七升八数学暑假提升预习-角的平分线

第09讲角的平分线(学生版)

知识归纳

【知识点1作已知角的平分线】

己知：/AOB,求作：NAOB的平分线.

作法:

(1)以点。为圆心，适当长为乂径画弧，交。力于点A/,交08于点M

(2)分别以点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在4。8的内部相交于点C.

(3)画射线OC.射线OC即为所求.

如图所示:

★作图依据：构造AOMCgCONC(SSS).

【知识点2角的平分线的性质】

内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

第09讲角的平分线（学生版）

如图，OC是〃。8的平分线，点尸在OC上，PDtOA,PELOB,垂足分别为。，E.

结论：PD=PE.

【提示】

（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；

（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；

（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；

（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的己知点向两边作垂线段，利用其相等来

推导其他结论.

【知识点3角的平分线的判定】

内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

如图，ZU8C的角平分线CN相交于点尸.

结论：①点/到三边力从BC,C4的距离相等;②ZUAC的三条角平分线交于一点.

【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的

平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上.

举一反三

【题型1角平分线的性质直接应用】

【例1】如图，在中，乙C=90。,平分DEJ.AB,垂足为点E,AD=6,AC=10,

则DE的长是（）

A.2B.3C.4D.6

【变式1・1］如图，44c8=90。，I。平分乙48c交4c于。,DE1A8于E,E。的延长线交BC的延长

线于凡求证：AE=CF.

BC

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【变式1・2】如图，在△4BC中，”=90。,4。是284。的平分线,。七14B于E,尸在4。上，且BD=DF.

（1）求证：CF=EB：

（2）试判断48与4F,EB之间存在的数量关系.并说明理由.

【变式1・3】如图，在△4BC中，40为484c的平分线，DE_L4B于E,OF_L4C于F,△ABC面积是

56cm2,AB=20cm,24c=8cm,求DE的长.

【例2】如图，在△ABC中，40为N84C的平分线，OE14c于点E,DE=2,AB+AC=16,则

的面积为（）

【变式2・1】如图，在△ABC中，4）为BC边上的中线，。/_1/8于点£;/0,CE相交于点心连接8尸.若

B尸平分乙4BC,EF=3,BC=9,则△CDE的面积为（）

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【变式2・2】如图平行CD,PB和PC分别平分乙4BC和"CBMD过点P,且与垂直，若AD=8cm,

BC=10cm,求四边形ABCD的面积？

【变式2・3】如图，在四边形力BCO44,4c平分4BAO,CE1AB于•£4/OC+乙B=/80。.

(1)求证：24E=48+40.

(2)当AD=4,BE=3时，AB=(直接写出结果)

【题型3作两边的垂线】

【例3】如图,在四边形4BCD中,BD是它的对角线,AD=CD,若8。平分乙4BCZ=119。,则NDCB

的度数为（）

【变式3・1】如图，在△ABC中，4。是它的角平分线，4E是它的中线，AB=5,AC=3,BC=7,

则ED长为（）

【变式3・2】如图，在△ABC中，BO,C。分别平分乙ACB,OD1.BC于点D.若。D=3,AABC

的面枳是50,则△4BC的周长为（）

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A

BDC

A.yB.25C.华D.50

【变式3・3】已知。M是乙4OB的平分线，尸是射线。M上一点，点C,。分别在射线OAOB上，连接

PC.PD.

为‘历

/M

oDBOD

图①图②

•

(1)如图①，当PC_LO4PDLOB时,PC与P。的数量关系是—__________9

(2)如图②，点C,。分别在射线O4OB上运动，且乙408=90。.当NPCO+乙PDO=/8伊时，PC

与P。在(1)问中的数量关系还成立吗？请说明理由.

【题型4尺规作角平分线】

【例4】尺规作图：已知点M、N和乙4。艮

A

M/

OB

(1)画直线MN；

(2)在直线MN上求作点P,使点P到乙4。8的两边的距离相等.

【变式4・1】如图，在△4BC中.

