由一元二次方程根于系数的关系可得

2匚雪，所以a?=c2-b?,即a2+b2=c2.

②-①得:X4=鸟—乡，即1=

，以a、b、c为边长的三角形是直角三角形

【解析】【分析】⑴将己知条件：a+b+c=O变形得到。=也6代入判别式后通过完全平方公式配方，得到完全

平方式，利用完全平方非负的性质直接得证；

⑵利用韦达定理，将题目给出的两根和、两根积的表达式转化为关于a、b、c的比例关系；对两个比例等式

分别做平方运算，通过两式相减消去参数匕得到a、b、c三者的平方关系；结合勾股定理逆定理，直接判

定三角形的形状为直角三角形.

21.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数丫==0<0）的图象交于点8（-2,3）,与y轴正半轴

A

交于点A,OA=2.

第13页

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)点C是AB延长线上一点，过点C作CEJ_x轴于点E,交反比例函数y=?的图象于点D,当

A

CB二AB时，求调的值,

【答案】(1)解：将点B(-2,3)代入y=与，得：m=2x3=-6.

・••反比例函数的解析式为y=

V0A=2,AA(0,2),

将点A(0,2),B(-2,3)代入y=kx+b,

得：(b=2,

I―2k+b=3

(,1

解得:k=-2»

b=2.

；・一次函数的解析式为y=-ax+2

(2)解：过点B、C分别作BN_Ly轴于N,

ARRN1

则BN||CM,••.△ABN〜△ACM,二器=瑞=*

ACM=2BN=4,AC(-4,4),

•；CE_Lx轴，.E(—4,0),

,35=

CD=4-55，CE

_5

5

2_-

,S^CBD=CD二4_8

SACBECE

【解析】【分析】⑴根据待定系数法，即可求解；

(2)过点B、C分别作BNIy轴于N,CMIy轴于M,易得△ABNs/\ACM,从而可求点C、D和E的坐

标，进而6=藁CE=4,再根据三角形面积之间的关系，即可求解.

第14页

22.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径作。O,交BC于点E,过A点作AD_LAB交BC延长线于

点D,过点C作0O的切线CP,交AD于点F.

(1)求证：FC=FD：

(2)若BC=8,tanDq求sinZCAD的值.

【答案】(1)证明：TAB二AC,

.\ZB=ZACB.

VAD_AB,

ZB+ZD=90°.

,・，CF为。。的切线，

AAC1CF,

ZACF=90°.

.\ZACB+ZFCD=90°.

AZFCD=ZD.

.\FC=FD

(2)解：连接AE.

••,AC为。。的直径，

・・・ZAEC=90°.

AB=AC,•••CE=BC=4.

VZCAE+ZACE=90°,ZD+ZACE=90°,

:.ZCAE=ZD.

rFCF

在RtAACE中、•:tanzCAE=福，AE=

AEtanzCAt

AC=x/AE24-CE2=y/s24-42=4vs.

在RtAADE中，•••tanD=霹，,DE=消琮=16.

:.AD=VAE2+DE2=收+162=8店

第15页

设FC=FD=x,则AF=AD-DF=8\/5—x.

2222

.:AC+FC=AF,（4/5『+x2=伊乔-x），解得x=3V5

•••CF=3A/5,AF=5VS.

CF_3/5_3

在RSACF中,sinzCAD=AF=575=5

【解析】【分析】（1）利用等角的余知相等证明NFCD二ND,即可得至IJFC=FD；

（2）连接AE,利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到CE=28C=4,在RtZkACE和RSADE中解直角

三角形求得AE=8,DE=16,设FC=FD=x,利用勾股定理列式计算求得x=3遍，再在RSACF中，利用正

弦函数的定义求解即可.

23.某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升。每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/

升）满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函

数关系，部分统计数据如卜.表:

销售价格X

45...10

（元/升）

市场需求量

120110...60

n（升）

经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量,

仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/

升。

（1）求n与x的函数关系式；

（2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；

②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；

（3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润?最大利润为多少元？

【答案】（1）解：设n与x的函数关系式为产kx+b,

由题意,得腰一：;翁八，吟:常

An=-10x+160（4<x<10）

（2）解：①当x=5时，m=5x5+8（）=l（）5,n=-1（）x5+160=11（）,

V105<110,

・••基底原液可全部卖完.

故销售基底原液利润为：（5-2）xlO5=315（元）

②当x=8时，m=5x8+80=120,n=-10x8+160=80,

V120>80,

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・•・基底原液无法卖完.

故销售基底原液利润为：(8・2)x80-2x(120-80)=400(元)

(3)解：设奶茶小店每天获得的利润为w元

①当每天的产量不大于市场需求量时，得mSn,

gp5x+80<-l0x+l60,解得烂6,A4<x<6；

w=(x-2)(5x+80)=5(x+7)2-405

V5>0,对称轴为直线x=・7,

当4sxs6时,w随x的增大而增大,

・•・当x=6时，w最大=5(6+7/-405=440(元).

