集合与常用逻辑用语（5年汇编）（解析版）

集合的含义与表示

1.（2024.北京.高考真题）已知M=｛（x,），）ly=x+f（/7）,lW2,0Wri｝是平面直角坐标系中的点集.

设U是A/中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）

A.4=3,5<1B.d=3,S>\

C.d=V10»S<1D.d-Vfo,S>1

【答案】C

y<x2

【分析】先以/为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域卜NX,结合图形分析求解即可.

l<x<2

【详解】对任意给定x«l,2],则x2T=X（XT）N°，且

可知工工工+，卜2-X）WX+Y-X=.r,即ywY,

y<x2

再结合X的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域y2X,

l<x<2

如图阴影部分所示,其中A（1,1）,8（2,2）,C（2,4）,

可知任意两点间距离最大值d==7(l-2)2+(l-4)2=V10,

阴影部分面积s<S58C=gx1X2=L

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，

见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确

把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.

2.(2023・上海・高考真题)已知尸={1,2},g={2,3},若M=3xe尸且入屋。},则"=()

A.{1}B.{2}C.{L2}D.{1,2,3}

【答案】A

【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.

【详解】因为尸="2},由xeP.得x=l或x=2,

又。={2,3},且“任Q,即有干工2且工工3,因此干=1,

所以川=⑴.

故选：A

3.(2023・全国乙卷・高考真题)已知等差数列也}的公差为与，集合S={cos^〃wN",若5={«耳，则

ab=()

A.11B.—C.0D.；

22

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

9jr，冗27c

【详解】依题意，等差数列{%}中，q=4+(〃-1)•彳=彳〃+⑷一彳)，

JJJ

显然函数尸cos［了〃+（4-可）］的周期为3,而〃eN"即cos见最多3个不同取值，又

{cosa“|〃eN'}={a,b},

贝ij在cos4,cosa2,cos%中,cosq=cosa2wcos%或cos%工cosa2=cosay或cosa{=cosa3HCOSa2

27r47r

于是有COS®=COS（e+—）gccos^=cos（^+——）,

33

0jrjr

即有e+（e+Y）=2EM£Z,解得6=E—°,ZeZ；

33

或者。+（。+生）=2E«eZ,解得6=E—@/eZ；

33

tTl.l._1/,冗、r/I元、4n..It..21兀1i

用「以AwZ,ab=cos（K7t——）cos|（A7t——）+—］=-cos（kn——）cosATC=-cos'kncos—=——或

333332

ab=cos（kit-年）coshr=一g.

故选：B

4.（2026•上海・高考真题）已知集合4={2,1+q，-leA,则”.

【答案】

-2

【详解】由题意得1+。=-1,解得。=一2,经验证此时集合4=忆-1}满足题意.

集合间的基本关系

1.（2026・上海・高考真题）已知集合人=亿4},8={2,3,〃?},若AqB,则〃?=.

【答案】4

【分析】利用子集的定义求解.

【详解】•..A={2,4},8={2,3,〃”，Aq8,

莫合A中所有的元素都在集合B中，

•••集合A中的元素4在集合区中，

/./w=4.

故答案为：4.

2.（2023•上海・高考真题）已知集合4=",2）,4={1M},且A=8,则。=.

【答案】2

【分析】利用集合相等的定义求解即可.

【详解】因为A={1,2},8={1M}且4=3,

所以集合A4中元素相同，

所以a=2,

故答案为：2

集合的基本运算

.7n57r57r一B_1

1.（2026.全国一卷.高考真题）已知集合八=sin—,cos—Jan一，B=，-,1,则AD3=()

634T2

J_V3_1[V31.1

A.B.----凡-----・1IC.JD.

2'22-4

【答案】C

7兀n.717Tn1

【详解】71+—=-sin-==2f

662333

5TTit,

tan—=tan兀+一=tan—=1,

444

即集合4=卜；]」，且集合8」-¥，-最1],所以Ac8=_11

2,r

2.（2026•全国二卷•高考真题）已知集合A={0,1,3,6,9},/3=k[4=4，则入门8=（）

A.{0,1}B.{3,6}C.{0.1,9)D.{0,3,9}

【答案】A

【详解】由题可得8={0,l},所以Ac8={04}

3.（2026・天津・高考真题）已知全集。={-2,-1,0』,2,3},集合4={-1,04.3）,集合8={-2,0/）,则他力78=

()

A.{-2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.{-2,(),1,2}

【答案】D

【详解】由题可得（Q/）={—2,2},又因8={-2,0/},

则@4”8二{一2,0,1,2}.

