人教A版高中数学必修二必背知识点清单（含答案）

人教A版（2019）高中数学必修二必背知识点清单填空版

6.1平面向量的概念

知识点一向量与数量

（1）向量：叫做向量.

（2）数量：称为数量.

［注意］数量可以比较大小，而向量无法比较大小.

知识点二向量的表示

具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：、、,如

图所示.以A为起点，3为终点的有向线段记作，线段A3的长度也叫做

有向线段劝的长度，记作.

八（终点）

几何表示：用_______________________来表示向量，____________表示向量

表

的大小，_________表示向量的方向

不

字母表示：向量也可以用字母a,b,c,…表示（印刷用黑体a,b,c,书

法

写用力，：）

向量也的大小称为向量血的长度（或称模），记作

知识点三向量的有关概念

向量名称定义

零向量__________叫做零向量，记作0

单位向量__________，叫做单位向量

平行向量______________________叫做平行向量；向量〃与b平行，记作a//h,

（共线向量）规定：______与任意向量平行（零向量的方向是_____的）

相等向量_____________叫做相等向量；向量〃与力相等，记作_____

相反向量_____________叫做相反向量；向量〃与力相反，记作_____

［注意］（1）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.

（2）共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合.相等向量一定是共线

向量，但共线向量不一定是相等向量.

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(3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须

注意其方向的任意性.

6.2.1向量的加法运算

知识点一向量的加法

(1)向量加法的定义

__________________，叫做向量的加法.

(2)向量加法的运算法则

三角

己知非零向量Z3，在平面内取任意一点A,作魂=3,Bt=bf

向形法

则向量叫〉做与3的和，记作，即7+5=魂+就

量则

—

求

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则

和

口诀：___________________

的

/?______,

法

平行

则

四边

以同一点O为起点的两个已知向量1九以OA,OB为邻边作

形法

则口OACB,则_______________就是向量"与］的和.

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

对于零向量与任意向量"，规定2+6=

［注意］(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于

两个不共线的向量求和.

(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多

边形法则：A1A2+A2A3+A3A4+…+人11一肉1=人心］.特别地，当An和A|重合时,

A1A2+A2A3+A3A4+...+An_|A|=0.

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知识点二向量的三角不等式

____________<4+3<__________

当且仅当Z3中有一个是或Z3是方向的非零向量时左侧

等号成立.

当且仅当Z3中有一个是或Z3是方向的非零向量时右侧

等号成立.

知识点三向量加法的运算律

(1)交换律：.

(2)结合律：.

6.2.2向量的减法运算

知识点一相反向量

与向量。长度_______,方向_______的向量，叫做。的相反向量，记

定义作_______.

规定：零向量的相反向量仍是_______

—(―a)=_______,。+(—。)=(­。)+a=________

结论

如果凡3互为相反向量，那么。=-g,h=—atab=_____

知识点二向量的减法

向量〃加上1的______,叫做4与1的差，即4一1=〃+(—1).求两个

定义

向量差的运算叫做向量的减法

已知向量Z3,在平面内任取一点。，作温=3,ob=b,

作法

则成=苏-丽=7

-bf如图所示"

几何如果把两个向量的起点放在一起，则£—B可以表示为

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意义____________________________的向量

知识点三向量的三角不等式

___________<a-b<_________

当且仅当Z3中有一个是或Z3是方向的非零向量时左侧

等号成立.

当且仅当Z3中有一个是或Z石是方向的非零向量时右侧

等号成立.

6.2.3向量的数乘运算

知识点一向量的数乘

定义实数人与向量。的积是一个___________,记作______

长度M=______

当A>0时，Aa的方向与a的方向______

方向当AVO时，［。的方向与。的方向______

当2=0时，______

总结向量的加、减、数乘运算统称为向量的______

知识点二向量数乘的运算律

设入，〃为实数，那么

⑴______；

运算律

(2)(2+仙=______；

⑶暇+用=______

(―A)a=-3)=—-a)；

特别情况

4(a~b)=Aa—Xb

对于任意向量〃，b,以及任意实数九八,〃2,恒有

推广形式

如।a±f.nb)=______

知识点三向量共线定理

向量/跖第)与b共线的充要条件是：_________________________________

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6.2.4向量的数量积

知识点一向量的夹角

条件两个________向量"，b

X.

