直角对直径之隐圆问题（含解析）

专题13直角对直径之隐圆问题

1.如图，在矩形A8c。中，A8=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接心,PB,PC,若NPBC

=NRW,则PC的最小值是（）

A.6B.x/73-3C.2加-4D.-4

2.如图，RtZXABC中，A8/8C,AB=6,BC=4,。是.A8c内部的一个动点，且满

足/PAB=NPBC,则线段b长的最小值为（）

A.上B.2C.迦D.应电

21313

3.如图，在正方形A8CZ）中，点从产分别是力C、4。边上的动点，且A£_LWL垂足为

P,连接若正方形的边长为1,则线段CP的最小值为（）

4.如图，点A,B,。均在坐标轴上，AO=BO=CO=\,过A,0,。作O0,E是：D

上任意一点，连结CE,BE,则CEUBE」的最大值是（）

2026-2027学年

5.如图，E、〃是正方形A8CO边4。上的两个动点且XE=£>P,连接CF交8。于点G,连

接BE交AG于点H.若正方形人8CQ的边长为2,则线段。“长度的最小值为（）

LL「36

A.V5—1B.yJ2C.-D.—

6.如图，正方形48。的边长是4,点E是4。边上一动点，连接8E,过点人作4尺L5E

于点八点P是AO边上另一动点，则PC+P/的最小值为（）

A.5B.29-2C.6D.2石+2

第II卷（非选择题）

二、填空题

7.如图，在每个小正方形边长都为1的5x5网格中，有四个点A,B,C,D,以其中任意

三点为顶点的三角形的外接圆半径长是____.

H

8.如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90。的扇形，则此扇形的面枳为.

cm2.

9.如图，△ABC为。。的内接等边三角形，8c=12,点。为BC上一动点，BE上OD于E,

当点。由点8沿8c运动到点。时，线段A£的最大值是一.

10.如图，已知正方形ABCO的边长为2,£：是8C边上的动点，BFLAE交CD于点F,

垂足为G,连结CG.则CG的最小值为.

11.如图,AB是半圆0的直径.弦AC=4,NCAB=60。.点D是弧BC上的一个动点，作CG1AD.

2026-2027学年

连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是.

12.0C经过坐标原点，旦与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为(0,675)，M是圆上

一点，NBMO=150。.则圆心C的坐标为

13.如图，正方形ABC。的边长为8,点E、尸分别在线段A3、AO上，且A产=4,AE=3,

若点P,Q分别在线段BC、CD上运动，G为线段PF上的点，在运动过程中，始终保持NGEB

=ZGM,则线段GQ的最小值为.

14.如图，在边长为4的正方形人8c。中，动点£/分别在BC,/W上移动，AF=BE,

AE和。户交于点P,点M为边上一动点，点N为平面上一动点，CN=\,则NM+MP的

最小值是

BEC

15.如图，R/Zk/WO中，NA3O=90。，44=4,80=2.以44为边作正方形44CD.点M

是边8c上一动点，连接AM,过。作AM的垂线，垂足为N,连接CN.则线段CN的最小

值是

三、解答题

16.请你根据要求作图，保留作图痕迹(不要求写作图过程)

(1)请试一试用一把三角尺，找出图①中圆的圆心，并写出作图的依据.

(2)据第(1)题中的作匡经验，请你仅用无刻度的直尺和圆规在图②的43c中作出川6边

上的高.

17.已知四边形人8C。内接于。0,N/)/W=90°.

图1图2

(1)如图1,连接B。，若。。的半径为6,弧AD=MAB,求A8的长；

(II)如图2,连接AC,若AD=5,AB=3,对角线AC平分ND4B,求AC的长.

18.如图，已知四边形ABCD

(1)如图①，在矩形A8CO中，请你在矩形43。。的边上画出使NAP8=30。的所有点P；

(2)如图②，在矩形A5C。中，请你在矩形43co的边上画出使N5PC=60。的所有点P；

2026-2027学年

（3）如图③，在矩形"CD中，请你在矩形/WC。的边上画出使N8PC=45。的所有点P

AD

BC

图①图③

19.问题探究:

（1）请在图①的正方形4BCQ内，画出使/人尸8=90。的一个点，并说明理由.

（2）请在图②的正方形ABCO内（含边），画出使NAPB=60。的所有的点R并说明理由.

