直线的交点坐标与距离公式-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版+解析）

直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相

1A2X+B2y+C2=0,

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

⑵两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线L：4x+8)，+G=0(A-+8M0)，直线右:4工+B2y+C2=0(超+厌#0).

方程组f/工厂的解

14x+4iy+G=no

一组无数组无解

[A2X-\-B2y-\-C2=0

直线人和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和/2的位置关系相交重合平行

考点剖析

【考点1求两直线的交点坐标】

【例1.1](2023.江苏•高二假期作业)直线％+2y-4=0与直线2X-y+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

【例1.2](2023•全国•高三对口高考)若直线±y=依一百与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,

则直线/的倾斜角的取值范围是()

A“抬)•(/)c•联)D.2

【变式LI】（2023・江苏•高二假期作业）若三条直线2%+ky+8=0,x-y-l=0和2x-y=0交于一点，

则A的值为（）

A.-2B.--C.3D.-

22

【变式1.2］（2023•上海浦东新•校考三模）已知三条直线。:工一2y+2=0,Z2:x-2=0,切+例二。将

平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【考点2经过两直线交点的直线方程】

【例2.1］（2023秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）过直线％+y-3=0^12%-

y+6=0的交点，且与直线2%+y-3=0垂直的直线方程是（）

A.4x+2y-9=0B.4x-2y+9=0

C.x+2y-9=0D.x-2y+9=0

【例2.2］（2023秋・福建福州•高二校考期末）过两直线％+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线x-3y-

1=。垂直的直线方程为（）

A.3%4-y4-5=0B.x—3y-5=0C.3x+y—5=0D.x—3y+5=0

【变式2.1］（2023春・湖北孝感・高二统考开学考试）经过两条直线2x—y+1=0和x+y+2=0的交点,

且与直线2x+3y=0平行的直线的方程为（）

A.2x4-3y—5=0B.2x4-3y+5=0

C.2x+3y+1=0D.2x-3y-1=0

【变式2.2］（2023秋・广东茂名•高二统考期末）如图，在△ABC中所在直线方程分别为4%-3y-13=

0和3x+4y-16=0,则的角平分线所在直线的方程为（）

A.x—7y+3=0B.7%+y—29=0C.x—y+3=0D.x+y-5=0

距离公式OI

基础知识

1.两点间的距离公式

平面内两点P.但小），尸2（小,%）间的距离公式为阳川=/（小一xM+（乃一切尸.

特别地，原点0到任意一点P（Ky）的距离为1。4二，？”.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离

是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

（2）公式：

已知一个定点尸（x。,必），一条直线为/:Ar+By+C=O,则定点P到直线）的距离为d=⑶。+的’。十口.

V+8

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

（2）公式

设有两条平行直线6：心•+如+G=0,l2-.Ax+By+C2=0,则它们之间的距离为冷尸

，力-+B~

4.中点坐标公式

公式：

设平面上两点凹），8（4,n），线段R?2的中点为〃（x。，M）,则《

%=吗^

考点剖析

【考点1两点间的距离公式的应用】

【例1.1]（2023•江苏•高二假期作业）已知点力（7,4）,8（4,8）,则A,B两点的距离为（）

A.25B.5

C.4D.x/7

【例1.2]（2023秋•高二课时练习）已知4（一1,2）,8（0,4）,点。在x轴上,且14cl=|BC],则点C的坐标

为（）

A.（-表0）B.（0,-H）C.（0,引D.管,0）

【变式1.1]（2023•江苏,高二假期作业）过点4（4,a）和点8（5,6）的直线与y=%+m平行，则|AB|的值为（）

A.6B.2C.V2D.不能确定

【变式1.2]（2023秋•高二课时练习）若点?1在％轴上，点B在y轴上,线段4B的中点M的坐标是（3,4）,则明

的长为（）

A.10B.5C.8D.6

【考点2点到直线的距离公式的应用】

【例2.1]（2023秋•高二课时练习）坐标原点。（0,0）到直线2%+丫-10=0的距离是（）

A.10B.2V5C.5或D.2

[ft2.2]（2023秋•高二课时练习）已知4（4,0）到直线4%-3、+。=0的距离等于3,则。的值为（）

A.-1B.-13或-19C.-1或-31D.-13

【变式2.1]（2023•全国•高三专题练习）已知实数Q>0,b<0,则粤塔的取值范围是（）

Va2+b2

A.[-2,-1）B.（-2,-1）

C.（-2.-1]D.[—2,—1]

