有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）原卷版-七年级数学上册重难点题型突破

专题06有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)

国14MA6值____________________________.

【题型1数列型规律】

【题型2裂差型规律】

【题型3新定义型规律】

【题型4含n，型规律】

【题型5定义两个数的运算】

【题型6定义多个数的运算】

…_____________________________

【题型1数列型规律】

【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列

的规律，探索下列问题：

・1I1-----------1-------------1--------------1------>-91A-!----->5••1

2--------->-36------------>-710------->•••C——>D

(1)在A处的数是正数还是负数；

(2)负数排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017个数是正数还是负数,排在对应于A,B,C,D中的—

位置？

【变式1-1］从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值,

【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是

【典例2】观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2,22=4,23=8,24=16,

25=32,……通过观察，你认为22。2】的个位数字应该是（）

A.2B.4C.6D.8

【变式2-1】观察下列算式：31=332=933=2734=8135=24336=729…

通过观察，用你所发现的规律得出3236的末位数是（）

A.1B.3C.7D.9

【变式2-2】观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据

这个规律，21+22+23+24+…+22020的末尾数字是（）

A.6B.4C.2D.0

【变式2-3】小明在计算有规律的算式1-2+3-4+5…+19-20时，不小心把一

个运算符号写错了（“十”错写成“-”或“-”错写成,结果算成

了-36,则原式从左到右数，写错的运算符号是（）

A.第5个B.第8个C.第10个D.第12个

【变式2-4］已知1=亿1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,・・・,按此规律,

1+3+5+…+19=.

23

【典例3】己知453=5X4X3=60,T45=5X4=20,J6=6X5X4=120,A/=

9X8X7X6=3024,……,观察并找规律，计算小3的结果是（）

A.42B.120C.210D.840

【变式3・1】已知A?=3><2=6,3=5X4X3=60,2=5X4X3X2=120,&3

3A5A56

=6X5X4X3=360,…，观察上述等式，利用其规律计算吊。的结果

为______

2

【变式3・2】已知：C5=12£2=3,L53=5X4X3=]o,04=6X5X4X3=

1X21X2X31X2X3X4

15,…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C?=—.

【变式3-3】已知需卫丝=3,岛5X4X3aX5X4X3……

b31X251X2X361X2X3X4

观察以上计算过程，寻找规律计算。乳。,=

【题型2裂差型规律】

1111_1

【典例4】观察下列计算：-^-=1-1,=------=--------

1XZZZ53x4344x5-4-

I，从计算结果中找规律，利用规律计算

5

(1)i+i+—+—+—+・・・・・・+^—

261220309900

⑵！+……+嬴

【变式4-1］观察下面的变形规律：-^=1-11=1_1

1X222X3下飞

_1____1_1...

3X43W'

解答下面的问题：

(1)，=1-1,1—=.

4X5-4一5-2020X2021—2020—2021—

(2)若〃为正整数，猜想，1、=_/二。

n(n+l)nn+1

(3)求值1111

177+2x3+3x4*2020X2021

【变式4一2】先阅读下列式子的变形规律:

---=1-J

1X22

1

2X3-23'

然后再解答下列问题：【注：第(1)小题直接写结果，不用写过程】

(1)类比计算：—I—=，-----

9X102019X2020

归纳猜想：若〃为正整数，那么猜想-1、=_________

n(n+l)

(2)知识运用，选用上面的知识计算二_4-----------的

1X22X33X42019X2020

结果.

(3)知识拓展:试着写出1111的结果.

1X343X5+5X7+7X9

【变式4-3］观察下面的变形规律:

1_1.L1.L1....

1X222X3233X434

解答下面的问题:

(1)仿照上面的格式请写出，

4X5

(2)若“为正整数，请你猜想，1、=_______

n(n+l)

(3)基础应用：计算:1----1--+----1---+-------+•,,+1----------------

1X22X33X42016X2017

(4)拓展应用1：解方程:+-----------2016

Ix7+2X3'3X42016X2017

(5)拓展应用2：计算:---1---+----1---+1+,,,+1

1X33X55X7------2015X2017

【题型3新定义型规律】

【典例5】符号“广表示一•种运算，它对一些数的运算如下：/(I)=1+1,

(2)=1+2,f(3)=1+2,/(4)=1+2-

2-3'4

(1)利用以上运算的规律写出/(〃)=；(〃为正整数)

(2)计算：/(I)・/(2)・/(3)-/(100)的值.

【变式5-1】新定义：符号表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下:

运算(一)：/(-2)=-2-1=-3,/(-I)=-1-1=-2,/(0)=0-

=1-1=0,/(2)=2-1=1,......

运算(二)：/(JL)=-3,/(二)=-2,/-(1)=2,/(I)=3,•…・

3223

利用以上规律计算：(1)/(10)=，/(-10)=

10

，/(

(2)/(-2015)-/(-5—)=；

2016

(3)计算：/(-5)+/(-4)4/(-3)+/、(-2)+/(-1)4/(0)+/V1)

+/(二)+f<-)1)+/(二).

2345

【变式5-2］新定义：符号”广表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下:

运算(一)：/(・2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-

1=-1,/(1)=1・1=0,/(2)=2-1=1,•・•・•

运算(二)：<(=-3,/(JO=-2,<(1)=2,/(I)=3,,…・

32-23

利用以上规律计算：(1)/(10)=,/(-10)=FL)=

10

/(」)=

10

(2)/(-2015)-/<一—)=:

2016

(3)计算：/(-5)+/(-4)4/(-3)4/(-2)4/(-1)4/(0)+/'□)

+/,(_A)4/(JL)4/(1)+/(_!).

2345

【题型4含口?型规律】

【典例6】某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小

时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是

()

A.9B.10C.500D.501

【变式6-1】某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分

裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时

后，细胞存活的个数是()

A.31B.33C.35D.37

【变式6-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小

时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小

时后细胞存活的个数是()

A.1023B.1024C.1025D.1026

【题型5定义两个数的运算】

【典例7】现定义一种新运算“*”，规定。*力=后一m如3*1=仔一3=-2,则

(-2)*(-3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【变式7-1］新定义一种运算：aOb=a-2b,例如：(-1)03=(-1)-2X

3=・1・6=・7，则2。(-1)=.

【变式7-2］已知〃，6为有理数，如果规定一种新运算“※一定义。※

M+2+Q,则(-3)派6的结果是.

【题型6定义多个数的运算】

【典例8】现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab+a-b,如1*3=卜3+1—3,则

(2*5)*4等()

A.2