问题解决：

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD,A8=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等的.面

积最大的△AP3和△CP0钢板，且NAPB=NCPQ=60。.请你在图③中画出符合要求的点

和P和P.

参考答案:

1.c

【分析】判断出点。在以为直径的。。上，连接CO交。。于点P,此时PC取得最小值,

利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•四边形4BCD是矩形，

・•・Z/A5C=90",艮|J/尸6C+/F3A=90°,

VZPBC=ZMB,

：,ZPBA+ZPAB=90°f即NAP8=90°,

・•・点尸在以A8为直径的00上，连接CO交。。于点P,

此时PC取得最小值，

•・•四边形是矩形，A4=8,BC=6,

：,OB=OP=-AB=4,

2

由勾股定理得C0=Jo*+BC?=,4、+6、2月，

PC=2y/13-4

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点

P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离.

2.B

【分析】法一：首先根据题意得出乙4尸8=90。，然后根据圆直径所对的圆周角等于90。得出

，在以AB为直径的。上，得到点O,P,C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC的长

度，减去。户的长度即可求出PC的长度.

法二：首先根据题意得出4尸8=90。，取A8中点。，连接尸。，CD,根据三角形两边之

2026-2027学年

差小于第三边得出点P,D,C共线时PC的长度最小，利用勾股定理求出。C的长度，然后

再减去OP的长度即可求出QC的长度.

【详解】解：法一：・・・4BC=90。，

,ZABP+ZPBC=90°,

•：4AB=4PBC,

,4AP+Z/WP=90°,

/.ZAP/?=90°,

工点尸在以A8为直径的CO上，如图①，连接。。交0。于点尸，此时PC最小，

图①

在Rtz^ACO中，：NO4C=90。，BC=4,03=3,

・：OC=\IBC)2+BC?=5,

APC=OC-OP=5-3=2.

・••PC的最小值为2.

故选：B.

法二：VZABC=90°,

・•・ZABP+/PBC=900,

•・•/PAB=NPBC,

，N8AP+ZA8P=90°,

/.ZAPB=90°,取A8中点。，连接PO,CD,如图②.

A

：.PD=-AB=3.

2

VBD=3,BC=4,

***CD=V32+42=5-

在-PCD中，PC?DC-DP（当且仅当P在线段OC上时，取等号），

故PC最小值为5-3=2.

故选：B.

【点睛】此题考查了勾股定理的运用，动点线段最值问题，解题的关键是根据题意分析出

AB的中点和点P,点C共线时PC的长度最小.

3.B

【分析】首先根据NAPB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定

理求解即可.

【详解】解：〈AELBF交于点P,且NAP8=90。，

取AB中点O,连接P。，

则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，

•・•点E、?分别在正方形的边C。和AQ上，

・•・当点七与点。重合时，CP的值最小，即为CP',

产为正方形A8CO的对角线AC和BD的交点,

•；AB=BC=1,

Z.CP,=^C=-xVl2+l2=—,

222

故选B.

2026-2027学年

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，确定出点。的轨迹，得到CP

最小时的位置是解题的关诞.

4.C

【分析】连接4C,7)/?•析图.利用圆周角定理可判定点力在AC上，易得40,1),M-L0),

C(l,。)，AC=4i，设£(〃?，〃)，则良2+后。2=2(52+〃2)+2,由于〃?2+〃2表示七点

到原点的距离，则当OE为直径时，E点到原点的距离最大，由于OO为平分ZAOC,则m,

利用点E在圆上得到+(〃-；［=(4)2,则可计算出m=n=\,从而得到EB14-EC2的

ZAOC=90°,

"C为0。的直径,

•••点。在AC上，

AO=BO=CO=1,

..40,1),/?(-1,0),C(l,0),AC=叵,,

设设孙〃),

:EB2+EC2=(zH-l)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而加+1表示E点到原点的距离，

・••当0E为直径时，七点到原点的距离最大，

・・・0。为平分NAOC,

'.m=n，

D八E…=—A…C=—近，

22

.•.(〃?-3)2+(n-3)2=(孝)。，

即m2+n2=m+n

m=/?=1,

/.此时EB2+EC2=2(nr+/r)+2=2(l+l)+2=6,

即C炉+BE2的最大值是6.

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到

EB?+EC2=2(>+/J)+2是解题的关键.