4.(2026•北京・高考真题)已知集合”=何一l<x<3},N={#N2},则M=()

A.(2,3)B.(-1,+8)C.12,3)D.(-1,2]

【答案】B

【详解】因为M={X[T<X<3},N={X|XN2},则MUN={X|M_1}=(T,*O).

5.(2026.上海.高考真题)对于函数y=/(x),xsD,设为={(丫")|y>/()"/)}.对于点集M,若存

在(M，No)wM,使得任取(x,y)wM,总有”％,则称(飞,先)为“最低点”.对于函数y=/(x)和y=g(x)，

以下说法中正确的是()

A.若y=/(x)和y=g(x)都有最小值，则4加4有最低点：

B.若力，4有最低点,则y=/(x)和尸g(x)都有最小值;

C.若y=/(x)或y=g(x)有最小值，则A,U4有最低点；

D.若4U4有最低点，则y=/(x)或y=g(x)有最小值.

【答案】D

【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D,根据“最低点”的定义分析得(%，%)£&

或(%先工4,再分类讨论即可.

【详解】对于A项，取/(x)=x,XG[0,1],取g(x)=x,XG[2,3],

则f(」)min=0,晨”曲=2；而&n&=0无最低点，故A错误;

对于B项,取/(x)=x,X€(0,3],取g(x)=x,xe[2,3],

则“可无最小值，g(xL=2;而404=4有最低点(2,2),故B错误;

对于C项，取/(可二一丁，XGR,取g(x)=Y,xeR,

则f(%)无最小值,g(x)min二°；

因为=的函数值可.趋向于负无穷大，所以为={(x,y)ly之-VXGR}无最低点，则A/U4亦无最

低点，故C错误；

对于D项，因为&U4有最低点,不妨设(%为)为A/U4的最低点，y=f(力且xe/y=g(x)且心2,

所以（如%）wA/或伍,为）wAR,

若（小，%）"/,则%=/（不）且对任意的X@A，总有y=/（XR）b，即/（X）min=%；

若（小,先）£4,同理可知前初儡=）b；

所以若&UAg有最低点,则y=〃/或乃g（x）有最小值，故D正确.

故选：D.

6.（2025•全国二卷•高考真题）已知集合4={<0.1,2,8},8={况1=小则馆3=（）

A.{0,1,2}B.{128}

C.{2,8}D.{0,1）

【答案】D

【分析】求出集合方后结合交集的定义可求Ac3.

【详解】B={X|X3=X}={0,-1,1},故4口3={0,1},

故选：D.

7.（2025•全国一卷•高考真题）已知集合口=卜,是小于9的正整数},A={L3,5},则Q,A中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为（7={123,4,5,6,7,8},所以Q,A={2,4,6,7,8},Q.A中的元素个数为5,

故选：C.

8.（2024.全国甲卷.高考真题）若集合A={1,2,3,4,5,9},8={.小+%可，则Ap|4=（）

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,14,5}

【答案】C

【分析】根据集合3的定义先算由具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合8中的元素x,满足x+l=L2,3,4,5,9,

则力可能的取值为0,123,4,8,即6={0,1,2,3,4,8能

「是Ac5={l,2,3,4}.

故选：C

9.(2024.全国甲卷.高考真题)已知集合4={1,2,3,4,5,9},8=卜|«任4},则G(AcH)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【分析】由集合A的定义求出8,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为人={1,2,3,4,5,9},8=k|五£4，所以8={1,4,9,16,25,81},

则Ap|8={1,4,9},«(AQ3)={23,5}

故选:D

10.(2024.新课标1卷.高考真题)已知集合/1=卜|—5</<5}.8={-3,—1,0,2,3},则408=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-也<x<指},B={_3,T,0,2,3},且注意到1<正<2，

从而408={-1,0}.

故逸:A.

