七升八数学暑假提升预习-三角形的中线、角平分线、高

第03讲三角形的中线、角平分线、高（学生版）

知识归纳

三

角―：宙苗胸，建隹二个话赢工焉边中点而装瓦，山磁个三同谊而吊逅.

形

的

中

线

三

角

形

三角形的中线、的

角

角平分线、高

平

分

线

三角形的三条角平分线相交于一点.

三

角

形

的

高

;锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；

：钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三龟形的外部;

：直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.

【知识点1三角形的中线】

L定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.

如图，连接Z8C的顶点4和它所对的边8C的中点。，所得线段叫作Z8C的边8C上的中线.

2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在

三角形内部.

【知识点2三角形的角平分线】

1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三曲

形的角平分线.如图，画AABC的NA的平分线AD,交/A所对的边BC于点D,所得线段AD

叫作aABC的角平分线.

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（学生版）

2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.

【知识点3三角形的高】

L定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部,三条高的交点也在三角形的内部;钝角三角形有两条高

落在三角形的外部,三条高所在直线的交点也在三角形的外部;直角三角形有两条高分别与两条直

角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.

总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.

举一反三

【题型1三角形的角平分线、中线和高线的定义】

【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AO依次是aABC的（）

A.口线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线

C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线

【变式1・1】如图，在中上/=N2,G为/O的中点，延长交/C于£厂为上的一点，CFJL4。

于它下面判断正确的有（）

①/。是△4BE的角平分线；②BE是△4BD的边40上的中线；③C”是△48的边4。上的高：④44

是aACF的角平分线和高.

A.1个B.2个D.4个

【变式1・2】下列说法正确的个数有（

①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内

②直角三角形只有一条高

③三角形的高至少有一条在三角形内

④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段

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A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1・3】如图，CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.乙C.AE=BED.CD1AB

【题型2画三角形的高】

【例2】下列能表示△4BC的边BC上的高的是()

A.

【变式2・1】如图，钝角△4BC中，48边上的高是（）

A.AFB.BDD.CA

【变式2・2】如图，用三角板作a/lBC的边上的高线,下列三角板的摆放位置正确的是（）

A.BCB.

【变式2・3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点都在格点上.

⑴画出4B边上的高CD和中线CE；

（2）画出AC边上的高8F,并直接写出BF的长（提示：4c的长等于5）.

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【题型3根据三角形的中线求长度】

【例3】如图，在周长为20cm的△ABC中,40是边8c上的中线，已知3。=4cm,AC=7cm,则列B

的长为（)

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【变式3・1】在△力BC,AB=20,BC=18,80是4c边上的中线，若△力BO的周长为45,2BCD

的周长是（）

A.47B.43C.38D.25

【变式3・2】如图，△ABC的周长是/6,40是BC边上的中线，AB=6,CD=3,则△48。与△4CD

的周长之差为（）

A.2B.3D.6

・

【变式33】在等腰三角形48。中，AB=ACf若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分,

则该等腰三角形的底边长为（）

A-}B.4C.g或4D.:或4

【题型4根据三角形的中线求面积】

【例4】如图，在△4BC中，D,E分别是4B,的中点.若△80E的面积是1,则△4C0的

面积是（）

A.1B.2D.4

【变式4・1】如图，在△4BC中,D,E,F分别是BC,AD,BE的中点.△CEF（阴影部分）的面积

是4,则△4BC的面积为（）

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A.4B.8C.16D.32

【变式4・2】如图，。是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段40、CE的中点，且△ABC的面

积为20cm，则4BEF的面积是cm2.

【变式4・3】如图，。是A8边上任意一点，E是CD的中点，尸是8E的中点.若△力8尸的面积是2,则

△ABC的面积是

【题型5根据三角形的高计算线段长度】

【例5】如图，AD.AE分别是△ABC的高线和中线.若的面积为12,40=5,则BE的长为

（）

A

BEDC

A.4B.3C.4.8D.2.4

【变式5・1］如图，在△ABC中，AD,AE分别是8C边的中线、高线，过点。作。尸_LA8于点E若

台不贝嗤的值是（）

A

BEDC

A-B-C-D-

八•23J45

【变式5・2】如图,已知40,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=5,IC=4,AD=3,则BE

的长是.