0aA

产生过程

0是平面上的任意一点，作为=3,OB=b,则____________=

。叫做向量Z与各的夹角

范围—

记法—

6=0a与g______

特殊情况0=TI）与B______

ZJ兀

a与,记作________

知识点二向量数量积的概念

己知条件两个非零向量「与了，它们的夹角为。

定义________________叫做向量々与B的数量积（或内积）

记法记作—，即鼠3=____

规定零向量与任一向量的数量积为_____

知识点三投影向量

⑴如图1,设1,Z是两个非零向量，牯=1，日）=3,我们考虑如下的变换:

过林的起点A和终点B,分别作⑦所在直线的歪线，垂足分别为4,Bi,得到

AT5I,我们称上述变换为向量。向向量B,大市|叫做向量。

在向量2上的.

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(2)如图2,我们可以在平面内任取一点0,作南=1,而=九过点M作直线

ON的垂线，垂足为M,则就是向量］在向量3上的投影向

量.

⑶设与1方向相同的单位向量为"，"与I的夹角为仇则而।与2,L。之间

的关系为丽।=.

知识点四向量数量积的性质

设B是非零向量，它们的夹角是〃，Z是与各方向相同的单位向量，则

⑴。-e=e

(2)a±b=.

(3)当〃与Z同向时，ab=

当。与B反向时，a%=[.

(4)4•a=___________

(5)11工I日向l.

知识点五向量数量积的运算律

对于向量5,2和实数人有

(1)(交换律).

(2)(筋)/==(结合律).

⑶(分配律).

［拓展］

⑴(Z±B)2=［2±2".g+0.

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(2)(ab)-(a—b)=a2—b2=\a\1—\b\2.

(3)(a+b)\c+d)=a-c+a-d-^b-c+b-d.

—222—————

⑷G+b+c\=；+1~+[+4Z?+ac+Z?c

6.3.1平面向量基本定理

知识点一平面向量基本定理

条件⑥是同一平面内的两个___________

结论对于这一平面内的任一向量工，有且只有一对实数入1,入2,使____

基底若不共线，我们把_____叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

注(1)基底的选取不唯一

(2)选定基底后，Q,Q唯一

(3)零向量______作为基底

平面向量基本定理的推广：平面内任意三个不共线的向量，任何

一个向量都可以用其它两个向量线性表示，并且表示唯一。

6.3.2平面向量的正交分解与坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

知识点一平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解

，叫做把向量作正交分解.

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与___________、____________方向

建系选底

相同的两个___________分别为；，J,取行，力作为基底

产生

过程对于平面内的任意一个向量Z由平面向量基本定理可知，一

线性表示

一对实数x,y，使得。=xi+yj

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定义坐标有序数对___________叫做向量的。坐标，记作。=（人y）

♦*

特殊向量的坐标1=,i=,0=

知识点二平面向量加、减运算的坐标表示

文字符号

两个向量和的坐标分别等于这两个若”=(xi,yi),b=(X2,⑼，则〃+

加法

向量相应坐标的和b=_____

两个向量差的坐标分别等于这两个若4=(x],yi),3=(X2,”)，则a—

减法

向量相应坐标的差b=______

一个向量的坐标等于表示此向量的

重要已知向量AS的起点A（xi,yi）,终点

:有向线段的终点的坐标减去起点的

结论

B（X2,户），则息=_____

坐标

知识点三平面向量数乘运算的坐标表示

文字符号

实数与向量的积的坐标等于用这个实数若a=(x,y),九£R,则X

数乘向量

乘原来向量的相应坐标a=______

知识点四平面向量共线的坐标表示

前提条件a=(xi,yi),3=(X2,y2),其中

结论向量［，#6）共线的充要条件是________

知识点五线段中点、三等分点的坐标公式

已知点Pl（Xl,yi）,P2（X2，y2）,若点P是线段P|P2的中点,则点P的坐标是；

若点P是线段P1P2上比Pl较近的三等分点，则点P的坐标是；若点P

是线段PlP2上距P2较近的三等分点，则点P的坐标是.