II.(2023•全国甲卷•高考真题)设全集U=Z，集合M={dx=3Z+l#eZ),N={dx=3k+2,AeZ},

加(MuN)=()

A.{x\x=3k,kEZ}B.{XX=3氏一1,火eZ}

C.{.dx=3左一2/wZ}D.0

【答案】A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x[x=32"eZ}U{x|x=3Z+lM£Z}U{x|x=3Z+2"eZ},U=Z,所以,

6(MUN)={x|x=3kZwZ}.

故选：A.

12.(2023・全国乙卷・高考真题)设集合U=R,集合M={x|xvl},N={^-\<x<2}t则{4壮2}=()

A.a(MUN)B.

C.Q/MDN)D.M3N

【答案】A

【分析】由题意逐•考查所给的选项运算结果是否为"1x22}即可.

【详解】由题意可得MUN={x|xv2},则e(M|JN)={x|xN2},选项A正确；

^.M={Y\Y>]},则NU〃,M={Y|Y>—1},选项B错误：

MnN={x|-l<x<l},则d(McN)={x|x«-l或xNl},选项C错误；

QW={x|x4—1或xN2},则MUQ，N={x|x<l或xN2},选项D错误；

故选:A.

13.(2023•新课标I卷•高考真题)已知集合加={-2,T(U2},N=卜|/一1-62。},则MflN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为％={#2一工一6叫=(一8,-2]53,+功，而〃={-2T0J2},

所以MC|N={-2}.

故选：C.

方法二：因为“={-2,-1,0,1,2},将-2,-I,0J2代入不等式犬-不一6之0,只有一2使不等式成立，所以

Mp|N={-2}.

故选：C.

14.(2022・新高考全国II卷•高考真题)已知集合4={-1』,2,4},3={耶:-丫1},则{14=()

A.{-1,2)B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4)

【答案】B

【分析】方法一：求出集合3后可求AcB.

【详解】I方法一]:直接法

因为A=30WXK2},故AC|4={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

x=—1代入集合8=卜卜一可得2W1,不满足，排除A、D；

x=4代入集合4=卜卜-1|41},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

15.(2022•新高考全国I卷•高考真题)若集合M="l«<4},/V=(xl3x>l},则MAN=()

A.{x[0<x<2}B.<x-<x<2-C.{x|3<x<16{D.x-<x<16•

33

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【详解】M={x|0<x<16},A^={x|x>-},故McN=x」Wxvl6，，

33

故选：D

集合中的新定义问题

1.(2025・北京・高考真题)已知集合人={l,2,3,4,567,8},M={(x,)，)U£AywA},从M中选取〃个不同

的元素组成一个序列：(不，,)，(々，％)-一，(乙，”)，其中(冷另)称为该序列的第，项(，=1，2,…,八)，若该序列

的相邻项(4£)，(%小为1)满足：或二，…，〃一1)，则称该序列为K歹九

(1)对于第1项为(3,3)的K列,写出它的第2项.

(2)没「为K歹力且「中的项(x2,)(i=l,2,…川满足：当，为奇数时，巧£{127,8)：当，为偶数时，

%e［3,4,5,6}.判断(3,2),(4,4)能否同时为「中的项,并说明理由;

(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K歹U.

【答案】(1)(6,7)或(7,6)

(2)不能，理由见解析

(3)证明过程见解析

【分析】（1）根据新定义即可得解；

（2）假设（3,2）与（4,4）能同时在「中，导出矛盾，从而得出（3,2）与（4,4）不能同时在「中的结论；

（3）假设全体元素构成一个K歹IJ,通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.

【详解】（1）根据题目定义可知，菁“a’：3,或若'产菁

1加=必±4I加=y±3

若第一项为（3,3）,显然％=0或-1不符合题意（不在集合4中〕，所以下一项是（67）或（7,6）：

（2）假设二者同时出现在「中，由于K列取反序后仍是K歹U，故不妨设（3,2）在（4,4）之前.

显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从（3,2）到（4,4）必定要向下一项走

奇数次.

但乂根据题目条件，这两个点的横坐标均在「中，所以从（3,2）到（4,4）必定要向下一项走偶数次.

这导致矛盾，所以二者不能同时出现在r中.