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【变式5・3】己知△ABC中，4。为BC边上的高，若/D=4,BD=9,CD=5,则△ABC的面积为,

能力提升

1.如图是一张钝角三角形纸片48C,小明想通过折纸的方式折出如下线段：①4c边上的中线8D；

②48的平分线8E：③/C边.上的高8用上述三条线段中能通过折纸折出的是（）

7c

A.0②B.①③C.②③D.①②③

2.用直角三角板，作△4BC的高，下列作法正确的是（）

A.fNB./JzBc.4J7BD.AJ

3.如图，△ABC的角平分线/D、中线BE相交于点0.有卜列两个结论：①4。是△ABE的角平分

线；②8。是△48。的中线.其中（）

A

A

Dc

A.只有①正确B.只有②正确C.①和②都正确D.①和②都不正确

4.如图，CM是△4BC的中线，BC=8crri,若△BCM的周长比△4CM的周长大2cm,则4c的长为

（）

A

A.3cmB.4cmC.5c:mD.6cm

5.如图，△ABC的中线4。、角平分线BE交于点O,则下列结论中正确的是（）

4

k

D

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A.4。是△4BE的角平分线B.ED是△EBC的角平分线

C.DE是△ADC的中线D.BO是△48。的角平分线

6.下列结论正确的是（）

A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部

B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部

C.三角形的重心是三角形三条中线的交点

D.直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点

7.如图，在△4BC中，已知点Q、E分别为BC,40的中点，且△4BC的面积等于8cm2,贝必/EC

的面积等于（）

A.4cm2B.3cm27cmJ

8.如图，在△ABC中，△ABC的面积为30,80=2CO,点E是4c的中点，BE、40交于点F,则

四边形0CEF的面积为.

9.如图，在△4BC中，AB=AC,。为BC中点，过点。作0P_L4B,DP=3,E为BC上一点,过

点E作EMLAB,EN工AC,EM=4.2,则EN=.

10.如图，△4BC为钝角三角形，分别过点4、8作BC、4。边上的高40、BE,已知“=/0,BC=

5,BE=3,则40的长为

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11.如图，在△4BC中，AB=ACtAD1BCt垂足为。，CE=34E,连接BE交4。于点尸，连接C£若

△CEF的面积为3,则△A8F的面积为,△CDF的面积为.

12.已知A。是8c边上的中线，且AC=4,若△48〃的边A8上的高为2,△AC'。的边AC

上的高为4,求48的长.

13.在等腰△4BC中，AB=AC,一腰上的中线8。将这个三角形的周长分成/5cm和6cm两部分,

求这个等腰三角形的腰长.

14.如图，已知△ABC,根据下列要求作图并回答问题:

(1)作边4B上的高CD；

(2)过点。作直线BC的垂线，垂足为E；

⑶点B到直线CD的距离是线段的长度;

(4)线段CE的长度表示点到直线的距离.(不要求写画法，只需写出结论即可)

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15.发现与探究：三角形的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词，从

效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1,如果取

一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心。处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关

于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.

(1)如图2,力。是△ABC的中线，与△力CO等底等高，可以得到它们面积的大小关系为:

(填＞、＜或=);

(2)如图3,若△ABC三条中线力D、BE、CF交点、为G,则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可得:

S&GCD=S&GBD，同理S/XGBF=S"”，S&GAE=S&GCE。若设S^GCO=工，S&GBF=丫，^^GAE=猜

想X,外Z之间的数量关系为：；

(3)如图3,△4BC被三条中线分成六个小三角形，点G为△48C的重心，则笔=；

(4)如图4,点D、E4BC的边4C、4B上，BD、CE交于G,G是44BC的重心，BD=6,CE=3,

BD1CE,求四边形AEGD的面积.

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知识归纳

三

角―：宙苗胸，建隹二个话赢工焉边中点而装瓦，山磁个三同谊而吊逅.

形

的

中

线

三

角

形

三角形的中线、的

角

角平分线、高

平

分

线

三角形的三条角平分线相交于一点.

三

角

形

的

高

;锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；

：钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三龟形的外部;

：直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.

【知识点1三角形的中线】

L定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.

如图，连接Z8C的顶点力和它所对的边8c的中点。，所得线段/。叫作Z8C的边8C上的中线.

2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在

三角形内部.

【知识点2三角形的角平分线】

L定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角

形的角平分线.如图，画aABC的NA的平分线AD,交/A所对的边BC于点D,所得线段AD

叫作aABC的角平分线.

