福建省泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三（上）学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省泉州市泉港区第二中学高三（上）学情调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是(

)A.8 B.9 C.10 D.122.设e1，e2是平面内的一组基底，平面向量a=2e1−e2，b=A.−2 B.−12 C.123.已知函数f(x)=16x2−lnx，则曲线y=f(x)在A.4x+6y−5=0 B.4x−6y+5=0 C.6x−y+1=0 D.3x−2y=04.已知集合A={x|x=2sinnπ6,n∈N∗}，A.{−3,0,3} B.{0,1,5.直线l：x−y−1=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|=(

)A.8 B.42 C.4 6.若函数f(x)=lnx−ax−a的最大值为−2，则a=(

)A.1 B.2 C.e D.e7.已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OOA.π B.3π2 C.2π8.设U={(x1,x2,x3)|xi∈{−1，0，1}，i=1，2，3}为空间中点构成的集合，点P(−1,−1,−1)，记样本空间Ω=∁U{P}，从A.−121 B.−127 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列命题，其中正确命题为(

)A.随机变量ξ～B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=90

B.随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X>1.5)=0.34，则P(X<0.5)=0.16

C.一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为y=2x+310.若函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，且P(72,2),Q(2,0)，则(

)A.ω=π4

B.(8,0)是y=f(x)的一个对称中心

C.f(911.数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数y=Asinωx的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是y=sinx+12sin2x+13sin3x+…，设声音函数f(x)=sinx+A.f(x)关于(π,0)中心对称

B.f(x)的最大值是334

C.π是f(x)的一个周期

D.若h(x)恰有一个零点时，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.椭圆25x2+9y2=22513.已知α，β∈(0,π2)，且满足sinαtanβ=2cos2α2，则14.设正实数d满足：存在数列{an}，使得对于任意n∈N∗，均有a1+a2+⋯+a3n=2n+1−1，且{an}中有某连续四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=13．

(Ⅰ)求CD；

(Ⅱ)若16.(本小题12分)

有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5.现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元．

(1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望．

(2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案？并说明理由．17.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC1为正方形，AB⊥AC，AB=AC=2，D为BC的中点．

(1)求证：A1C//18.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−2,0)，离心率为2．

(1)求C的方程；

(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．

(i)若△PQR的面积是△PFO的面积的6倍，求19.(本小题12分)

已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a，定义集合Ma={x|f(x+a)=f(x)}．

(1)若f(x)=sinx，判断π3是否是Mπ中的元素，并说明理由；

(2)若f(x)=x+2,x<0x,x≥0，Ma≠⌀，求a的取值范围；

(3)设y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1−x，且对任意a∈(0,2)，均有Ma⊆M1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】4513.【答案】4514.【答案】4915.【答案】解：(Ⅰ)因为CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=13，

在△ACD中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC，

即33=(CD2)2+CD2−2⋅CD2⋅CD⋅13，

解得CD=6；

(Ⅱ)由图知：∠BAD=∠ADC−∠B，由16.【答案】分布列见解析，期望为22元

甲应选择方案二，理由如下：

设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为ξ，则Y=15ξ，

由题意ξ～B(2,0.8)，

则E(ξ)=2×0.8=1.6，所以E(Y)=15E(ξ)=15×1.6=24(元)，

∵E(Y)>E(X)，

甲应选择方案二

17.【答案】(1)证明：如图，

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．

在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为四边形A1ABB1是平行四边形，

所以E为A1B的中点．

又因为D为BC的中点，所以DE//A1C.

因为A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，

所以由直线与平面平行的判定可得A1C/​/平面AB1D；

(2)解：因为AB⊥A1C，AB⊥AC，

且A1C∩AC=C，A1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，

所以AB⊥平面A1ACC1，而AA1⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AA1．

又因为AA1⊥AC，所以AB，AC，AA1两两相互垂直．18.【答案】解：(1)由题意，c=2，e=ca=2，解得a=1，

所以b2=c2−a2=4−1=3，

所以双曲线的方程为x2−y23=1；

(2)(ⅰ)如图所示，设点P(x1,y1)，点Q(x2,y2)，且x2，y2<0，则点R(−x1,−y1)，

设直线l的方程为x=my−2，其中斜率k=1m>0⇒m>0，

联立直线与双曲线方程，得x=my−2x2−y23=1，消去x化简得(3m2−1)y2−12my+9=0，

其中Δ=144m2−36(3m2−1)=36m2+36>0．

y1+y2=12m3m2−1，y1y2=93m2−1，

因为Q点在第三象限，所以y1y2<0，所以0<m<33．

因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线