5.A

【分析】延长AG交CD于M,如图1,可证△ADGgzXDGC可得NGCD二NDAM,再证

△ADMgZ\DFC可得DF=DM=AE,可证△ABE丝AADM,可得H是以AB为直径的圆上

一点，取AB中点O,连接OD,OH,根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度

的最小值.

【详解】解：延长AG交CD于M,如图I

VABCD是正方形

AAD=CD=AB,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZBDC

VAD=CD,ZADB=ZBDC,DG=DG

2026-2027学年

AAADG^ADGC

，NDAM=NDCF且AD=CD,ZADC=ZADC

AAADM^ACDF

AFD=DM且AE=DF

AAE=DMHAB=AD,ZADM=ZBAD=90°

.,.△ABE^AADM

AZDAM=ZABE

•・•ZDAM+ZBAM=90°

:.ZBAM+ZABE=90°,即ZAHB=90°

・••点H是以AB为直径的圆上一点.

如图2,取AB中点O,连接OD,OH

VAB=AD=2,O是AB中点，.\AO=1=OH,

在RSAOD中，OD=J心+AQ2=5

VDH>OD-OH,

ADH>V5-1,

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是

以AB为直径的圆上一点.

6.B

【分析】作C8关于。4的对称点C5,以4B中的。为圆心作半圆。，连C。分别交QA

及半圆。于P、F.将PC+PF转化为CF找到最小值.

【详解】解：如图：取点。关于直线QA的对称点C.以A3中点。为圆心，04为半径画

半圆.

连接0C交D4于点P，交半圆。于点E连接人E连接8尸并延长交D4于点E.

由以上作图可知，AFLEB于F.

PC+PF=PC'+EF=CF

由两点之间线段最短可知，此时PC+P/最小.

VCB'=4,OB'=6

・・・CO=次+62=2屈,

:.CF=2如-2,

:.PC+PF的最小值为2岳-2,

故选:B.

【点睛】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段

和最短.

7.小

【分析】连接AB,BC,CD,AD,BD.根据勾股定理可求出入从BC,CD,AD,8。的长

度，根据勾股定理逆定理和圆周角定理的推论可以确定以A,B,a7）中任意三个点为顶点

的三角形的外接圆是以6。为直径的圆，进而即可求出半径.

【详解】解：如下图所示，连接A8,BC,CD,AD,BD.

2026-2027学年

,,AB=\/12+32=A/10，BC=>/l2+12=V2»CD=^32-32=3>/2»AD=\I\2+32=V10♦

BD=V22+42=2x/5•

・・・阿+(亚)2=Q时,(闾2+(3⑶2=(2扃,

:.AB2+AD2=BD2.RC?+Cl)2=RD2.

AZBAD=90°,ZBCD=90°.

・••点A和点C都在以3。为直径的圆上.

・••以A,B,C,。中任意三个点为顶点的三角形的外接圆是以8。为直径的圆.

，半径为逐.

故答案为：\/5.

【点睛】本题考查求特殊三角形的外接圆的半径，勾股定理及其逆定理，圆周角定理的推论,

综合应用这些知识点是解题关键.

【分析】连接人C，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出入以根据扇形

面积公式进行求解即可.

【详解】解：如图，连接AC,

•・•从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，即N/1BC=9()。,

:•AC为直径，即AC'=2cm,。(扇形的半径相等)，

•・•在RtABC中，AB2+BC2=AC2=22,

：,AB=BC=y/2，

・•・阴影部分的面积是"(cm2).

3602

故答案为：.

2

【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面枳计算，熟记扇形的面枳公式是解题的关键.

9.2万"+2百##2石+2庖

【分析】连接B。，取8。中点M,连接ME,求得=点E在以M为圆心，以;OB

为半径的圆上，求得当A、M、石共线且点E在AM的延长线上时，4E最大，求解即可.

【详解】解：连接80,取B。中点连接ME,如下图：

VI3E±OD,M为BO中点

：,ME=-OB

2

・••点E在以M为圆心，以为半径的圆上

，当A、M、E共线且点E在AM的延长线上时，4E最大

延长80交AC于点，，如上图：

•・•△4/3C为。。的内接等边三角形

••・〃8垂直平分AC,AC=BC=\2

：.AH=CH=-AC=6

2

:・BH=6&,OB=-BH=4y/3

2026-2027学年

：・OM=g()B=2退,MH=46

•**AM=JAH、MH，=2V2T

:.AE的最大值为2历+26

故答案为：2亚+26

【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角

形外心的性质，解题的关健是理解题意，利用性质确定出点E的运动轨迹.

