高考数学备考探源点2 超越不等式

探源点2超越不等式

高考定位在高考中,经常考查与导数有关的不等式问题,这些问题可以用常规方法求解,也可以用

超越不等式求解,从而使问题简单化,高考试题一般以解答题的形式出现.

【母题突破】

类型一指对放缩

母题1(人教A版选修二PIO4T18)己知函数./U)=ei-ln(x+m).当〃W2时，求证府)〉0.

证明第一步:放缩

当时,人工)=4'—In(1+⑼2？，-In(x+2),

故只要证明ev-ln(x+2)>0即可.

第二步:构造

只要证T2x+1,121n(x+2)两等号不同时成立.

x

令g(x)=e—x—lt则g(x)=er—1,

当xvO时,g'(x)vO,当x>0时,g'OO,

则g(x)在(一8,0)上单调递减,在。+8)上单调递增.

所以g(x)2g(())=(),

即eOx+1,当且仅当x=0时，等号成立.

第三步:同构(替换)

在1中，以In(x+2)代替x,

则有eina+2)2]n(x+2)+l,

即x+221n(x+2)+1,

即121n(x+2),

当且仅当In(x+2)=0,即工=-1时，等号成立.

第四步:传递

综上,廿21+I,x+12ln(x+2)(两等号不同时成立)，

v

所以e>ln(x+2)2ln(x+m)f即

真题1(2024•全国甲卷节选)已知函数危)=a(x—1)—lnx+1.当a<2时，证明:当x>l时，凡¥)<&*一恒

成立.

证明因为〃W2,所以当心＞1时，

e'1=ev1-a(x-l)+lnx~1

Ne'-i—2x+lnx+1.

令g(x)=ev-1—2x+Inx+1,

则只需证当人>1时g(x)>0.

易知g\x)=e~'-2-\~^>x-1+1-2+i

—xH---2>2lx•--2=0,

xyjx

即g«)〉0,

故g(X)在(1,+8)上单调递增，

所以当X>1时,g(x)>g⑴=0,

即当Q1时，危)<尸1恒成立.

规律方法当要证明的不等式中既含有的又含有InxB寸，一般我们形象地称之为指对共生式，这类

问题直接构造差函数进行研究较为困难，突破这一困难一般采用切线放缩、分离双函数、同构等技

巧.常用的切线放缩有:⑴e~x+l;(2)e=ex;⑶1一工WlnxWx-l;⑷InxW1从(1)出发利用替换可以

xe

证明(2)(3)(4),也可以独立证明).

在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将e*或Inx放缩掉，再来证明不等式，这是指

对共生式时的一种可以考虑的方向.

注意，解答题中若要用不等式？。工+1,9。附1一24门忘不一1等进行放缩，一般需要先给出证明.

X

样题1已知函数/(x)=6/x+lnx-|-l,若对任意的x>0,J(x)^xe2X恒成立,求实数a的取值范围.

解对任意的.00,人¥)・疣入恒成立，

等价干〃在(0,+8)上恒成立.

因为xe2v—(Inl)=e2vlnr—(Inx+l)2(2x+lnx+1)—(Inx+l)=2r,

所以MYnx+D,它=2.

XX

当且仅当2x+lnx=0时等号成立(方程显然有解),

2x

即xe-(lnx+l)-=2,

X」min

所以a12.

故实数。的取值范围是(-8,2].

样题2已知函数/")=ln(x+l).

(1)证明:当戈>一1时，火

(2)已知〃£N*,证明:e"卜抖••+\ln(〃+2).

证明(1)令h(x)=\n(x+1)—xU>—1),

则/2。)=士一1=一士，

x+lx+1

当一14V0时，/?")>(),

当x>()时,〃。)<0,

:.函数力(x)在(一1,())上单调递增，在((),+8)上单调递减,

：.h(x)W力(0)=0,即«r)Wx.

(2)由(1)可得lnQ+l)Wx,

当且仅当x=0时取等号，

令x=-,〃£N*,

n

.1./I,4.n+1

..-n>ln(\n-+l)J=ln--n---,

14--+工+…+±>ln-+ln-+ln&+…+ln区口=ln(〃+1).

