相似三角形的判定（第3课时）导学案

27.2.1相似三角形的判定（第三课时）导学案

学习目标

1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果•个直角三角形的斜边和一条直角边与另•人直角三角形

的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定

理证明两个一角形相似.

2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.

重点难点突破

★知识点I：三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.

★知识点2：直角三角形相似判定定理1:

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么

这两个直角三角形相似.

核心知识

一、三角形相似判定定理5：两角分别的两个三角形相似.

二、直角三角形相似判定定理1：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应

那么这两个直角三角形相似.

复习巩固

【提问1］如何判断两个三角形是否相似呢？

新知探究

【小组讨论】分别画△ABC和aDEF,使得NA和ND都等于/a,/B和NE都等于/p,此时，NC与

NF相等吗？三边的比然有点相等吗？这样的两个三角形相似吗？

典例分析

例I已知一个三角形的两个内角分别是35。，65。，另一个三角形的两个内角分别是35。，80°,则这两个三

角形（）

A.i定不相似B.不一定相似C.一定相似D.不能确定

【针对训练】

1.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPs/\ACB,添加一个条件，不正确的是（）

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC."二"D.”=空

B

2.如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①NACD=NB；②AC?=AD•AB；③后=第④NB=

CDAC

ZACB,其中一定使△ABCs/\ACD的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

3.在△ABC中，D是AB上的点，且NACD=NB,

1）证明：ZkABC与4ACD相似.

2）AD=4,AC=6,求AB.

A

4.如图，DAJ_AB于A,EB1AB于B,C是AB上的动点，若NDCE=90。.求证：△ACDs.BEC

E

5.如图，将矩形纸＞OC)沿着过点。的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为尸，折痕交月8

边于点E,

(1)求证：&EFB〜ADEC；

(2)若AD=10,CD=6,求EF的长；

【问题二】如图，在RQABC和RSDEF中NB=NE=90。根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个

三角形相似呢？

【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直

角三角形相似吗？

【证明】在RfABC和RtAAEC'中，篇=悬,求证：Rt△ABC〜Rt△A'B'C'?

典例比析「

例2在RtaABC和RtzxDEF中，NC==90。.依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理

由.

(l)rA=55°,zD=35°；

(2)AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；

(3)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

能力提升

1.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q

从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______QBP-^AABC

相似.

课堂小结

1.通过本节课的学习，你学会了咖些知识？

2.笥述判定两个三角形相似的方法?

3.你知道判定两个三角形相似的思路吗？

【参考答案】

新知探究I

【小组讨论】分别画△ABC和△DEF,使得NA和ND都等于/a,NB和/E都等于N0,此时，NC与

NF相等吗？三边的比黑噌意相等吗？这样的两个三角形相似吗？相等，相等，相似

Lxt>Lxi*t>r

ZBAC=62,39°BC-4.95厘米ZEDF=62.39°EF=8.47厘米

ZBCA=78,69°4c=3.51厘米Z.EFD-78.69°。尸=6.00厘米

ABBCAC

左=0.58-^=0.58—=0.58

【问题一】改变Na,N0的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？成立，AABCS4DEF

【证明一】如图,在△ABC和△ABC中，如果NA=NA\ZB=ZB\求证:△ABC^AA'BV.

A

A'

证明：在^ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B\过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

ZADE=ZB.ZAED=ZC,级=槊

ABAC

过点D作DF〃AC,交BC于点F,则努=雾：•第=焉

ABCBACCB

VDE/7BC,DF/7AC，四边形DFCE是平行四边形

・•.DE=CF,则竺=竺=些，

ACCB八」ABACCB

/.△ADE^AABC

VZA=ZA\ZADE=ZB\AD=A,B,,

.,.△ADE^AA'B,C,/.AABC^AA'B'C.

典例分析

例I已知一个三角形的两个内角分别是35。，65。，另一个三角形的两个内角分别是35。，80°,则这两个三

角形（C）

A.一定不相似B.不一定相似C.一定相似D.不能确定

A

F

【针对训练】

1.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPs/\ACB,添加一个条件，不正确的是（D）

A.ZABP=ZCB.NAPB-ABCC.冷臆口常若

B

2.如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①NACD=NB；②AC?=AD•AB；③器=黑；®ZB=

ZACB,其中一定使△ABO，z2xACD的有（B）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.在AABCH4,D是AB上的点，且NACD=NB,

1)证明：AABC与4ACD相似.

2)AD=4,AC=6,求AB.

解：在△ABC和△ACD中

•・•ZA=ZA,ZACD=ZB

，△ABC^AACD

.ACADDC1li.„AC-AC

・・一=—=一,n则AB=------=A9

ABACBC'AD

4.如图，DA_LAB于A,EB_LAB于B,C是AB上的动点，若NDCE=90。.求证：△ACDsaBEC

【详解】证明：VAD±AB,BE1AB,

.\ZDAC=90°=ZEBC,

；・ND+NACD=90。，ZE+ZECB=90°,

•・•ZDCE=90°,

/.ZDCA+ZECB=90",

AZD=ZECB,

VZDAC=90°=ZEBC,

AAACD^ABEC.

5.如图，将矩形纸片沿着过点。的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为R折痕交力8

边于点E,

⑴求证：△EFBDEC；

(2)若4。=10,CD=6,求EF的长；

【详解】（1）讦明：•・•四i力形/BCO是矩形，

：,LA=LB=LC=90%

:.乙CDE+乙CED=90°

根据折叠的性质得：^DEF=£A=90°,

:“BEF+“ED=90°

工乙BEF=MED

AAEFBDEC

（2）解：根据折叠的性质得:DE=AD=10,

VCD=6,：,CE=yjDE2-CD2=8,

•••西边形力BCD是矩形，.\BC=AD=IO,

：.BE=2.

探究新知

【问题二】如图，在RtAABC和RtADEF中NB=NE=90。根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个

三角形相似呢？

I)

H(EF

情况一：ZB=ZE,NC=NF(或NA=ND)

情况二3NE,需若

、,门—•

情VP况二：而AB二而BC二而AC

【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和•条直角边成比例的两个直

角三角形相似吗？

相似

【证明】在RtAABC和RSA'B'C‘中，"=空，求证：RtAABC〜A'B'C'?

z,,

设彦_=2=匕贝I」AB=kAB\AC=kAC

A，B，A，C，

.BCx/AB2-AC2kB'C'.

・・—r-=-----------=-----=k

B'C，B，C，B，C，

,AB_AC_BC

•・A，B，-A，C，-B'C，

Rt△ABC~Rt△A'B'C'

典例分析

例2在RtaABC和Rt^DEF中，/C=4F=90。.依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理

由.

(1)M=55°,ZD=35°；

(2)AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；

(3)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

【详解】(1)解：在Rt/kABC和RtADEF中,

zC=ZF=90°.

'：zA=55°ZB=90°-zA=35。,

/.zB=zD,

・•・Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似;

(2)解：在Rt^ABC和RtADEF中,

4c=4F=90°.

AC_9_3BC_12_3吊［AC_BC

==-f==fJJIH=

CF62EF82DFEF

・•・Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

(3)解：在RtMBC和RtaDEF中,

zC=ZF=90°.

在RtA4BC中，AB=10,AC=8,

：.BC=V102-82=6,

..AB__10-£££_6_2同竺_BC

*EE-15-PEF~9~39人防­