AA

，二

\

BCBC

备用图

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(1)尺规作图：作NBAC的平分线AD交BC于点。.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若4B=8,AC=6,△4BD的面积为12,求△ABC的面积

【变式4・2］如图，已知在△ABC中.

(1)分别作乙&NC的平分线，它们交于点。(尺规作图，K写作法，保留作图痕迹)；

(2)当44=60。时，z_BOC的度数为.

(3)当乙4=a时，用含a的代数式表示480C的度数.

【变式4・3］如图，在△ABC中，用圆规和无刻度直尺在川3上方作"84=Qc.(保留作图痕迹,

不要求写作图过程)

【题型5证角平分线】

【例5】如图，乙B=LC=90。,历是BC的中点，OM平分乙40c.求证：力M平分4DAB.

【变式5・1】如图，BE=FD,CEJ.4B于点f,CO_L4尸交AF的延长线于点Q,且BC=FC,求证:

仞是®F的平分线.

AEB

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【变式5・2】如图，BP是N4BC内部的一条射线，点。在BP上，连接/D、CD,4D=CD,过点P作PMJLAD,

PN1CD,M,N分别是垂足，且PM=PN,求证：BP平分匕ABC.

【变式5・3】如图：AE1AB,AF1AC,AE=AB.AF=AC,

(1)图中EC、BF有怎样的位置关系？试证明你的结论.

(2)连接AM,求证：MA平分4EMF.

【题型6角平分线的判定与性质综合】

【例6】如图，在△ABC中，4c4B=5。。，点。在△4BC的外部，且40平分过点D作。EJ.AC,

交4。的延长线于点E,DFLBC,交BC于点、F,连接30.若乙BCE=104。,DE=DF,求4的度

【变式6・1】如图，BP,CP分别是△43C的一个内角及一个外角的平分线，PQ1AC,垂足为点

连接4P.

⑴若=6。，求的度数;

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(2)设BC=Q,AC=b,AB=c,求线段4Q、CQ的长度(用含a,b,c的式子表示).

【变式6・2】如图在△ABC中，点。在BC边上，乙BAD=40°,4ABe的平分线交4c于点瓦过点£

作EF148,交84的延长线于点E且NAE尸=20。，连接DE.

⑴求证：DE平分乙4DC；

(2)若48=6,AD=5,CD=7,且S^CD=12,求448E的面积.

【变式6・3】如图，在△4BC中，点。在BC边上，乙BAD=110。,BE平分/ABC交4c于点E,过点E

作EF_L4B交B4的延长线于点尸，Q^AEF=55°,连接DE.

⑴求乙C/D的度数；

⑵求证：OE平分乙4DC；

(3)若AD=4,CD=8,且SMCO=",求EF的长.

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能力提升

1.如图，在中，乙C=90。,以点4为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、45于点

M.N,再分别以点M、N为圆心，大于gMN的长为半径画圆弧，两弧交于点P,作射线AP交边

于点。，点E在边48上，连结DE,则下列结论错误的是（）

A.AM=ANB.连结PM、PN,根据SAS可判定△4MP三ZX/INP

C.LCAD=^BADD.DE的最小值是。C的长

2.如图，力P平分NC4B,&）_14。于点。，若PO=4.5,点E是边力8上一动点，关于线段PE叙述

正确的是（）

A.PE=4.5B.PE>4.5C.PE<4.5D.PE>4.5

3.如图，在△4BC中，AB+AC=18,40平分484C,OE_L48于点E.若DE=4,则的面

积为（）

4.如图，在△4BC中，。是C8延长线上一点，Z4CB与418。的角平分线交于点E,连接AE.若要

求N84E的度数，只需要知道下列哪个角的度数（）

A.LABCB.乙ACBC.^BACD.乙AEB

5.如图，的角平分线为，过点。作，垂足为凡E是线段的中点.若。《。二夕,

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DF=2,AC=7.5,则△ABO的面积是（）

6.如图，RtZX/BC中，乙C=90。,4。平分N84C交BC于点。，上为线段AC上一点，连接。E,且乙8=

乙CED.若AB=J6,CE=7,则AE的长为：

7.如乳△48C的外角NZMC和乙4CE的平分线相交于点M,点M到BE的距离为4.若AB=7,BC=9,

则四边形｛ACM的面积为.