【变式2.2]（2023春・河南焦作・高二统考开学考试）已知直线，:依+y—3k—4=0（k£R）,点力（4,1）和

8（6,15）到直线/的距离分别为di〃2且dz=2di，则直线/的方程为（）

A.x+y4-9=0B.2x+y-18=0

C.x—y+1=0或17x-y—47=0D.x+4y—6=0或3x+y—12=0

【考点3两条平行直线间的距离公式的应用】

【例3.1]（2023秋•广西河池•高二统考期末）己知直线幻工+股+2=0,b2x+4y+3=0相互平行，则

L之间的距离为（）

A.叵B.立C.这D.在

10552

【例3.2]（2023•安徽黄山•校考模拟预测）若直线2x—y—3=0与4%—2y+a=0之间的距离为代，则。

的值为（）

A.4B.V5-6C.4或-16D.8或一16

【变式3.1]（2023春・山东威海•高一开学考试）已知动点P在直线0：3x-4y+1=0上运动，动点Q在直线

，2：6x+my+4=0上运动，且。/7。，则|PQI的最小值为（）

.33厂1c1

A.—Bn.—C.—D.—

510510

【变式3.2]（2023•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为

x+2y+l=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+q=0,3x-4y+c2=0,则|c「C2l=（）

A.2V3B.2V5C.2D.4

【考点4与距离有关的最值问题】

【例4.1](2023秋・江西吉安•高二校考期末)已知P(cosa,sina),Q(cos/?,sin/?),则|PQ|的最大值为

A.V2B.2C.4D.2或

【例4.2](2023•江苏•高二假期作业)己知点M(l,2),点PQy)在直线2%+y-1=0上,则|MP|的最

小值是()

A.710B•言C.历D.3>/5

【变式4.1](2023春・重庆南岸•高二校考期中)已知宜线kQ、+y+l=0过定点P,则点P到直线％：y=

k(x+l)距离的最大值是()

A.1B.2C.V3D.V2

【变式4.2】(2023秋・贵州黔西•高二统考期末)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+1=0

上任意一点，则|PQ|的最小值为()

1.点关于点的对称

求点，关于点力(〃/)的对称点P'的问题，主要依据力是线段。产’的中点来求解.

设P(xojo),对称中心为N(a.b),则P关于4的对称点为P(2a-xo,2b-g).

2.直线关于点的对称

求直线/关于点力g力)对称的直线厂的步骤：

(1)由平行直线系设出直线/'的方程；

(2)在/上任取一点尸(x,y),求P关于力的对称点P'(2i—x,28一切；

(3)将户的坐标代入直线厂的方程，求出参数，得到"的方程.

3.两点关于某直线对称

设点力。。,外)关于直线/的对称点为4(x,y).

x+xo

2.

)y=y(>

IX=Xo

(2)直线/的斜率为0时，设直线切=/,则〈Vo_.

(3)直线/的斜率存在已不为0时，设点/(x。J。)关于直线，:4r+By+C=0的对称点为〃(x,y).

Ik.AB.吊=-1

则(x+x(,y+yo_L「_n，由此可求出8(x,y).

A-----------rF•-----------rC=U

(4)几种特殊位置的对称:

点对称轴对称点坐标

X轴(4-〃)

y轴(-〃,〃)

尸他。)

P(a,b)

尸-X(也-4)

x=m(ffi^O)(2m-a,b)

y=n(n^O)(4,2〃-〃)

4.直线关于直线的对称

直线关于直线对称有两种类型：

⑴若已知直线。与对称轴/相交于点尸，则交点尸必在乙关于/对称的直线％上，再求出乙上除点尸外

任意一个已知点n关于/对称的点尸2,那么经过交点尸及点尸2的直线就是L

(2)若已知直线4与对称轴/平行，则4关于/对称的直线，2到直线/的距离和A到直线/的距离相等，由

平行直线系和对称点即可求出6关于/对称的直线，2.