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2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.

【知识点3三角形的高】

L定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高

落在三角形的外部,三条高所在直线的交点也在三角形的外部;直角三角形有两条高分别与两条直

角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.

总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.

举一反三

【题型1三角形的角平分线、中线和高线的定义】

【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AO依次是△4BC的()

A.四线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线

C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线,解题关键是熟知三角形角平

分线、中线和高线的定义.

根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解.

【详解】解：由图①的折叠方式可知，^BAD=^CAD,

所以40是的角平分线.

由图②的折叠方式可知，乙ADB=UDB',

因为乙工。9+Z.ADB=180%

所以=9(),

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所以4D1BC,

所以4D是△4BC的高线.

由图③的折叠方式可知，CD=BD,

所以AO是△ABC的中线.故选：B.

【变式1・1］如图，在44BC中，乙/=Z2,G为4。的中点，延长BG交4C于£产为48上的一点，CF1AD

于从下面判断正确的有（）

①是△4BE的角平分线；②BE是△4BD的边4D上的中线；③。〃是△ACD的边4D上的高；@AH

是△,4CF的角平分线和高.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和

对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段

叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高.根

据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可.

【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知4G是△/BE的角平分线，故原说法错误，不符合题

思；

②根据三角形的中线的概念知BG是△ABO的边40上的中线，故原说法错误，不符合题意；

③根据三角形的高的概念知CH是△ACD的边40上的高，故原说法正确，符合题意；

④根据三角形的角平分线和高的概念知AH是△ACF的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；

・•・说法正确的有③④，共2个，故选：B.

【变式1-2］下列说法正确的个数有（）

①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内

②直角三角形只有一条高

③三角形的高至少有一条在三角形内

④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解.

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【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；

②直角三角形有三条高，故错误；

③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；

④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误：故选A.

【变式1・3】如图，CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.乙ACE=g^ACBC.AE=BED.CD1AB

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的

定义是解题的关键.根据三角形的高线、中线，角平分线的定义，逐项分析即可即可判断.

【详解】解：:CD,CE,CF分别是的高、角平分线、中线，

=2BF,4ACE=g^ACB,CD1AB.

结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意：故选：C.

【题型2画三角形的高】

【例2】下列能表示△4BC的边EC上的高的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键.作哪一条边上的高，即从所

对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可.

【详解】解：A.8E不是任何边上的高，故不符合题意；B.4E是BC任何边上的高，故符合题意；

C.BE是4C任何边上的高，故不符合题意；D.48不是任何边上的高，故不符合题意；故选B.

【变式2・1】如图，钝角△4BC中，48边上的高是（）

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【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键.

根据三角形高的定义即可解答.

【详解】解：如图，钝角△ABC中，A8边上的高是CE.故选C.

【变式2・2】如图，用三角板作△ABC的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段

叫做三角形的高.根据高线的定义即可得出结论.

【详解】解：A.作出的是△ABC中BC边上的高线，故该选项不符合题意；

B.作出的是的边48上的高线，故该选项符合题意；

C.不能作出△力BC的高，故该选项不符合题意；

D.作出的是△力BC中4c边上的高线，故该选项不符合题意；故选：B.

【变式2・3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1,△4BC的三个顶点都在格点上.

（1）画出AB边上的高CD和中线CE；

（2）画出AC边上的高BF,并直接写出BF的长（提示：AC的长等于5）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析，BF=三

【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，

（I）取格点。，连接CO即为边上的高；取格点"，连接CH交4B于点E,中线CE即为所求;

（2）取格点G,连接BG交4C的延长线于点凡高BF即为所求，然后根据面积法求解即可.

【详解】（1）如图所示，高CD和中线CE即为所求;

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

（2）如图所示，4c边上的高即为所求;

•FC的长等于5

：・SAABC=TAC・BF=—AB・CD

："x5BF11x3

・DC33

【题型3根据三角形的中线求长度】

【例3】如图,在周长为20cm的△4BC中，4D是边BC上的中线,已知。0=4cm,IC=7cm,则4B

的长为（）

B.5cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中

线的定义.利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案.

【详解】解：・・・力。是边BC上的中线,

BC=2CD=8cm,

・.・△ABC周长为20cm,

*.AB+4C+BC=20cm,

：.AB=20-AC-BC=5cmf故选：B.