2371123n

即1+工+-H------F->ln(??+1),

23n

则e1+升升•••+£>〃+1,①

又由(1)知,In(x+l)<x,当且仅当x=0时取等号，

令尤=〃+1,又〃£N*,

・・・lnm+2)<〃+l,②

1+++

由①②得,e4l-^>ln(〃+2).

样题3(2025・宁波调研)已知函数/U)=e1)(x^1),g(x)=(x—1)lnx,其中e为自然对数的

底数.

(1)若/U)20恒成立，求实数。的取值范围;

(2)若a取(1)中的最大值,证明:/(x)2g(x).

(1)解法一(最值法)

由题意，7(x)2(),得}-a(x+1)^0,

e》T

得aW

x+l1

设〃㈤=1T7(X21)，

则〃㈠尸GT于2

所以力(%)在[1,+8)上单调递增,

从而/?(x)min=/?(1)=

因为后心)恒成立，所以44，

故实数4的取值范围是(一83].

法二(放缩法)

由题意,«r)20,得匕1|一〃(x+l)20,

e*-i

得

x+1

设r(.x)=ev—A—1,则/。)=9，一1,

当x<0时,40v(),心:)单调递减；

当心>0时，/U)>0,心)单调递增.

则心)2«0)=0,即眇2x+l,

当且仅当x=0时，等号成立，所以eC2尤

当且仅当x=l时，等号成立,从而三》*=1一±21-

x+lx-l-1x1-11+12

又当-1时

所以亍的最小值为3

x+12

因为三恒成立，所以

x+l2

故实数4的取值范围是(一8,].

(2)证明由题意知,4=3

段)=铲一1一三%21),

所以於)2g(x),

得exl)lnx,

2

设〃(x)=lnx—x+l(x>0),

则uXx)=^,当0<%<1时,〃(x)>0,〃(x)单调递增;

当x>1,ur(x)<0,w(x)单调递减.

则〃(x)W〃(l)=O,即InxWx—1,

当且仅当x=\时，等号成立(或可由(1)中法二里的推出lnx^x-1),

所以当上21时，(x—l)lnxW(x—1)2,

证明一詈2。一1)2,

即证匕「122/-3久+3,

口n、丫2刀2-3%+311

即证2物-1W1,

设9a)=今井。21)，

_(2x-3)(x-2)

则(p\x)=

2铲一】

令9富)>0,得沁<2,

O

令，(x)<0,得1或1>2,

从而夕⑴在［1,|)和(2,+8)上单调递减，在(|,2)上单调递增,

因为矶1)=1,研2)=六：1,

所以9(x)Wl,即当时J":；；」.1,

所以廿1—五一2(x—1)2,

因为(/—l)22(x—l)lnx,

所以西一|一^^2(1一I)lnx,

故7U)2g(x)成立•

类型二三角放缩

母题2(人教A版选修二P97练习T1)利用函数的单调性，证明下列不等式,并通过函数图象直观验

证:sinxW(O,兀).

证明sin等价于x—sinx>0,

令7(.x)=xsinJV,则/V)=lcosA,

当x£((),兀)时,八工)>().

・7/W在(o,花)上单调递增，

•\/W>AO)=O,

Ax—sin人>0在x£(0,兀)上恒成立，

即sinx<x,x£(0,7i).

如图，由图象可直观得到sinU,x£((),兀).

真题2(2023•新高考II卷节选)证明:当0<x<l时,x-f<sinx<x.

证明令/?(x)=x—x2—sinx(0<x<l),

贝ijh'(x)=1—2x—cosx(0<x<1).

令p(x)=1—2x—cosx(0<x<1),

则p，(x)=-2+sinx<0,

所以p(x)即力(x)在(0,1)上单调递减，

又A10)=0,

所以当04<1时,/f(x)<M())=oj?⑴单调递减，

所以当0<x<l时,〃(%)。(0)=肘

KPx—.「Vsinx.