考点剖析

【考点1直线关于点的对称问题】

【例1.1](2023•高二课时练习)x+y=l关于原点对称的直线是()

A.x—y—1=0B.x—y+1=0C.x+y4-1=0D.x4-y—1=0

【例1.2](2023•全国•高三专题练习)直线1:轨+3＞一2=0关于点4(1,1)对称的直线方程为()

A.4x+3y-4=0B.4x+3y-12=0

C.4x—3y—4=0D.4x-3y—12=0

【变式1.1](2022.高二课时练习)点P(l,2)在直线I上，直线，[与E关于点(0,1)对称，则一定在直线。上的点

为()

A.(1,1)B.C.(-1,0)D.(1,0)

【变式1.2](2022.高二课时练习)若直线Gy4)与直线〃关于点(2,1)对称，则直线〃过定点

A.(0,4)B.(0,2)

C.(-2,4)D.(4,-2)

【考点2点关于直线的对称问题】

【例2.1](2023秋•四川遂宁•高二统考期末)已知点A与点。(2,1)关于直线%+y+2=0对称,则点A的坐

标为()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(-3,-4)D.(-4,-3)

【例2.2](2022秋•高二校考课时练习)已知点A(a+2,b+2)和3关于直线4x+3)=l1对称，

则。，b的值为().

A.«=-1,b=2B.a=4,b=-2

C.。=2,b=4D.a=4,b=2

【变式2.1](2023春・湖南长沙•高三校考阶段练习)已知4(一3,0),R(3,0).C(0,3),一束光线从点尸(一1,0)出

发经AC反射后，再经8C上点。反射，落到点E（1,O）上.则点。的坐标为（）

A.G?）B.（|,|）C.（1,2）D.（2,1）

【变式2.2］（2023春•四川资阳•高三开学考试）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望

烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马''问题，即将军在观望烽火之后从山

脚下某处出发，先到河边饮马后再I可军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在

区域为/+y243,若将军从点4（3,1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到达军

营所在区域即回到军营，则“将军次马''的最短总路程为（）

A.Vl0-x^3B.\/10C.2V5-V3D.2遍

【考点3直线关于直线的对称问题】

【例3.1］（2023•全国•高三专题练习）设直线1i：x-2y-2=0与％关于直线上2%-y-4=0对称，则直线

%的方程是（）

A.llx+2y-22=0B.llx+y4-22=0

C.5x+y-11=0D.10x+y-22=0

【例3.2］（2023春・湖北武汉•高二校考阶段练习）如果直线、=QX+2与直线y=3x-b关于直线丫=无对

称，那么（）

A.a=^-,b=6B.Q=；,b=—6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6

•5

【变式3.1］（2023.全国•高三专题练习）己知直线=ax+3与%关于直线V=x对称，G与％：丫4-2y-1=

0垂直，则Q=（）

A.--B.-C.-2D.2

22

【变式3.2］（2023♦全国•高三专题练习）若两条平行直线k%-2丫+机=0（771>0）与。：2%4-ny-6=0

之间的距离是2遥，则直线。关于直线。对称的直线方程为（）

A.X—2y-13=0B.x—2y+2=Q

C.x—2y+4=0D.x—2y-6=0

J果后作业。|

1.（2023秋・北京顺义・高二统考期末）若直线工一ay=0与直线2%+y-1=0的交点为（l,yo）,则实数〃

的值为（）

A.-1B.C.1D.2

2.（2023•全国•高三专题练习）若点P（3,l）到直线，:3x+4y+2=0的距离为（）

A.2B.3C.-D.4

2

3.（2023春・江苏镇江•高二统考期中）已知4（5,-1）,C（2,3）,则△ABC是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

4.（2023秋•广东•高二统考期末）经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且垂直于直线3%-

2y+4=0的直线的方程是（）

A.2x4-3y-13=0B.2%+3y—12=0

C.2x—3y=0D.2x—3y-5=0

5.（2023春・河南南阳•高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线kx+3-l）y+2=0数+2y+1=