【变式3・1】在△/BC,AB=20,BC=18,80是AC边上的中线，若△ABO的周长为45,ABCD

的周长是（）

A.47B.43C.38D.25

【答案】B

【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键.根

据△480的周长为45,可得BO+CO=25,再结合三角形中线的定义，即可求解.

【详解】解：♦.♦△48。的周长为45,

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

c

CD=AD,

•••AB=20,

・•・BD+CD=45—AB=25,

vBC=18,

・•・△BCD的周长是BC+BO+CD=43.故选：B.

【变式3・2】如图，△ABC的周长是/6,AD是BC边上的中线，AB=6,CD=3,则△48。与△4C0

的周长之差为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键.

根据三角形的中线，周长的计算得到=2co=6,AC=4,根据△ABO的周长为4B+BO+AD,

△4C0的周长为AC+CO+40,得到△4B0与△/CO的周长之差为力B—4C,由此即可求解.

【详解】解：△4BC的周长为/6,

：.AB+AC+BC=/6,

,・YD是BC边上的中线，

：.BD=CD=3,则BC=6,

：.AC=16-AB-BC=16-6-6=4,

•・•△ABO的周长为48+BO+AD,△力CO的周长为4c+CD+AD,

：.AB+B。+40—（ACCDAD）=AB-AC=6-4=2,

•••△,48。与44。。的周长之差为2,故选：A.

【变式3・3】在等腰三角形ABC中，AB=AC,若中线8D将该三角形的周长分为5和3两个部分，

则该等腰三角形的底边长为（）

A.：B.4C.（或4D.;或4

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形

的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键.设腰长A8=AC=x,底边长

BC=yf结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出％、y的值，再根据三角形的三边关系

检验即可.

（详解］解：设腰长AB==x,底边长BC=y,

•••BD是中线,

...AD=CD="c=；x,

•••中线80将该三角形的周长分为5和3两个部分,

AB+AD=5或p4B+4O=3

BC+CD=3^BC+CD=5'

10

%+-x=5x+-x=3X==2

;或2.，解得:T

y+-x=3y+-x=54=4'

当等腰三角形ABC腰长为与底边长为q时，与+卜g可以组成三角形;

当等腰三角形ABC腰长为2,底边长为4时，2+2=4,不可以组成三角形;

・•.该等腰三角形的底边长为:故选：A.

【题型4根据三角形的中线求面积】

【例4】如图，在△4BC中，D,E分别是AB,BC的中点.若aBDE的面积是1,则△4C0的

面积是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查r三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出△BOC的面

积，进而可得的面积.

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

【详解】解：・.上为BC的中点，

:.S^BCD=2s&BDE=2,

・・•。为4B的中点，

:•sAACD=SABCD=2,故选；B.

【变式4・1】如图，在△/BC中，D,E,尸分别是8C,ADfBE的中点.△CEF（阴影部分）的面积

是4,则△ABC的面积为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系.

根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可.

【详解】解：・・・F是BE中点，

•“△BCE=2s&CEF=2x4=8,

\・E是AD中点，

二•SAAB。=2s△BE。，S&ACD=2S&CED，

+S&4CD=2（S&BED+S人CED）

=2S»BEC

=16,

:♦SAABC=16,故选：C.

【变式4・2】如图，。是△ABC的边BC上任意一点，E、尸分别是线段40、CE的中点，且△ABC的面

积为20cm2,则^BEF的面积是cm2.

【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键.

根据点E是4。中点，得到S/XD8E+SMCE=S/X8CE=/。（3或），根据点尸是CE的中点，得到SgfF=

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

S&BFC=；SABCE=5（cm2）,由即可求解.

【详解】解：•・•点E是40中点，

；・Szi4BE=S&DBE，S&ACE~S&DCE，

:・2S&DBE+2S&DCE=S&ABC=20（cm2）>

•"△DBF+SADCE=S^BCE=/0（cm2）,

,・,点F是CE的中点，

***^A5EF=^^BFC='j^ABCE=5（Cm2）,故答案为：5.

【变式4・3】如图，。是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点.若AABr的面积是2,则

△ABC的面积是.

【答案】8

【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键.