令g(.r)=sin/一R(0<E<1),

贝ijg，(x)=cosx—I^0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，又g(0)=0,

所以当0<x<l时,g(x)vg(0)=0,

即sinx<x.

综上，当04<1时，x—An<sinx<x.

规律方法1.与三角函数有关的超越不等式为xesinX,A-E[0,K),并且此不等式可拓展为sin

x<x<tanx,(0,；).

2.当所研究的函数中含有三角函教时要注意利用三角函数的有界性与以上不等式进行放缩.

样题4(2025•南昌调研)已知函数«x)=sinx—41n(x+l).

⑴若。=1,证明:当[0,1]时，凡丫)20;

⑵若。=一1,证明:当xe[0,+8)时，段)W2^-2.

证明(1)首先证明sinxWx,+°°),

证明如下:构造j(x)=sinx-xfx^[0,+°°),

则/Q)=cosx—1W()恒成立，

故j(A)=sinx—x在[(),+8)上单调递减,故/(1)wj(0)=(),

所以sinxWx,犬£[0,+°°).

当a=1时,/(x)=sinx—\n(x+l),x^［O,l］,/(x)=cosx

x4-l

=1-2sin2--」一

2x+l

\2)x+1

,x21

=1——―---

2x+1

力二一

2+ZX-X--X-2_X(l-X)

故八外》20在x£[0,1]上恒成立,

2+2x24-2X

所以共外在［0,1］上单调递增，

故凡v)%0)=0.

(2)令g(x)=(28—2)一兀0,工£2+8).

当a=­\时,g(x)=2er-2—sinx—In(x+1)

=2(eA—X—l)+x—sinx+x—ln(x+l),

下证e'—x—120(x20),上一sinx20(x20),x—hi(x+1)20(x20),且在x=()处取等号,

令r(x)=er—%—1(x^0),

则rU)=el-1^0,

故r(x)=ev—x—1在［0,+8)上单调递增，

故32*0)=0,

即x-sinx20,且在x=0处取等号；

由(1)知式x)=sinx—式在［0,+8)上单调递减，

故式x)Wj(0)=0,即x-sinx20,且在x=0处取等号；

令t(x)=x-\n(x+1)(x20),

则“幻=】一士=W2a

故心)=x—lna+l)在［0,+8)上单调递增，

故r(刈3f(0)=0,且在X—0处取等号，

综上,^U)=2(ev—J：—l)+x—sinx+x—In(x+1)20,且在A=0处取等号,

即(2e*-2)一0)20,

即证得/(x)^2ev-2.

样题5(2025・济南模拟)已知函数4x)=cosX+$2-1,Q6R.

(1)若x=0是函数於)唯一的极《、值点,求实数a的取值范围;

(2)证明、si*+卜吟+Jsin3+Jsin3^<2.

⑴解/(x)=-sinx+依，且八0)=0,

令g(x)=f(x)，则g'(x)=—cosx+〃，

①当。21时,gQ)20,则g(x)单调递增,

当GO时,g(x)=f(x)»X0)=0,

当界0时,g(x)=F(x)50)=0,

即当x>()时,/u)单调递增，当x<o时,yw单调递减，

即可证得x=()是函数/U)唯一的极小值点；

②当a<\时,夕(0)=—1+〃<0,配以存在3>0使得xe(0,3),双九)=人])在(0,3)单调递减,即当工仁

(0,3)时,八外勺'(0)=0,

所以/U)在(0,3)单调递减，与x=0是函数式工)唯一的极小值点矛盾，

综上。21,从而实数。的取值范围为[1,+°°).

(2)证明当x>0时,x>sinx,

当龙>()时，sin^bx2,即，sin3%<x

故可得Jsin33+Jsin3：+JshJ|+…+小而器告+；+|+-+|^,

令5弓+声计•”+舞,

1c1.2.3..2025

/=[+)+痴+…+/，

两式相减可得券忖+K计…+康一舞

化简可得S=2[]_g)2°25_^卜2.

故小叫+小吟+加五|+…+向3泰<2.