8.如图，在△4BC中，AB=2,BC=3,BD是的平分线，如果△ABC的面积为:那么△D8C

的面积为.

9.如图，在锐角三角形ABC中，乙BAC=60。,BE,CD分别为△ABC的角平分线.BE,CD相交于

点凡FG平分48FC,已知80=3,CE=2,△8FC的面积=2.5,求△8C0的面积=

10.如图，在四边形48co中，AB||DC,NfMB的平分线交8C于点E,DE1AE,若40=12,BC=8,

则四边形4BC0的周长为

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11.如图，△4BC中，4c=9。。，AD1BC,垂足为。.

A

DC

(1)求作N4BC的平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；)

⑵若乙1BC的平分线分别交4D,4c于P,Q两点，证明：乙4PQ=4QP.

12.如图，四边形4BC0中，AC平分乙BAO,BC=DC,CE140于点E,AD=12,AB=7,则求

线段DE的长为多少？

13.如图，点。为△4BC外一点，G为BC的中点，DE1.AB于点E,。尸1AC交AC的延长线于点巴

连接DG,40,且OGJLBC,BE=CF.

(1)求证：40平分4B4C；

(2)若AB=15,AC=9,求4E的长.

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14.如图，在△4BC中，乙BAC=120。,BE,CF是△ABC的角平分线，它们相交于点/.

图1图2

(1)如图/,连接加，求证：点/在々B4C的平分线上；

(2)如图2,延长加交BC于点D,过点F作FT_LBC于点7,FLJ.40于点L.求证：FT=FL.

15.教材呈现:

我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.我们可以用演绎推

理的数学方法来证明这一定理.

定理证明：

(1)清结合图(1)写出“角平分线的性质定理''完整的证明过程；

己知：___________________

求证：__________________

证明：

知识应用：

(2)如图(2)在四边形48C。中，AB=ZC,点E在边BC二，4E平分NB40,OE平分440C.

①求证：BE=CE；

②若四边形力8co的周长为20,面积为26,BE=2,则△ABE的边AB上高的长度为

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知识归纳

【知识点1作已知角的平分线】

已知：ZAOB,求作：NAOB的平分线.

作法:

(1)以点。为圆心，适当长为乂径画弧，交。力于点A/,交08于点M

(2)分别以点N为圆心，大于〃2〃N的长为半径画弧，两弧在4。8的内部相交于点C.

(3)画射线OC.射线OC即为所求.

如图所示:

★作图依据：构造AOMCgCONC(SSS).

【知识点2角的平分线的性质】

内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

第09讲角的平分线（解析版）

如图，OC是〃。8的平分线，点尸在OC上，PDtOA,PELOB,垂足分别为。，E.

结论：PD=PE.

【提示】

（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；

（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；

（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；

（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的己知点向两边作垂线段，利用其相等来

推导其他结论.

【知识点3角的平分线的判定】

内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

如图，ZU8C的角平分线CN相交于点尸.

结论：①点/到三边力从BC,C4的距离相等;②ZUAC的三条角平分线交于一点.

【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的

平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上.

举一反三

【题型1角平分线的性质直接应用】

【例1】如图，在中，乙C=90。,平分DEJ.AB,垂足为点E,AD=6,AC=10,

则DE的长是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出OE=OC,

再利用线段的和差关系可求出结果.

【详解】解：VDE1AB.

:•乙BED=90。,

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•••BD平分Z4BC,乙C=90。,

：.DE=DC,

*：AD=6,AC=10,

：.DE=DC=AC-AD=10-6=4,故选：C.

【变式1・1】如图，乙4cB=90。，80平分乙4BC交AC于。，DELABfE,EO的延长线交BC的延长

线于凡求证：AE=CF.

【答案】证明见解析.