根据「是BE的中点，△ABF的面积是2,得到S2MBE==4,根据E是CD的中点，得

到SAACE=S^/JDE，SABCE=S&BDE，由S/^BC=2（S/DE+-^△3DE）=2sMBE=8,即可求解•

【详解】解：如图所示，连接4E,

•••F是BE的中点，△4BF的面积是2,

:\S〉ABF=S^AEF~2，

•e•^^ABE=S^BDE+S^ADE=4,

・・・E是CO的中点，

，SA4CE=Sa/IDE，S"CE=S&BDE，

•^^ABC=+SMCE+^^BCE+SgDE，

•♦•SAMC=2s△<£)£■+2s△HDE=2(Sa4DE+S4BDE)=ZS4ABE=8，故答案为：8.

【题型5根据三角形的高计算线段长度】

【例5】如图，AD.AE分别是△ABC的高线和中线.若aHBC的面积为12,AD=5,贝IJBE的长为

）

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

A

A.4B.3C.4.8D.2.4

【答案】D

【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得='△做=6,

再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：・・,4E是△48C的中线，△ABC的面积为12,

"S.8E=R&ABC=6，

・・・4。是△ABC的高线，AD=5,

・・・<8£Y0=6,则8£=丝=2.4,故选：D.

【变式5-1］如图，在△48C中，AD,4E分别是BC边的中线、高线，过点。作DF_L于点R若

联：，贝嗤的值是（）

【答案】C

【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键.

根据三角形的中线的性质得到BD=OC,再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】解：・・飞。是8c边的中线，

：.BD=DC,

•♦空=2

''BC~T

・AB_4

,•丽.T

•:SaABD=gABDF=gBD*AE,

.DF_3

・-7

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

故选：C.

【变式5・2］如图，已知式。,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=5,AC=4,AD=3,则BE

的长是.

【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出S^BC=/ETC="0・BC,

进而可求出BE.

【详解】解：•・・SZU8c=gBEMC=g40♦BC

：.BEAC=AD-BC

・・・BE=^=岑=?,故答案为：?

AC444

【变式5・3】己知△力BC中，40为边上的高，若/0=4,BD=9,CD=5,则△力的面积为

【答案】28或8

【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高40在三角形内与

三角形外，根据题意求得BC,则由三角形面积公式计算即可.

【详解】解：当高AD在三角形内时，如图,

•:BD=9,CD=5,

：.BC=BD+CD=9+5=14,

:・S&ABC=~BD,AD=—x14x4=28；

当高AD在三角形外时，如图,

则BC=BO-CO=9—5=4,

=3BD,AD=，x4x4=8；

综上，△ABC的面积为28或8.故答案为：28或8.

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

能力提升

1.如图是一张钝角三角形纸片4BC,小明想通过折纸的方式折出如下线段：①4c边上的中线BD；

②4B的平分线8E；③AC边上的高BF.上述三条线段中能通过折纸折出的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线,

掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键.根据三角形的中线，角平分线以

及高的定义作答.

【详解】解：①折叠使点乂与点C重合，则：对折点即为4c的中点。，则8D即为力C边上的中线；

C

^<7

------

C

②折叠使8c和AB重合，贝U：折痕BE即为乙8的平分线；A-------B

C

V

③折叠使CF和AF重合，则：折痕8F即为AC边上的高；AB；故选D.

2.用直角三角板，作△4BC的高，下列作法正确的是（）

（1

&/

A.NB.ABC.4AD.H8

【答案】D

【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键.杈据高线的定

义即可得出结论.

【详解】解：A、B、C选项均不是高线,D选项是高线.故选：D.

3.如图，的角平分线、中线相交于点0.有下列两个结论：①是的角平分

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

线；②8。是△4BD的中线.其中（)

C.①和②都正确D.①和②都不正确

【答案】A

【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义.根

据题意得到是4B4C的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E是4C是中点，而

。不一定是4。的中点，即可得到②.

【详解】解：•••40是的角平分线,

则4。是乙B/C的角平分线,

・•.A0是△4BE的角平分线，故①正确;

BE是三角形△醺C的中线,

则E是AC是中点，而。不一定是4D的中点，故②错误.故选：A.

4.如图，CM是的中线,4c=8cm,若△8CM的周长比△ACM的周长大2cm,则AC的长为

()

C.5cmD.6cm

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出BM=AM,根据ABCM的周长

比△,4CM的周长大2cm,得出BC+8M+CM-(AC+AM+CM)=2cm,则=2cm,即可

求解.