样题6(2025•武汉质检)已知函数«¥)=廿+85x—2,g(x)=sinx.

(1)求证:当x£(0,+°°)H^,g(x)<x<J(x);

(2)当xW(0,+8)时，兀v)+g(x)>Qx恒成立,求实数0的取值范围.

⑴证明设G(x)=x—g(x)=x—sinx,x>0,则G\x)=1—cosxNO,

所以G(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以GCr)>G(())=0,即g(x)<r;

设F(x)=/(x)—x=ev4-cos%—2—x,.v>0,

则FTx)=e'—sinx~1,

因为x>0时，sinx<xt即一sinx>~x,

所以F,(x)=et_sinx~\>ex~x—1,

设h(x)=ex—x—I,x>0,

则/?,(x)=ev-l,当心>0时，

6。)>0,所以〃⑴在(0,+8)上单调递增，

/?(x)>/?(0)=0,即ev>x+1,

所以尸x—1>0,

所以F(x)在(0,+8)上单调递增，

所以尸a)>F(o)=o,即

所以g(x)<x勺⑺得证.

(2)解y(x)+g(x)>ax在(0,十8)上恒成立，即ev+cosx—2+sinx—ov>0在(0,十8)上恒成立,

设9a)=^+cosx—2+sinx-ax,x>0,

zv

而^(x)=e—sinx+cosx-af

令〃心)=夕。),心>0,

贝ij/H'(x)=ev—cosx—sinx,

由(1)知，当x>0时,ev>x+1>sinx+cosx,

即/n'(A：)=ev-cosx—sinx>0,

所以夕。)在(0,+8)上单调递增，

①当时,-(0)=2—〃20,

当A>0时,e3>0,所以如)在(0,+8)上单调递增.

因为矶0)=0,故夕(幻>0,

即函数7U)+g(x)>or在(0,+8)上恒成立；

②当a>2时，，(0)=2—〃<0,

”(In(a+2))=“+2—sin[ln(tz+2)]+cos[ln(a+2)]—a=2—V5sin[ln(a+2)—^j>0,

故@3在(0,In3+2))匕存在零点.m,

即9ao)=0,

因为“(x)在区间(0,+8)上单调递增，故在(0,血)上,“(x)<“ao)=O,

所以当xe(0,xo)时,3。)单调递减，

又9(。)=0，

所以当x£(0,砍))时,3。)W(0)=0,与题设矛盾.

综上，实数〃的取值范围为(-8,2].

【精准强化练】

1.已知函数yu)=eri—1.

(1)若直线)，=工+。为火x)的切线,求a的值；

⑵若对必E£(0,+8),恒有/(幻24％求b的取值范围.

解(1)设直线y=x-\-a与曲线7U)相切于点(xo,州)，

因为人天)=^一%贝|]八次)=0"。一刀0=1,

解得xo=O,则泗=/5))=0,

即0+々=0,解得a=0.

(2)因为<0)=0,且曲线«r)在x=0处的切线方程为y=尤

故可猜测当x£(0,+8)时,风外的图象恒在切线),=x的上方,

即证当x£(0,+8)时，於)

即证当xe(0,+8)时,^一9一工一1>0,

设//(x)=ev-y—X-1,

x

则h'(x)=c—x—\f

设P(x)=hQ)=ev—x—1,

则尸。)=匕'-1,

因为P'(x)>0在(0,十8)上恒成立，

所以/?5)在(0,+8)上单调递增，

又因为"0)=0,

所以当工£((),+8)时,力(戏>(),

所以力(X)在(()，+8)上单调递增，

所以当x£(0,+8)时,AU)>/2(0)=0,

即T—9-x—l>0,即ev-^-l>x,

由此可得，当x£((),+8)时，

只需以即可，解得〃W1.

故〃的取值范围为(-8,1].

2.(2025•郑州质检)己知函数4。=ln(1+。以外=加+乂

(1)当心>一1时,./U)Wg。),求实数。的取值范围；

(2)已知〃WN*,证明:而去+疝++…+sin/n2.

⑴解令/?(x)=ln(x4-l)~x(x>~1),

则