10.V5-1

【分析】根据得乙4G8=900是不会随着点的运动改变的，所以G点的轨迹是以A8

中点。为圆心，AO为半径的圆弧，因此当。、G、C在同一条直线上时，即可求出CG的

最小值.

【详解】解：如图，取AB得中点O,连接OC,

根据题意，G点的轨迹是以4/3中点。为圆心，A。为半径的圆弧，所OC和OG的长度是

一定的，因此当0、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，

•・•四边形A8CO是正方形，

・•・ZABC=90°,

•••正方形ABC。的边长为2,

，40=1,BC=2,

JOC=4OB2+BC2=45^

，。6的最小值为0。-06=逐一1，

故答案为：\[5.

【点睛】本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现题目中动点的轨迹是圆,

利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段的最小值.

11.2如-2

【分析】以AC为直径作圆O,连接BO，，BC,在点D移动的过程中，点G在以AC为直

径的圆上运动，当O'、G、B三点共线时BG的值最小，利用勾股定理求出B0',由BG=BO'-G

O'可得结果.

【详解】以AC为直径作圆0、连接BO，，BC,如下图所示，

JZAGC=90°,

・•・在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，

VAB是圆O的直径，

ZACB=90°,

在RIAABC中，AC=4,ZCAB=60°

，BC=ACtan60'=4>/3.

在RtABCO'中，CO'=GO'=yAC=2,

JBO=VCO2+BC2=商+(4厨=2而

VBG+GO'>BOr

，当O\G、B三点共线时BG的值最小，

最小值BG=BO'-G0=2而-2.

故答案为2万-2.

【点睛】本题考查圆中的线段最值问题，根据NAGC始终等于9()。作出G的运动轨迹,再

由三点共线得到最小值的情况是解决本题的关键.

12.(-3,3扬

【分析】根据圆内接四边形对角互补求出NOAB的度数，再根据直角三角形的性质即可求

出4B的长，即C点坐标.

2026-2027学年

【详解】

作CE_LOA,连接OC

•・・0C经过坐标原点，

，NAOB=90。，

・・・AB是。C的直径.

•・•四边形AOMB是圆内接四边形，NBMO=150。,

根据圆内接四切形的对角互补得到NQ4B=30。，

JZABO=60°,

•・•点A的坐标为（0,66）,・・・OA=6G，

.AR罕=¥><66=12

■■AB=53，

T

AR

（DC的半径AC=^=6；

・・・c在第二象限，

••・c点横坐标小于（），

设C点坐标为（x,y）,

由半径4c=OC=6,即

JCE2+EO2=y]CE2+（AO-EO）2,

则>Jx2+y2=y]x2+（6\/3-y）2=6,

解得，y=3^,工=-3或x=3（舍去）,

故圆心C的坐标为：（-3,36）.

【点睛】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质、两点间的距离公式，解题关键是

作适当的辅助线解题.

【分析】证A、E、G、“四点共圆，取EF的中点为0,以£尸为直径作圆O,如图1,连接

0G,OQ,根据三角形三边关系可知：GQ>0Q-0G,因为0G为定值，当0、。、G三点

共线，且0QJ_C。时，最小，GQ最小，如图2,根据勾股定理可得结论.

【详解】解:如图1,

ZGEB=ZGFA,ZGEB+ZAEG=\SO°f

:.ZAEG+ZGM=180°,

:.NA+NFGE=18()。，

•・•四边形ABC。是正方形，

・・・/m。=90。，

ZBAD=ZFGE=90Q,

取EF的中点为O,

：,OG=OE=OE=OA

・"、E、G、尸四点共圆,

以石尸为直径作圆0,如图I,连接0G,0Q,

'：GQ>OQ-OG,

**OG是定值，OG=gEF=g力?+4"—:,

即当O、。、G三点共线，且。QJLC7）时，0Q最小，GQ最小,

如图2,GQ最小，延长。。交A8于〃，则OH_LAE,

2026-2027学年

:.EH=AH,

*：OE=OF,

：.OH=^AF=2,

57

••・GQ=8・2--=-；

22

7

即线段GQ的最小值为

故答案为：=7.

【点睛】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查正方形的性质，圆周角定理,

三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆O,确定

PN最小值时PN的位置是关键.