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6.3.5平面向量数量积的坐标表示

知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

—♦—•

已知a=(xi,yi),b=(X2,y2).

数量积两个向量的数量积等于它们，即13=

两个向量垂直a,b是非零向量，aA.b<=>____

知识点二三个重要公式

三

个

重

要

公

式

6.4.3余弦定理

知识点一余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于.

即a2=,b1=,c2=.

知识点二余弦定理的推论

cosA=,cosB=,cosC=.

知识点三解三角形

(1)一般地，三角形的_和它们

的叫做三角形的元素.

⑵叫做解三角形.

注：(1)余弦定理的特点

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①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立。

②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间

的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可以求第四个量。

(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

在△ABC中，C?=/+。C为直角；c?>々2+O。为钝角；

<=>C为锐角

知识点四余弦定理及其推论的应用

应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知

解三角形，另一类是已知解三角形

6.4.3正弦定理

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相

正弦定①文字语言：

等.

理的描

在AA8C中，若角｛、8及C所对边的边长分别为

②符号语言：.

逑

a,b及c,则有_________________________

在A4BC中，若角A、3及0所对边的边长分别为。，〃及。，其外接

正强:定

圆半径为R,

理的推

①3=±=」=2R

sinAsin8sinC

广及常

②〃sinB=6sinA；/?sinC=csinB；dsinC=csinA；

用变形③sinA:sinB:sinC=a:〃:c

④a_b_c_a+b+c_a+b_a+c_b+c

公式叱sinAsinBsinCsinA+sinfi+sinCsinA+sinSsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2RsinA,b=2Rsii】B,c=2RsinC（可实现边到角的转化）

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4。.Db.C

sinA=——sinB=——sinC=——

⑥2R,2R,2R（可实现角到边的转化）

正弦定(1)己知__________________________,解三角形；

理应用

解三角(2)已知___________________________,解三角形.

形

①S='底又高；

三角形

②__________________________;

常用面

③S=；(〃+Hc»(其中，。/，。是三角形ABC的各边长，，是三角形

积公式

人4C的内切圆半径)；

注：对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立。

(2)结构形式：分子为三边边长，分母为相应边，所对角的正弦的连等式。

(3)揭示规律：描述三角形中边与角的一种数量关系。

(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化。

7.1复数的概念

知识点一复数定义及表示方法

1.复数的定义

形如a+b\(a,的数叫做,其中i叫做,满

足.

2.复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=〃+bi(a,b£R),其中的。与b分别叫做复数z

的.

3.复数集的定义及表示

全体复数所构成的集合C={〃+为|〃，8WR}叫做,通常用大写字母C

表示.

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知识点二复数的分类

对于复数。+加5，R),当且仅当时，它是实数；当且仅当

时，它是实数0;

当时，它叫做虚数；当时，它叫做纯虚数.

可以通过下图表示：

(1)复数。+历(〃，b^R)-

(2)集合表示

注：两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以

比较大小：两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两

个复数除去都是实数外，没有大小关系。

知识点三复数相等的充要条件

在复数集C={a-\-bi\a,b£R}中任取两个数o+Z?i,。+加(〃，b,c,d£R),规

定：〃+从与c+di相等当且仅当.

7.1.2复数的几何意义

知识点一复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做,x轴叫做,y

轴叫做.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都

表示.

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知识点二复数的几何意义

(1)复数z=〃+历=^复平面内的点.

(2)复数z=〃+帅一对应》平面向量。1

知识点三复数的模

(1)定义：向量及的模叫做复数z=a+Z?i的或.

(2)记作或.

(3)\z\==(6?,b£R).

(4)模的几何意义：复数z的模就是复数z=a+Oi(a,〃£R)所对应的点Z(«力

到原点(0,0)的距离.

知识点四共辅复数

(1)定义：当两个复数的实部,虚部时，这两个复数叫做互

为,虚部不等于()的两个共甄复数也叫做.