【分析】木题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可求得OC=

DE,则可证得△AOEWZXFDC(ASA),再利用全等三角形的性质可证得结论，熟练掌握角平分线

的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】证明：・・・乙4。=90。,

・・・OC1B尸，

・.・BD平分OEJLAB,DC工BF,

：.DE=DC,^AED=2FCD=90。，

(^AED=乙FCD=90°

在△,4OE和△FOC中，DE=DC,

乙ADE=(FDC

：.AADE三△尸OC(ASA),

：.AE=CF.

【变式1・2】如图，在△4BC中，”=90。,4D是乙BAC的平分线,DEJL4B于E,b在4C上，且BO=DF.

(1)求证：CF=EB；

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第09讲角的平分线(解析版)

(2)试判断4B与4F,EB之间存在的数量关系.并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)4B=4F+2BE,理由见解析

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关

键.

(1)根据角平分线的性质得到。。=。已证明Rt^FCO三根据全等三角形的性质证明；

(2):正明Rt2\/COwRtZk4E。，根据全等三角形的性质证明.

【详解】(1)证明：:/10是4ZMC的平分线，DE1/4ZJ,乙C=90。,

：.DC=DE,

在RtZXFCD和Rt/XBEO中，=

l"=DB

・・・Rt△FCD三Rt△BEO(HL),

：.CF=EB；

(2)解：AB=AF+2BEf

理由如下：在RSACD和RS4ED中，］?£=%，

30=AD

：.Rt△4C0三Rt△AEO(HL),

：.AC=AEf

：.AB=AEBE=AF+FC+BE=AF+2BE.

【变式1・3】如图，在△ABC中，40为484c的平分线，DE_L4B于E,OF_L4C于F,△ABC面积是

56cm2,AB=20cm,AC=5cm,求的长.

(答案］DE=4cm

【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.

根据角平分线的性质得出0E=DF,根据三角形面积公式推出S^8C=S4!8D+S.CD=gDE(4B+

AC),代入数据求解即可.

【详解】解：・・・4D为"AC的角平分线,DELAB,DF1AC,

DE=DF,

S44BC=+S〉ACD

11

=-AB-DE+-AC-DF

22

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第09讲角的平分线（解析版）

11

=-AB-DE+-AC-DE

22

•・•A48c的面积是56cm2,AB=20cm,AC=8cm,

56=gDE(2()+8),

解得:DE=4cm.

【题型2作一边的垂线】

【例2】如图，在△4BC中，40为4B4C的平分线，OE_L4C于点E,DE=2,AB+AC=16,则△ABC

的面积为()

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.过点。作DF_L4B于F,

根据角平分线的性质定理得到=DE=2,再结合?!B+4C=/6,即可求出面积.

：.DF=DE=2,

*：AB+AC=16,

:.S^ABC=；ACxDExDF=^（AB+AC）-DE=16,

故选：c.

【变式2・1】如图，在△ABC中，4）为8C边上的中线，CE_L/8于点E,AD,CE相交于点心连接8乩若

8小平分乙4BC,E尸=3,BC=9,则△CDE的面积为（）

BDC

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第09讲角的平分线（解析版）

A.4B.gC・5D.6

z24

【答案】C

【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分

线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键.

过产作FGLBC于G,根据角平分线的性质求得/G=EF=3,再根据三角形一边上的中线将三角

形面积平分求解即可.

【详解】解：过/作FG1BC于G,

平分乙4BC,FG1BC,EFLAB.

:.FG=EF=3,

为△ABC的8c边上的中线，

・・・/。为4BFC的BC边上在中线：

又•；BC=9,

=gs^BFc=!x!xBC'FG=9x3=q,故选：C.

【变式2・2】如图,AB平行CD,PB和0C分别平分乙4BC和4DCBMO过点尸，且与48垂直，若AD=8cm,

BC=10cm,求四边形4BC0的面积？

【答案】40cm2

【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过尸作PQ1BC于。，根

据角平分线的性质可得出P4=PQ=PD，根据HL证明「△ABPwRtaQBP,得出AB=QB,同

理得出CD=CQ,则48+CD=/0cm,然后根据梯形面积公式求解即可.