14.2V13-3

【分析】首先证明N4PQ=90。，推出点。在以为直径的圆上运动，设圆心为。作点了

关于AB的对称点R,以R为圆心，人R为半径作。R,则点P关于人8的对称点L,在。R上，

连接CR,RL,ML.RL+ML+MN+NC>CR,MP=ML,求出CR,可得结论.

【详解】解:如图，

•・•四边形A8CO是正方形,

•••N8=N力人产=9()。，AD=AB,

在△48£和4D4尸中，

AB=DA

•NB=NDAF,

BE=AF

:•△ABE妾XOAF(SAS),

：,ZBAE=ZADF,

•••/84E+NO4P=90°,

・•・NAOP+N。心90。，

/.ZAPD=90°,

・••点。在以A。为直径的圆上运动，设圆心为7,作点7关于A8的对称点R,以R为圆心，

AR为半径作。R,则点夕关于44的对称点乙在。R上，连接CK,RL,ML.

•：CN=T,

・••点N在以C为圆心，半径为1的。C上运动，

在RtZkCQR中，CR=JDN+CD?=依+4?=2如,

RL+ML+MN+NQCR,MP=ML,

；.PM+MN之2至-2-1,

：,PM+MN^2屈・3,

・•・PM+MN的最小值为29-3.

【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是

学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题.

15.晒一邪

【分析】先根据4NO=90。确定CN最小时点N的位置，根据勾股定理计算AO,CQ佗长，

可得CN的值.

【详解】解：如图，点N在以A。的中点Q为圆心，A。为直径的圆上，连接CQ与圆。的

交点即为点M此时线段CN的值最小，

2026-2027学年

•，・A°=y]AB2+OB2=\/42+22=2逐，

：・QN=WAO=5

过Q作Q”〃4B，交OB于H,

：.QH=^AB=2tBH=gOB=l,

，CQ=yjQH2+CH2=拒+52=V29,

・・・CN=CQ_QN=a-旧,

则线段CN的最小值是炳-V5.

故答案为：V29-75.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的性质，解题关键

是能够熟练运用圆周角定理，确定点N的轨迹在以AO为直径的圆上.

16.（1）见详解；（2）见解析.

【分析】（1）在圆内，把三角尺的直角顶点放在圆上，作任意两个不重合的圆内接直角三角

形，根据直角所对的弦是圆的直径可知，两直角三角形斜边即为圆的直径，其两斜边的交点

。即为所求作的圆心；

（2）先用圆规作边AC的垂直平分线交AC与点。；再以。为圆心，QC为半径画圆交A8

边与点E;连接CE,则/A£C=90。，CE即为，48C的A8边上的高.

【详解】解：（1）作图如下：

作图依据：根据直角所对的弦是I员I的直径可知，两直角三角形的斜边即为圆的直径，其两斜

边的交点。即为所求作的圆心；

（2）作图如下：

作图依据：直径所对的圆周角是90°.

【点睛】本题主要考杳作组，利用直径所对的圆周角是直角和90。的圆周角所对的弦是直径

的知识巧妙作图，掌握解答的方法是关键.

17.（I）6./2;（II）4、5

【分析】（I）如图1,先利用圆周角定理得到6。为直径，即/3。=12,再证明AABO为等

腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出4仪

（II）如图2,连接作于，，先利用圆周角定理得到为直径，利用勾股

定理计算出3。=后，再证明ACQ/e为等腰直角三角形得到8C=巫8。=JT7,接着在

2

RtZiAB”中计算出AH=8H=逑，然后在RsBCH中计算出CH=挺，从而得到AC的

22

长.

【详解】解：（I）如图1,

2026-2027学年

•・・ND4B=90。，

・•.“力为直径，即80=12,

•AD=AB'

：.AD=AB,

・•・△AB。为等腰直角三角形,

:.AB=与BD=6&;

(II)如图2,连接B。，作BH_LAC于，,

VZDAB=90°,

・・・8。为直径，BD=752+32=V34,

・・・N8CO=90。，

〈AC平分ND4以

，N84C=NBAC=45。，

:・NCBD=NBDC=45。,

•••△CDB为等腰直角三角形，

t\BC=—BD=—x^i=4n,

22

在RsAB“中，AH=BH=—AB=—,

在RSBC“中，CH=

:・AC=AH+CH=迎+迎=4五.

图1图2

【点睛】此题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形