（3）法1：若例中的所有元素构成K歹IJ,考虑K列中形如（孙）力（％,其€{1,2,7,8}）的项，

这样的项共有16个，由题知其下一项为（£1,为）%,如小{3,4,5,6},共计16个，

而（加，%1）工（3,3）,（6,3）,（3,6）,（6,6）,因为只能6由2来,3只能由7来,

横、纵坐标不能同时相差4,这样下一项只能有12个点，

即对于16个（七,凹），有12个（工川,％］）与之相对应，矛盾.

综上，由M的全部元素组成的序列都不是K歹IJ.

法2：假设全体元素构成一个K列，则〃=64.

设7；={（x,y）xe{l,2,7,8},yw{l,2,3,4,567,8}},<={（乂），）卜«3,4,5,6},ye{1,2,3,4,5,67,8}}.

则工和都包含32个元素，且刀中元素的相邻项必定在心中.

如果存在至少两对相邻的项属于4,那么属于心的项的数目一定多于属于工的项的数目，

所以至多存在一对相邻的项属于

如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2加和26+1,

否则将导致属于4的项的个数比属于Z的项的个数多2,此时〃?=1,2,3,…,31.

从而这个序列的前2〃z项中，第奇数项属于工，第偶数项属于4：

这个序列的后64-2〃?项中，第奇数项属于力，第偶数项属于

如果不存在相邻的属于心的项，那么也可以看作上述表示在帆=0或，〃=32的特殊情况.

这意味着必定存在机w{0,1,2,...,32},使得‘.、「\,

）’2"i）e《，（犬2*，）‘2/）£彳，'〃+1—&-32

由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故（中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数

的点的数量一定分别是加和32-〃z（不一定对应）.

但容易验证，工和4都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以

〃？=32-/〃=16,得〃?=16.

从而有［（axWk-Je7；，（移，外）犬7，14%«16

川”，⑸，%）的，17«心32.

这就得到工={伍,其）k=l,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.

再设（={（%），）卜£{1,2,3,4,5,6,7,3},），£{|,2,7,8}},7；={（x,y）*e{l,2,3,4,5,6,7,8},y£{3,4,5,6}}.

m1=1福育）再1，）£4，（如，％Jwn,14L16

1（^-.，%J）eG（a，％）5，17必432.

这意味着n={小,"）|k=1,3,5,...,29,31,34,36，…,62,64}.

从而得到（=7；，但显然它们是不同的集合，矛盾.

所以由股的全部元素组成的序列都不是K歹I」.

2.（2025・上海・高考真题）已知函数y=/（x）的定义域为R.对于正实数小定义集合M〃={3/。+。）=/。）}.

⑴若/"）=sinx,判断5是否是网中的元素，请说明理由；

x+，%<0

⑵若厂'八,心工0,求。的取值范围；

V-V,

（3）若y=/（x）是偶函数，当工£（0、1］时・，/（x）=1-x,且对任意〃w（0,2）,均有写出），=/（幻，

xw（l,2）解析式，并证明：对任意实数c,函数y=/（x）-。在［-3,引上至多有9个零点.

【答案】（1）不是；

⑵加；

（3）证明见解析.

【分析】⑴直接代入计算/图和《尹兀)即可:

再计算得a=(x°+£|-+；,

(2)法一：转化为在实数/使得/@。+。)=/(与)分析得%)+2=

最后根据M的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线y=，与该函数有两个交点，将，用，表

示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出xe(L2)时解析式，再分析出/(-3)史(0,1),最后对c的范围进

行分类讨论即可.

【详解】⑴(1)/3=sinf=0/仕+J|=—siT=-0则£不是心中的元素.