②当每天的产量大于市场需求时，m>n,

B[J5x+80>-10x+l60,解得x>6,A6<x<10；

w=(x-2)(-Wx+160)-2[(5x+80)-(-10x+160)]

=-10x2+150x-l60=-10(x-7.5)2+402.5

V-10<0,对称轴直线：x=7.5.，当x=7.5时,W最大=402.5(元)

•・・440>402.5・・・原液定价为6元/升时，每天可获得最大利润为440元

【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；

⑵①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润二单升利润x自制

产量”，即可求解：

②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润=单升利润x市场需

求量-未卖出的成本“，即可求解；

(3)设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根

据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解.

24.如图1,在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P为AB边上一点(不与A,B重合)，PQJLPE交

AD于点Q,AB=6,BC=8.

(1)若BP=,AB,求证:PQ=PE；

(2)当点P在AB边上运动时，求AQ的最大值;

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（3）如图2,连接CQ,当tan4QE=4时，求BP的值.

【答案】（1）证明：•・•点E是BC的中点，

BE=^BC=4.

1

BP=1AB=2,AP=AB-BP=4.AP=BE.

°

•・•四边形ABCD是矩形,

.\ZA=ZB=90°.

ZAPQ+ZAQP=90°.

VPQ1PE,

.\ZAPQ+ZBPE=90°.

AZAQP=ZBPE.

在^APQ和△BEP中，

乙4=乙B

Z.AQP=乙BPE

AP=BE

・•・△APQ^ABEP(AAS)

APQ=PE.

(2)解:设BP=x,则AP=6-x

VZA=ZB,NAQP=NBPE,

.*.△APQ^ABEP.

AQ_APAQ_6-x

ABP=BE,,,^T=^-

x(6一x)19

AQ==--^-(X-3)2+^

当x=3时，AQ最大=*

（3）如图，设CE的中点为点F,过点作FG_LBC交AD于点G,在GF上截取OF=2EF=4连接OE,以点

O为圆心OE为半径作。O,交AD于点Q,

WJzCQE=izCOE.

VOE=OC,FG1BC,

••・ZEOF=1ZCOE.

乙

・•・ZCQE=ZEOF.

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..FF1I

在RtAOEF'I',tanzEOF=丽=2,**,tanzCQE=tanzEOF=工

即当ta叱CQE=2时，点Q为。。交AD的交点.

•・•ZGFB=ZA=ZB=90°,四边形ABFG是矩形，

，ZQGO=90°,GF=AB=6.AGO=GF-OF=2./.GO=FE.

又OQ=EQ,?.△OGQ^AEFO(HL)

・•・GQ=FO=4./.AQ=AG-GQ=2.

设BP=x,则AP=6-x

由(2)知：△APQ7BEP..,.禁=绘.一=字.

“BPBEx4

整理得：x2-6x+8=0,解得x=2或4

经检验：x=2或4都是原方程的根

.\x=2^4.ABP=2«£4,即BP的长为2或4

【解析】【分析】⑴利用一线三垂直模型，证明△APQ0△BEP(AAS),从而得出PQ=PE；

(2)根据勾股定理和一元二次函数模型求AQ的最大值：

(3)利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段BP的值.

25.如图1,已知二次函数丫=2*2+匕*+2的图象与*轴交于人(-1,0)、B两点，交y轴于点C,对称轴

为直线x=

(1)求二次函数的解析式;

(2)如图I,点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E,设AACE的面积为Si,△BDE的

面积为S2,当S?-Si=4时，求点D的坐标.

(3)如图2,已知点T(0,t)(t>2),TF与抛物线有唯一交点F(点F在y轴左侧)，点P在第一象限的

抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q,连接FP、FQ,分别交y轴于M、N.当FM=3PM时，探究FN

与NQ的数量关系，并说明理由.

ci—6+2=0

【答案】(1)解：由题意可得：得：b_3s

-2a-2

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・♦•二次函数的解析式为：y=-1x2+|x+2

乙乙

(2)解：过点D作DHJ_OB于H,

抛物线丫=一#+强+2交y轴于点C(0,2).

3

称

-对

VA(-1,0)、B关于直线x2

AB(4,0)

设D(d,一聂2+我+2).

_S

•••S2-Si=2,♦•・⑸+SAABE)-(Si+SAABE)=2,即SAABDAABC=f

115

•0•5AB,DH5AB,OC—,

乙乙乙

11315

[4-(-1)]x|-^d2+^d+2|-^x[4-(-1)]x2=^.

乙乙