【详解】解：•・,CM是△ABC的中线,

・・・BM=4M,

•・•△BCM的周长比44cM的周长大2cm,

：.BC+BM+CM—(AC+AM+CM)=2cm,

则BC-4C=2cm,

*/BC=8cm,

=6cm,故选：D.

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

5.如图，△ABC的中线4D、角平分线BE交于点O,则下列结论中正确的是（）

A.4。是A/BE的角平分线B.是AEBC的角平分线

C.DE是△AOC的中线D.80是△ABO的角平分线

【答案】D

【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得44BE=2EBC,BD=CB,逐项判断

即可判定8。是44BD的角平分线.

【详解】解：人・・・448。的角平分线4。、中线BE相交于点。，

，乙ABE=LEBC,BD=CB,

在△ABE中，48AD不一定等于乙。4。，

.・.40不一定是的角平分线，A错误；

BTNDEB不一定等于ZOEC,那么EO不一定是△EBC的角平分线，B错误；

C在△40C中，AECE,OE不一定是△40C的中线，C错误；

D'.ZBE=乙EBC,

・・・B0是△A8D的角平分线，D正确；故选：D.

6.下列结论正确的是（）

A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部

B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部

C.三角形的重心是三角形三条中线的交点

D.直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点

【答案】C

【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、

重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键.

【详解】解：A、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题

思；

B、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；

C、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；

D、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；故选：C.

7.如图，在△4BC中，已知点Q、E分别为BC,40的中点，且△48C的面积等于8cm贝必/lEC

的面积等于（）

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

A

C.2cm2D.7cm2

【答案】C

【分析】本题考查利用三角形的中线求面积.掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角

形是解题的关键.

根据4D是△ABC的中线得SAACD=WS△力BC，CE是△ADC的中线得S^ACE=即可求解.

【详解】解：・・・40是△4BC的中线,

^^ACD=3S4I8C，

•・・。£是44。。的中线

•"△ACE=3s△AC。,

••=*SAACD=gXgS△4BC="4ABC，

•・・SA48C=8cm2

；・SA4CE=（x8=2（cm2）；故选：C.

8.如图，在△力BC中，的面积为30,80=2。0,点E是4C的中点，BE、40交于点F,则

四边形OCEF的面积为.

【答案】7

【分析】木题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比''是解题的关

键・设S"EF=Q，S^DF=b,根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角

形的面积分别用含a、b的代数式表示出来，列关于a和b的二元一次方程组并求解，从而求出a+b

的值即可.

【详解】解：如图，连接CK

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

设s△匚“=Q，S&CDF~b,

•・•点E是4c的中点，

**-S»AEF=S&CEF=

•・♦BD=2CD,

•*,S^BDF=2sMDF=2b，

IS^ABE=S&BCE，

•••S^ABF=b+2b=3b,

Ss=3sAABC=10,S4ABD=30-10=20,

(2a+b=10

"I5b=20'

.(Q=3

(b=4，

•••a+b=7,

••・四边形DCEF的面积为7.故答案为：7.

9.如图，在△ABC中，AB=ACf。为BC中点，过点。作。0_L48,DP=3,E为BC上一点,过

点E作EM1AB,EN1AC,EM=4.2,则EN=.

【答案】1.8

【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出=

S^ABF+S^ACF=gAB•DF+gAC•EF是解此题的关键.连接力D,4E,根据D为8c中点，得出S4.D=

S&ACD=；AB,DP,从而得1I；SA4BC=S^ABD+S^ACD=2s^ABD=,DP,根据二角形面积得出

5△/IFC=SAABE+SA/1CF=^AB.EM+^AC-EN,从而得出AB•OP=-4B•EM+•EN，代入数

据计算即可.

【详解】解：如图，连接40,AE,•:D为BC中点,

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第03讲三角形的中线、角平分线、高（解析版）

>DP,

•"△48C=S2ABD+S4ACD~2s△48。=,DP，

二'EMIAB,EN1AC,

S»ABC=S&ABE+S>ACE=-EM+^AC-EN,

：.AB-DP=：AB•EM+：AB•EN,

'：DP=3fEM=4.2,

：.3AB=^x4.2xAB-ENf

解得:EN=1.8.故答案为：1.8.

10.如图，ZkABC为钝角三角形，分别过点力、B作BC、/C边上的高40、BE,己知AC=/0,BC=

5,BE=3,则4