【详解】解：过尸作PQLBC于。，C

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第09讲角的平分线（解析版）

,ZB平行CD,ADLAB,

：.AD1CD,

・・•PB和PC分别平分N4BC和Z0C8,

：.PA=PQ=PD,

VAP=QP,BP=BP,

：.RtAABP=RtAQBP,

：.AB=QB,

同理CD=CQ,

CD+AB=CQ+BQ=BC=iOcm,

：.四力形ABCO的面积为:(4B+CD)•4。=gx/0x8=40cm2.

【变式2・3】如图，在四边形4BCD中，AC^^-^BAD,CE1AB^E,AADC+=180°.

（1）求证：24E=A8+4D.

（2）当AO=4,BE=3时，AB=（直接写出结果）

【答案】（1）见解析；（2）/0

【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出

辅助线是解题的关键；

（1）过点C作CF140,根据角平分线的性质可得CF=C£先根据HL证RtaAFCERta/lEC,

再根据AAS证明△FDC=△EBC,即可证明2AE=AB+AD；

（2）由（1）可知DF=8E=3,则AE=AP=7,即可求出力B.

【详解】(1)证明：过点。作CF_L40,AEBAC平分J_4B,CFLAD,

CF=CE,乙DFC=乙BEC=乙BEC=90。,

vAC=AC,

•••Rt△AFC=RtA4EC(HL),

.'.AF=AEf

乙FDC+乙ADC=180°,乙ADC4zB=180°,

••・乙FDC=乙B,

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第09讲角的平分线(解析版)

•:乙DFC=(BEC,CF=CE,

FDC=AFFC(AAS),

DF=BE,

•••AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE,

2AE=AB+AD^

(2)解：•••DF=BE,BE=3,

DF=3,

AE=AF=AD+DF=4+3=7,

,-.AB=AE+BE=7+3=10,故答案为：10.

【题型3作两边的垂线】

【例3】如图，在四边形ABCD中，B。是它的对角线，AD=CD,若BD平分匕ABC,4A=il9。,则NDCB

的度数为()

A

BZ------------------------xc

A.62°B.61°C.60°D.59°

【答案】B

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的

性质定理是关键.过点。作OE工84OFJLBC,垂足分别为E,F,证明Rt△49EmCOE(HL),

即可得到答案.

E

A，。、、

【详解】解：过点。作。尸_LBC，垂足分别为E,F,F

•・・BD平分乙4BC,

：.DE=DF,

•：^BAD=119。,

：.^DAE=180°-4BAD=61。,

9CAD=CD,DE=DF,

：.Rt△ADE三Rt△COF(HL),

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第09讲角的平分线（解析版）

;•乙DCB=LDAE=61。，故选：B

【变式3・1】如图，在△ABC中，4。是它的角平分线，4E是它的中线，AB=5,AC=3,BC=7,

则ED长为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算

方法是关键.

如图.过点。作。G_L48于G,于H,*处=翌=4*=:，BD=三,由中点得到

'△CADAC3DCJ82

根据DE=BD-DE=BD-BE=^-\=狎可求解.

【详解】解：如图，过点。作OGJ.48于G,

•・•4。平分NB4C,DGLAB,DH1ACt

DG=DH,

.S&BAD_AB_5

•'“CAD-就一7

BD_5

~DC~1

•・.BC=7,

・・・哈

•・・4E是△48C的中线，BC=7,

・・.BE=p

；・DE=BD-BE==-Z=Z，故选：C.

828

【变式3・2】如图，在△4BC中，BO,C。分别平分N4BC,^ACB,OD_LBC于点。.若OD=3,AABC

的面积是50,则的周长为（）

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第09讲角的平分线(解析版)

A.yB.25C.与D.50

【答案】C

【分析】本题考杳了角平分线的呼质定理.，连接。4作0E_L48于E,。514c于用由角平分线的

性质定理可得OE=OO=3,OF=。。=3,再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平

分线的性质定理是解此题的关铤.