(2)复数z的共挽复数用9表示，即如果z=a^b\(a,8£R),那么3

*

(3)性质：

①G)=Z②实数的共甄负数是它本身，即2=2<=>2£火

7.2.1复数加减法及其几何意义

知识点一复数的加法与减法

(1)复数的加、减运算法则

m+bi)+(c+di)=m，b,c,d《R).

(〃+/7i)-(6+/i)=(〃，b,r,，£R).

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(2)复数加法的运算律

对任意Zl,Z2,Z3£C,有

(1)Z]+Z2=；

(2)(Zl+z2)+z3=-

知识点二复数加、减法的几何意义

知识点三复平面内的两点间距离公式

若Zl,Z2是复平面内的两点Zi和Z2所对应的复数，且Zl=Xl+yii,Z2=X2+)，2i(Xl,

yi,X2,*WR),则点Z】,Z2之间的距离为|Z0|=|放2|=|z2-zi|=|(X2+”i)—3

+yii)|=|(X2—加)+3—)，1川=.

7.2.2复数的乘除运算

知识点一复数的乘法法则

设zi=q+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R)是任意两个复数,那么它们的积(〃+bi)(c

+di)=.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2

换成，并且把实部和虚部分别合并即可.

知识点二复数的乘法运算律

对于任意ZI,Z2,Z3£C,有

交换律：ZIZ2=；

结合律：(Z|Z2)Z3=；

分配律：ZI(Z2+Z3)=.

知识点三复数的除法法则

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复数除法的法则：丝2=____________m，b,c,JeR,且c+diWO）.

c+di

复数除法的实质：.

8.1.1棱柱、棱锥、棱台

L空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象

出来的空间图形，分为和两类。

2.多面体：一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体.

3.旋转体：一条（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所

形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做.

（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四

边形的公共边都互相,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（2）棱柱的表示：棱柱A3COE—A夕C7/E.

£。

（3）棱柱的结构特征：①底面互相_____且_______

②侧面都是_________

③侧棱_______且________

（4）棱柱的分类：①按棱柱底面边数分

类:__________

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②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱

（5）特殊的棱柱

正棱柱：底而是的

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱

注：常见的几种四棱柱之间的转化关系

正方体正四棱柱长方体

5.棱锥

（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个的三角

形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

（2）棱锥的表示：棱锥S-ABCO.

（3）棱锥的结构特征：①仅有一个底面是多边形

②侧面都是

③各侧面有且只有一个公共顶点

（4）棱锥的分类:①按照棱锥的底面边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥

特别地，三棱锥又叫四面体。

（5）特殊的棱铢

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正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥

正四面体：每条棱都相等的三棱锥

6.棱台

(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那

部分多面体叫做.

(2)棱台的表示：棱台ABCD-NB，CU.

(3)棱台的结构特征：①上底面和下底面是_____的相似的多边形；

②侧面都是

③侧棱延长后必须交于一点

(4)棱台的分类：

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱

台...

(5)特殊的棱台

正棱台：由正棱锥截得的棱台，上下底面都是正多边形，侧面都是全等的等

腰梯形的楼台.

7.棱柱、极锥、棱台关系图

8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

1.圆柱

(1)圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形

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成的面所围成的旋转体口中做圆柱.如图中的圆柱记作圆柱OO'.

（2）圆柱的结构特征:

①圆柱有无数条母线，它们且

②平行于底面的截而是与底面大小相同的圆.

③过轴的截面（轴截面）都是全等的.

④过任意两条母线的截面是矩形.

2.圆锥：以直角三角形的一条所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周

形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图中的圆桂记作圆锥50.

3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫

做.如图中的圆台记作圆台。0'.

4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的叫做球面,

球面所围成的旋转体叫做，简称球.如图中的球记作球0.

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5.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体.简单组合体的构成有两种基本

形式：一种是由简单几何体而成；一种是由简单几何体或挖去一

部分而成.