⑶32\3)323

(2)法一：因为M产。，则存在实数与使得/(工+。)=/(不)，且。＞0,

当工＜0时，f(x)=xi2,其在(-8⑼上严格单调递增,

当工20时，/(x)=4,其在。内)上也严格单调递增,

则与＜0K%+a,则升)+2=,

令x+2=0,解得x=-2,则一20)v0,

37

则〃=(J%+a)-%=(%+2『一七=/4—+—G

24卜

法二：作出该函数图象，则由题意如直线＞=，与该函数有两个交点,

由图知0W2,假设交点分别为A(〃?,f),8(,?"),

联立方程组＜'"―/得。=|48|=〃7_〃=『_«_2)=卜_」］

n+2=t\2)4L47

(3)对任意仕e(1,2),--2w(-1,0),因为其是偶函数,

则f(玉-2)=〃2-%),而2-%-小-2)=4-2Aoe(0,2),

所以％—2wMy仆之知2，

所以/(%)=/(&-2)=/(2-%)，因为毛«1,2),则2-%«0,1),

所以/(%)=/(2-与)=1一(2-%)=与一1,所以f(x)=x-l,xe(l,2),

所以当se(O,l)时，l—sw(O,l),l+se(l,2),贝ij/(l-s)=l—(l—s)=s,

/(i+a=(i+，)-1=«,puj/a-.v)=/(i+.S),

而1+s-(l-s)=2s,(3-s)-(1一$)=2,

则1—seM2sQM2,则f([-s)=f(3-s),

所以当xe(2,3)时，/(x)=/(x-2)=1-(x-2)=3-x,而/*)为偶函数，画出函数图象如下:

其中/(—3)=〃3)J(—2)=/(2)J(0),但其对应的V值均未知.

首先说明/(—3)=〃任(0,1),

若f(-3)=〃£(0,1),贝卜3+〃«-3,-2),易知此时“x)=x+3,xe(—3,-2),

则了’(一3+〃)=〃，所以/(-3)《吃三外，而工£[一1,0)时，f(x)=x+l,

所以/(—3)=/(—1)=0,与/(—3)=〃矛盾，所以/(—3)£(0,1),即/(—3)=/(3)/(0,1),

令y=/(x)-c=o,则y=/(x)=c,

当c=0时，即使让/(—3)=〃3)=〃—2)=/(2)=〃0)=0,此时最多7个零点，

当CN1时,^/(-2)=/(2)=/(O)=/(-3)=/(3)=c,此时有5个零点,

故此时最多5个零点;

当cvO时,若f(-2)=f⑵=/(O)=/(-3)=〃3)=c,此时有5个零点

当0<c<l时，若〃-2)=/(2)=f(0)=c,此时有3个零点，

若f(3)=CG(0,1),贝ij3ice(3,2),易知此时/(x)=xI3,

则f(-3+c)=c,所以，而%«T,0)时,/(x)=x+l,

所以/(-3)=/(-1)=0,与”—3)=c矛盾，所以/(一3)史(0,1),

则最多在(T-2),(-2,-1),(—1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点,

以及在x=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.

综上，零点不超过9个.

3.(2025・上海・高考真题)已知函数)，=/(N)的定义域是。.对于让。，定义集合S/a)={M/(x)N/〃)}.

(1)/(.r)=Iog2^,求S川6,：

(2)对于集合4,若对任意xwA都有-xwA,则称A是对称集.若。是对称集，证明：“函数尸/⑴是偶函

数”的充要条件是“对任意ZsD,力⑺是对称集〃；

(3)若xeR,f(x)=e，-；〃N.求，〃的取值范围，使得对于任意1<4在。，都有当⑹口,«).

【答案】⑴{止之16}

(2)证明见详解

⑶阿

【分析】(1)根据对数函数的单调性即可求解；

(2)根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；

(3)根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于。恒成立即可求解.

【详解】⑴由定义得，5/(16)={x\f(x)/(16))={x|log2x>log216}={x|x>16}.

(2)证明：

必要性：因为函数y=是偶函数，所以对任意xw。，/(xl=/(-x),

对任意Ie。,若xwSfa，即则;•(r)=f(x)N〃f),

所以TWS/M所以对任意ftO,S则是对称集.

充分性：若对任意S,⑴是对称集，

因为对任意ZW。，reS”,)，所以TGS“)，即/(t)之/①①，

又TWS/一)，所以rwS/一)，即fd)②.

由①②得，对任意f€。，/(/)=/(-/),

所以函数y=/(x)是偶函数.

综上，“函数尸/⑴是偶函数”的充要条件是“对任意叫。，S如是对称集)得证.

(3)因为对于任意4V房w。,都有S/(4)qS/小)’

所以若xw%),则XWS/⑹,即若/•(*)”&),则/(“)”&),

所以/(幻之/&),所以/(x)在R上单调不减,

所以对任意xeR，r(x)=e'r〃x20恒成立.