【详解】解：如图，连接。4作。EJ.4B于E,。尸，4。于尸，

・；B0,CO分别平分zABC,^ACBf0D工BC于点、D,0D=3,

/.OE=OD=3,OF=OD=3,

:•△ABC的面积是50,

+S^OHC+S/XOAC=50,

：.^AB•OE+•00+•OF=50,

：.3AB+3BC+3AC=100,

：.AB+BC+AC=^,即△ABC的周长为半，故选：C.

JJ

【变式3・3】已知OM是乙力。8的平分线，P是射线0M上一点，点C,。分别在射线0A0B上，连接

PC,PD.

⑴如图①，当PC，。4,POJ.OB时，PC与PD的数量关系是；

(2)如图②，点C,。分别在射线04,08上运动，且乙408=90。.当NPC0+NP。。=18伊时，PC

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第09讲角的平分线（解析版）

与PD在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由.

【答案】（1）PC=PO;（2）成立，理由见解析

【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的

性质定理是解题的关键；

（1）根据角平分线的性质定理即可作出判断；

（2）过点。作PE1OB于E,PF1OC于F,如图，可得PF=PE,根据补角的性质得出"C。=乙PDE,

证明aPFC三△PED（AAS）,进而得到结论.

【详解】（1）解：PCJ.O4PDJ.OB,OM是4108的平分线，

PC=PD；

故答案为：PC=PD；

（2）解：成立，理由如下：

如图，过点P作PE1OB于E,PF1OC于F,ODEB.•.乙PFC=乙PED=90。,

,.,OM是NAOB的平分线，

・•・PF=PE,

V乙PCO+乙PDO=180°,乙PDO+乙PDE=180。,

•••Z.PCO=乙PDE,

(乙PFC=乙PED

在aPFCftAPED^IAPCF=Z-PDE

(PF=PE

PFCPEO(AAS),

PC=PD.

【题型4尺规作角平分线】

【例4】尺规作图：已知点M、N和4OB.

（1）画直线MN：

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第09讲角的平分线（解析版）

（2）在直线MN上求作点P,使点P到乙AOB的两边的距离相等.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识

点.

（1）根据直线的定义求解即可;

（2）尺规作出N40B的平分线与MN交于点P即为所求.

【详解】（1）如图所示，直线M/V即为所求;

（2）如图所示，点尸即为所求;

【变式4・1】如图，在△ABC中.

（1）尺规作图：作NB4C的平分线40交BC于点。.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若AB=8,AC=6,△4BD的面积为12,求△ABC的面积

【答案】（1）见解析；（2）21

【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，二角形面积，掌握角平分线上的点到角

两边的距离相等是解题关键.

（1）根据角平分线的作法作图即可;

（2）过点。作0P14B、DE14C,根据角平分线的性质，得到OF=OE,再根据三角形面积公式,

求得DE=D尸=3,再由S△力BC=S4ABD+S&4CD，即可求解.

【详解】（1）解：如图，射线4D即为所求:

（2）解：如图，过点。作DF交4B与点凡作DE_L4C交AC与点E,

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第09讲角的平分线（解析版）

A

•••40平分NB4C,

・•.DF=DE,

•••△ABO的面积为12,

：［AB・DF=；x8xDF=12,

：.DF=3=DE,

vAB=8,AC=6,

S.ABC=^^ABD+=72+^AC-DE=12+6x3=21.

【变式4・2】如图，已知在△48。中.

（1）分别作乙B，乙C的平分线，它们交于点。（尺规作图，大写作法，保留作图痕迹）：

（2）当44=60。时，ZBOC的度数为.

（3）当乙4=a时，用含a的代数式表示NB。。的度数.

【答案】（1）见解析；（2）/20。；（3）90。+：。

【分析】本题考查作图■复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识.

（1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可；

（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出乙。BC+4OCB,可得结论；

（3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出408。十乙0C8,可得结论.