8.2立体图形的直观图

知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和），轴，两轴相交于点O,画直观图时，

把它们画成对应的F轴和y轴，两轴相交于点O',且使AxfO'y'=

（或），它们确定的平面表示水平面.

（2）已知图形中平行于x轴或），轴的线段，在直观图中分别画成平行于

的线段.

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持，平行于），轴

的线段，长度变为原来的.

口诀：“,,”

知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.

（2）画z，轴，z，轴过点0，，且与V轴的夹角为90。，并画出高线（与原图高线

相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图.

（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示.

知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；

②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；

③平行于心z轴的长度不变.

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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

1.棱柱的表面积

棱柱的表面积：S表=2S底+SM.

2.棱锥的表面积

棱锥的表面积：S衣=S间+S底；

3.棱台的表面积

棱台的表面积：S&=

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和.

知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积

L棱柱的体积

棱柱的底面积S,高为力，其体积丫极柱=.

2.棱锥的体积

棱锥的底面积为S,高为从其体积丫g=.

3.棱台的体积

棱台的上、下底面面积分别是9、S,高为/?,其体积

知识点三、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

上底缩小

1=>

V接柱=Sh--------V检台=■§■人（S'+VS，S+S'）-------*、飞阿尸曾*,

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积

1.圆柱、圆锥、圆台的表面积

底面积：S底=

圆柱侧面积：S恻=2万/7

表面积：S=

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底面积：S底=__________

圆锥侧面积：=__________

表面积：S=___________

上底面面积：S上底=_____________

0，2叱/、、、、、

富；下底面面积：S卜.底=________

圆台

口-12m

侧面积：s1M=_________

表面积：s=_________

2.圆柱、圆锥、圆台的体积

%柱=（一是底面半径，〃是rWj）,

%惟二（r是底面半径，人是同），

%台=［乃〃"2+，•，•+，）（r,厂分别是上、下底面半径，〃是高）.

3.球的表面积和体积

表面积：5=.（R是球的半径）

体积：V=.（R是球的半径）

4、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

知识点一平面的概念及表示

⑴概念：几何里所说的“平面''是从生活中的一些物体中的，是

的.

（2）平面的画法：①常用,即平行四边形表示平面.当平面水平放置时，

常把平行四边形的一边画成;当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边

画成.

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图I

②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通

常，这样可使画出的图形立体感更强一些.如图2.

(3)表示法：常用等来表示；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,

或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图1中的平面a,

也可以表示为平面ABC。、平面AC或者平面BQ.

知识点二点、线、面之间的关系

文字语言表达图形语言表达符号语言表达

点A在直线1上.41

A_______

点A在直线/外/

点A在平面a内47

•4

点A在平面a外/7

直线/在平面。内

直线/在平面。外

Z__/

平面a,£相交于/O-y

知识点三平面的基本性质

基本事实内容图形符号作序

过_________,有用来确定

基本事实1=存在唯一的平面

且只有一个平面ZS7一个平面

a使A,B,CGa

第22页共90页

如

用来证明

果____________，

基本事实2直线在平

那么这条直线在Z37=>/ca

面内

这个平面内

如果________,那用来证明

么它们有且只有空间的点

基本事实3

一条支C£=l,且尸日共线和线

共点

推论内容图形符号作用

经过一条直线和这条A切C=存在唯一的

2

推论1直线外一点，________平面a,使AGa,

平面BCua用来

存在唯一确定

经过两条_______，

推论2的平面a,使aua,一个

有且只有一个平面

bua平面

经过两条_________,a//Z?=存在唯一的平

推论3

有且只有一个平面面a,使。ua,bua

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

1.异面直线

①定义：把不同在任何一个的两条直线叫做异面直线;

②画法：异面直线的画法（通常用平面衬托）

2.空间中两条直线的位置关系:

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什干.在相交直线：在同一平面内，有且只有公共点;

共面直线4-----

■I平行直线：在同一平面内，公共点；

、异面直线：不同在任何一个平面内，公共点.

3.空间中直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系有且只有三种:

位置关系公共点符号语言图形语言

直线在平面内——

直线与平面相

直线

交

在平

直线与平面平a

面外

行

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.