当工=0时，显然成立.，〃wR；

当了>0时，加4£恒成立，令g(x)=^,g，a)=(x7)e’,

所以g(“)在(0,1)单调递减,(1,制)单调递增,所以"dg(x)E=41)=e：

当XV0时，W>y恒成立，此时/(%)=——2—<0

因为g(x)在(-8,0)上单调递减,当XT7时,g(K)T0,g(X)<0,

x<0,x->0时，(g(x)->-oo,

所以m>0；

综上，wie[0,e].

【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.

充分条件与必要条件

1.(2026・北京・高考真题)｛4｝,但｝是无穷数列，则“存在常数使4KMKa(〃=123,…)”是

“勺工2(〃=1,2,3,…)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.

【详解】由题意，

｛凡｝,｛"｝是无穷数列，

验证充分性：

当存在常数使为=…)时，

a“=M42(〃=1,2,3,…)，

442(〃=1,2,3,…)显然成立，

验证必要性：

当%=〃，2=n2时，此时满足凡<",

假设存在常数M,使q,<M<"(〃=1,2,3,…)成立，

当〃一>+oo时，bn=n~->+oo,

此时，M需同时“不小于无限增大的〃”和“不大于无限增大的〃

但不存在这样的固定常数

・♦.当为«〃时，无法必然推出“存在常数M"，即必要性不成立,

・•・“存在常数M,使q4加4道(及=123,…)”是“4的,(〃=123,…)”的充分不必要条件.

2.(2026・上海•高考真题)对于任意两个复数z,0，如果满足“Z-GCR”或“z-石eR”，那么就称z和①

伴随.则当Z和。伴随，则3-i和Z+i伴随的充要条件是().

A.Reco+Rez=0B.Re①一Rez=0

C.\rrKO+bnz=0D.\)n(D-\niz=0

【答案】C

【分析】设2=、+)4,a)=a+bi,xyeR,。为eR,由条件结合伴随的定义可判断结论.

【详解】设2二%+炉，a)=a+b\,x,yGR,aybeR,

则z-(y=(x-dr)+(},-Z?)i,z-M=(x-a)+(y+b)i,

当z和<y伴随，有)，-6=0或y+〃=。，

又他一i)_(z+i)=(a_x)+(〃_y_2)i,(3-i)-z+i=(〃-x)+(b+y)i,

若i和z+i伴随，则力-y-2=0或力+)，=0,

所以0一7和z+i伴随的充要条件是〃+丁=。，即历i0+I〃iz=O.

3.(2026.天津.高考真题)设xwR,则“x>0”是"产+3]〉0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由寸+3八.>(),解得：工<一3或x>(),

即工>0时，工2+3]>0成。:，反之不成

所以。>0”是“产+3工>0”的充分而不必要条件.

4.(2025・北京・高考真题)已知函数/。)的定义域为。,则“fix)的值域为R”是“对任意MwR,存在与w。，

使得|〃义)|>"”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数/a)的值域为R,则对任意MwR,•定存在使得/(%)=|M|+1,

取垢=%，则+充分性成立；

取f(x)=2\D=R,则对任意MeR,一定存在$e。，使得f(%)=|闾+1,

取F"，则+但此时函数/(x)的值域为(0,+司，必要性不成立；

所以“/(制的值域为R”是“对任意A/wR,存在与e。，使得〃(七)|>加”的充分不必要条件.

故选:A.

5.(2025•天津・高考真题)设xwR,则。=0”是“sin2x=O”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.

【详解】由x=0=sin2x=sin0=0,则“x=O”是“sin2x=0”的充分条件；

又当x=兀时,sin2x=sin2n=0,可知sin21=0N>x=0,

故“x=0”不是“sin2x=0、'的必要条件，

综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选:A.

6.(2024.全国甲卷.高考真题)设向量々=(x+l㈤出=(乂2),则()

A.“x=-3”是“ZJ.尸的必要条件B.­.1=1+73”是。/夕'的必要条件

C.“户0”是“打尸的充分条件D.“戈=-1+6”是“£〃/；”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当力B时，则力=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得/=()或_3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，〃=(1,0)出=(0,2),故2〃=0，

所以Z_L5,即充分性成立，故C正确；

对B,当2/万时，则2(x+l)=f,解得％=1±6,即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+G时，不满足2U+1)=V,所以Z/店不成立，即充分性不立，故D错误.