【详解】（1）解：图形如图所示；

（2）

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第09讲角的平分线(解析版)

解：'・"4=6",

：.£.ABC+Z-ACB=180°一乙4=120。,

・・・BO平分/ABC,CO平分N4CB,

，乙OBC+乙OCB=^ABC+^ACB=+乙4CB)=6()。,

:.乙BOC=180。-QOBC+乙OCB)=120。,

故答案为：/20。；

(3)解：Vz/l=a,

：.^ABC+乙ACB=180°-44=180°-a,

•・・B0平分乙4BC,C。平分乙4CB,

:•乙OBC十乙OCB=^ABC=:(々ABC+4/CB)=90°-^a,

：.^BOC=180。一(乙OBC+乙OCB)=90°+ga.

【变式4・3】如图，在△ABC中，用圆规和无刻度直尺在4?上方作ZP84="C.(保留作图痕迹,

不要求写作图过程)

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角，先作乙BC4的角平分线，得出

乙BCN=二乙BCA,再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程，得乙PBN=4CN,故KPBA=

“BC4即可作答.

、、£/A

【详解】解：如图，“84即为所求.B~~C

【题型5证角平分线】

【例5】如图，乙B=4：=9()。,必是BC的中点，OM平分乙40c.求证：AM平分N£MB.

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第09讲角的平分线（解析版）

DC

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键：

过M作ME1力。于E,根据角立分线性质求出ME==M8,再根据角平分线的判定即可.

【详解】证明：过历作ME1AD于E,

平分Z40C,乙C=90。,ME1AD,

：.MC=ME,

「A/为BC的中点,

：.BM=MC=ME,

VzB=90°,MELAD,

"M平分NO/口

【变式5・1】如图，BE=FD,CE14B于点£CO_L4尸交A尸的延长线于点。，且BC=FC,求证:

/C是4B4F的平分线.

【答案】见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到RtZ\BCEwRt2\ECD.

证明RtZ^BCE三Rt^FCD得CE=CD,可得点。在/B4F的平分线上，进而可以解决问题.

【详解】证明：••・CE_L4B,CDLAF,

・•・乙CEB=NO=90°,

4Rt△BCE^\Rt△FCD+,[?£=££，

IBE=FD

RtRt(HL),

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第09讲角的平分线(解析版)

CE=CD,

CE1AB,CD1AF,

二点C在力尸的平分线上，

・・・4C是N84F的平分线.

【变式5・2】如图，是〃BC内部的一条射线，点。在BP上，连接=CD,过点P作PMJLAD,

PN工CD,M,N分别是垂足，且PM=PN,求证：BP平分乙4BC.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判

定定理是解题关键；

先由角平分线的性质定理得到乙4QP=乙CDP,再证明△ABDCBD(SAS),得到=乙CBP,

即可证明结论.

【详解】证明：vPMLAD,PNtCD,PM=PN,

：,OP为乙40。的角平分线，

Z.ADP=乙CDP,

:'Z.ADB=乙CDB,

AD=CD,

在△,4B0和△CBO中,乙ADB=^CDB,

BD=BD,

△ABDCBD(SAS),

Z.ABP=乙CBP,

BP平分乙ABC.

【变式5・3】如图：AELAB,AFLAC,AE=AB,AF=ACf

(1)图中EC、8尸有怎样的位置关系？试证明你的结论.

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第09讲角的平分线(解析版)

(2)连接4M,求证：MA平分NEMF.

【答案】(l)EC证明见解析；(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助

线构造全等上角形是解题关键.

(1)令4B与EC的交点为G,证明△力CE三△AFB(SAS),得到乙4EC=尸，进而得出N8MG=

乙EAG=90°,即可得到结论；

(2)过点4作4Pd.cE于点P,4Q1.BF于点Q,证明△ACP三/XAFQ(AAS),得至l〃P=4Q,即可证

明结沦.