4.空间中平面与平面的位置关系

位置关系两个平面平行两个平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)

符号表示—一

图形表ZF口

8.5.1直线与直线平行

知识点一基本事实4(平行线的传递性)

(1)文字语百：.

(2)符号语言：a//b>b//c=.

注：(1)在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线

(2)两个重要结沦:①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也

互相平行。

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知识点二空间等角定理

文字如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____

语言或________________

符号对于N3AC和/30(7,4。〃4，(7,48〃4夕=/84。=/94(7或284。

语言+N94(7=180°

/'iL______

/_/

图形A'B'C

(JJ

语言

图1图2

等角定理用来证明两个角相等或互补。

8.5.2直线与平面平行

直线与平面平行的判定及性质

定理条件结论图形语言符号语言简记

如果平面外

一条直线与线线平行，

该直线与此

判定此平面内的

平面平行则线面平

一条直线平

行行.

一条直线与

一个平面平

线面平行，

行，如果过该直线与交\=\

性质V___y

该直线的平线平行2'/则线线平

面与此平面

行.

相交

8.5.3平面与平面平行

知识点一平面与平面平行定义

平面与平面公共点

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知识点二平面与平面平行的判定定理

表示

定理'\图形文字符号

4U夕、

一个平面内的________

平面与平面bup

平行的判定^7与另一个平面平行，则_、印〃a

定理这两个平面平行a//a

口b//aJ

简记线面平行，则面面平行

作用证明两个平面________

注：平面与平面平行的判定方法

（1）平面与平面平行的定义;

（2）平面与平面平行的判定定理。

知识点三平面与平面平行的性质定理

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线—.

符号语言__________________=>〃//b.

图形语言

简记面面平行，则线面平行.

作用证明两条直线_______

注意：面面平行条件的应用

（1）两平面平行，分构造与之相交的第三个平面，交线平行；

（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

8.6.1直线与直线垂直

知识点一空间中两条直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系有三种:、和

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2.分类

（1）从有无公共点的角度来看，可分为两类

（有且仅有一个公共点：相交直线

直线［无公共点］靠髯

〔1异面直线

（2）从是否共面的角度来看，可分为两类

直线］f共面.直线〔平相行交直线

I不共面直线：异面直线

知识点二直线与直线垂直

如图，已知两条异面直线。，b,经过空间任一点。分别作直线bf//b,

我们把直线与勿所成的角叫做.

（1）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互

相.直线。与直线力垂直，记作.

（2）当两条直线〃，b相互平行时，我们规定它们所成的角为.

（3）空间两条直线所成角〃的取值范围是.

空间两条异面直线所成角e的取值范围是.

8.6.2直线与平面垂直

知识点一直线与平面垂直的定义及画法

1.定义：一般地，如果直线/与平面。内的，我们就说直线/与平

面。互相垂直，记作•直线/叫做平面。的,平面。叫做直线

/的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

2.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一

边垂直.如图所示.

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3•过一点垂直于已知平面的直线.过一点作垂直于已知平面的直线,

则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的，狗长

度叫做这个点到该平面的距离.

知识点二直线与平面垂直的判定定理

1.文字语言：如果一釜直线与一个平面内的，那么该直线与此平面

垂直.

2.符号语言：n/_La.

3.图形语言：如图所示.

知识点三直线与平面所成的角的定义

1.定义：,但,这条直线叫做这个平面的斜

线，叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面«

引，叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线

和，叫做这条直线和这个平面所成的角.

2.图形：如图所示.

4.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是：

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

直线与平面所成的角e的取值范围是.

知识点四直线与平面垂直的性质定理

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文字语言

符号语言'=>___

b-La

ab

图形语言

匚n7

①线面垂直=线线平行；

作用

②作平行线

知识点五线面距离、平行平面间的距离

1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离，

叫做这条直线到这个平面的距离.

2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距

离，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

【常用结论】

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

8.6.3平面与平面垂直

知识点一：二面角

(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形.

⑵相关概念：①这条直线叫做二面角的，

②两个半平面叫做二面角的.

(3)画法：