故选:C.

7.(2024・上海・高考真题)定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取匕，吕e。，存在不全

为0的实数4,4,使得义丽什为西+4砥=0.已知(l,0,0)eQ,则(0,0,1)任。的充分条件是()

A.(0,0,0)<=O.B.(_|,0,0)户0

C.(0,1,0)GQD.(0,0,-l)€Q

【答案】C

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)eC时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

t详解】由题意如这二个向量彷，西西共面，即这二个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)£。无法推出

(0,0,1)皿故A错误：

对B,由空间直角坐标系易知(—1.0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(—1,0,0),(1,0,0)eC无法推出

(0,0,1)皿故B错误;

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不只面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eC能推出(0,0,1)史C,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1。0)€^无法推出。0,1)/。，故D错误.

故选：C.

8.(2024・北京・高考真题)设kB是向量，则”,+研万-方)=。”是")=5或£=的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知他+孙(万-5)=0等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为伍+方）・伍—5）=H—k=0,可得解=.,即同咽，

可知心+孙（八方）=0等价于同=W，

若2=万或2=多,可得同二W，即伍十万）.（乙-5）=0,可知必要性成立；

若心+4,-5）=0,即同咽,无法得出K或i一行,

例如。=（1,0）/=（0,1）,满足同=忖，但%“且潟1,可知充分性不成立；

综上所述，“他+孙伍-6）=0”是"L或2=坂”的必要不充分条件.

故选：B.

9.（2024•天津.高考真题）已知a,bwR,则“^=，，是"3"=3"”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，/=〃和3a=3^都当且仅当"所以二者互为充要条件.

故选：C.

10.（2023•全国甲卷•高考真题）设甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos/?=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】当sin?a+sin?尸=1时，例如a=],〃=。但sina+cos夕工。，

即sin?a+sin?/?=1推不出sina+cos/?=0：

当sina+cos0=0时，sin2a+sin2p=（-cosJ3）~+sin20=1,

即sina+cos6=0能推出sin2a+sin?/?=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

11.(2023•新课标I卷•高考真题)记S”为数列｛q｝的前〃项和，设甲：｛/｝为等差数列；乙：｛9｝为等差

数列，贝I()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判

断作答.，

【详解】方法1,甲：也｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

n.n〃(〃一1).Sn-1.ddS.l+1S”d

2〃222/:+!n2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之,乙：｛2｝为等差数列，即辿_&="丸：巨工="卢；%为常数,设为匕

nn+1n〃(〃+1)n(n+l)।

即常=t'则S”=〃％“—"(〃+1)，有S〃T=(〃-1)%一•底〃-1),〃之2,

两式相减得：,即4+1-q,=2z,对,〃=1也成

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：依｝为等差数列，设数列｛为｝的首项4,公差为d,即S”=叫+f〃，

则2=%+"工"=2〃+4-乌，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛均为等差数列，即T-二LMR-^SI+S-I)。，

nn+1nn

即Sn=〃£+n(n-\)D,Sn_t=(/:-l)S(+(n-\)(n-2)。,

当〃22时，上两式相减得：S“-Si=SI+2(〃-l)。，当〃=1时，上式成立,

于是4=4+2(n-l)D，又%-4=a,+2nD-[a,+2(n-l)D]=2D为常数,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件■，

所以甲是乙的充要条件.

故选：c

12.（2023・北京・高考真题）若叼。0,则“x+y=0”是“上+’=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解法一：由三+2=-2化简得到x+y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到x=-y,

yx

代入土+上化简即可，证明必要性可由2+2=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可

yxyx

由巴+工通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由土+上通分后用配凑

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+y=o代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为个工0,且土+上=-2,

yx

所以/+/=_2盯，即/+），2+2.=0,即（x+»=0,所以x+y=0.

所以“x+y=0"是/+上=-2，，的充要条件.

y，

解法二：

充分性：因为孙工0,且x+y=0,所以x=-y,

所以土+上=2+2=一1一1=一2,

yxy-y

所以充分性成立；

必要性：因为个W0,且%