【详解】(1)解：EC1BF,证明如下：

令48与EC的交点为G,如图，

-AE1AB,AFLAC,BC•.4B4E=々C4F=90。,

^BAE+乙BAC=/.CAF+乙BAC,^^CAE=乙FAB,

AC=AF

SA/EB中，Z.CAE=Z.FAB,

AE=AB

/.△ACE三△力尸Z?(SAS),

•••Z-AEC=乙ABF,

•••/,AGE=乙BGM,

...乙BMG=4EAG=90。,

••・EC1BF；

(2)证明：如图，过点4作APICE于点P,4。工8尸于点(2,

C：.AAPC=乙AQF=90。,

•••△ACE三△AFB,

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第09讲角的平分线(解析版)

Z.ACP=Z-AFQ,

(Z-APC=Z-AQF

在△4CP和4FQ中，N/CP=乙AFQ,

(AF=AC

ACP三△AFQ(AAS),

.•・4P=4Q,

又AQ1MF,

MA平分"MF.

【题型6角平分线的判定与性质综合】

【例6】如图，在△ABC中，4L4B=50。，点。在△ABC的夕卜部，且力。平分4B4C,过点D作DE_LAC,

交4c的延长线于点E,DF1BC,交BC于点凡连接80.若乙BCE=104。,DE=DF,求NDBC的度

【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接CD,过点。作DG148,交AB

的延长线于点G,证明CD平分NBCE,80平分ZC8G,利用三角形的外角性质求得4ABe=54。，进

一步计算即可求解.

•••40平分乙B4C,

・•・DE!ACtDG1AB,

•**DE=DGr

・・・DF=DG,

.・.BD平分乙CBG,

/.ABC=乙BCE-CAB=1040-5俨=54。,

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第09讲角的平分线（解析版）

・•・乙CBG=1800-Z.ABC=/26°,

.DBC=g^CBG=630.

【变式6・1】如图，BP,CP分别是△力的一个内角及一个外角的平分线，PQJ.AC,垂足为点0,

连接4P.

（1）若乙BAC=60。,求"AC的度数；

（2）设BC=a,AC=b,AB=c,求线段4Q、CQ的长度（用含a,b,c的式子表示）.

【答案】（1）60。；（2）4Q=~,CQ=一

【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定；

（1）过点P作PF1BC,垂足分别为E,F.根据角平分线的性质得出PE=PQ,进而可

得入户平分N&4E,即可求解：

（2）证明aEB尸三△尸BP得出BE=BF.同理可得.AE=AQ,CQ=CF.根据全等三角形的性质,

即可求解.

【详解】（1）过点P作PE_L4B,PFLBC,垂足分别为E,F.

BCF8P平分N4BC,CP平分4/CO,PQ1BD,

.・.PE=PF,PQ=PF.

.・.PE=PQ.

...4p平分乙C/E.

•・•Z-BAC=60°,

•••Z.PAC=^CAE=60°

2

(2)「BP平分N4BC,

乙ABP=Z.CBP.

vPE1AB,PF1BCf

Z.E=Z.PFB.

,:BP=BP,

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第09讲角的平分线(解析版)

••.△EBP=AFFP.

・•.BE=BF.

同理可得.AE=AQ,CQ=CF.

••・c+4Q=Q+CQ,AQ+CQ=b.

【变式6・2】如图在△4BC中，点。在8C边上，上BAD=40°,“BC的平分线交AC于点E,过点£

W-EF1.AB,交84的延长线于点尸，且乙4EF=20。，连接DE.

⑴求证：DE平分〃DC；

(2)若AB=6,AD=5,CD=7,且S0CD=12,求4力BE的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2»龌=6.

【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键.

(1)过点E作EG14。于点G,EHtBC于点、H,由BE是乙4BC的平分线，得到EF=EH,再证明力E

是乙F4G的平分线，得到EF=EG,进而得到EG=E"，即可得出结论；

(2)由S△力CD=/2,得至4。0・£〃+!4。・£^=/2,求出EF=EH=EG=2,即可求解.

【详解】(1)证明：过点E作EG_L4。于点G,EH上BC于点H,如图:

是ZABC的平分线，EFLAB,EH上BC,

:・EF=EH,

*：Z-AEF=20%乙F=90°,

：.Z-FAE=90°-20°=70°,

J./.GAE=1800-Z,FAE-4BAD=70。，

：./-GAE=4F4E,

・・・4E是NF4G的平分线，

又・.,EG_L40,EFLAB,

：.EF=EG,

:・EG=EH,