0间的距离为平，则实数a=（）

4

A.2B.-2或1C.-1D.-1或2

6.（2022.高二单元测试）直线2%+3y-6=0关于点（1,1）对•称的直线方程为（）

A.3%—2y+2=0B.2x+3y+7=0

C.3x—2y-12=0D.2x+3y—4=0

7.（2023秋・陕西咸阳•高三校考阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点4（1,2）出发，被直线y=x

反射后到达点8（3,6）,则这束光线从A到B所经过的距离为（）

A.2>/5B.V26C.4D.5

8.（2022・高二课时练习）唐代诗人李顺的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交

河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先

到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A（l,1），

若将军从山脚下的点8（4,4）处出发，河岸线所在直线/的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程

是（）

A.3瓜B.V34C.V5D.2瓜

9.（2023秋•高二课时练习）使三条直线4%+y-4=0,mx+y=0,2x-3my-4=。不能围成三角形的

实数〃?的值最多有几个（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

10.（2022.高二单元测试）若动点A,8分别在直线工+），-7=0和8x+y—5=0上移动，则A8的中

点M到原点的距离的最小值为（）

A.3x/2B.2V2C.36D.4企

11.(2023・江苏•高二假期作业)分别判断卜•列直线I］与，2是否相交.如果相交，求出交点的坐标.

(1)^:%—y=0,l2：3x+3y—10=0；

：

(2)h：3%-y+4=0,Z26x-2y-1=0；

(3)/j3x+4y—5=0,l2'6x+8y-10=0.

12.（2023•上海•高二专题练习）已知直线3无+4y-2=0与直线2%+y+2=0交于点P.

（1）直线，i经过点P,且平行于直线3%-4y+5=0,求直线。的方程；

（2）电线％经过点尸，且与两坐标轴围成一个等腰直知二角形，求直线%的方程.

（注：结果都写成直线方程的一般式）

13.（2023•全国•高三专题练习）已知直线匕：mx4-y—?n—2=0,l2：3%4-4y—n=0.

（1）求直线。过的定点P，并求出直线0的方程，使得定点P到直线。的距离为*

（2）过点尸引直线，分别交汇,y轴正半轴于A、8两点，求使得△力。8面积最小时，直线1的方程.

14.（2023・全国•高三专题练习）已知直线上2x-3y+l=0,点火一1,一2）.求:

⑴点力关于直线/的对称点W的坐标；

（2）直线771：3%-2y-6=0关于直线/对称的直线M的方程；

（3）直线，关于点4（-1,-2）对称的直线，'的方程.

15.(2023•上海•高二专题练习)・束光从光源C(l,2)射出，经％轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x

[3,5]上N处.

(1)若M(3,0),8=7,求光从C出发，到达点N时所走过的路程；

(2)若匕=8,求反射光的斜率的取值范围；

(3)若匕之6,求光从C出发，到达点N时所走过的最短路程.

第09讲直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

⑵两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线/1：4x+81)，+G=0(4'+设#0),直线匚义工+昆歹+G=0(星+�).

方程组'4x+8y+G=0的解

一组无数组无解

力2'+82），+G=0

直线人和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和/2的位置关系相交重合平行

考点剖析

【考点1求两直线的交点坐标】

【例1.1](2023.江苏•高二假期作业)直线”+2y—4=0与直线2”—y+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

【解题思路】解方程组:；即可得解.

【解答过程】解方程组楞；；二读年，

即有线工+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0,2).

故选：c.

［M1.2］（2023・全国•高三对口高考）若直线Ly=依一遍与直线2x+3y—6=0的交点位于笫一象限，

则直线/的倾斜角的取值范围是（）

A・朋）B.保）C,联）D.［羽

【解题思路】求出两直线的交点坐标，根据交点位于第一象限列式求出/C的范围，可得倾斜角的取值范围.

【解答过程】当上二一9时，两直线平行，无交点，不合题意，故忆工一右

_3c+6

由产7^，得“蒸k，则两直线的交点为（鬻，嘿

（2X+3V—6=0_-2V3+6〃\2+3用2+3k/

）-2・3〃

'2^>

依题意得，募6k0，解得上>苧，所以直线/的倾斜角的取值范围是6力）.

<2+3k>°

故选：B.

【变式1.1］（2023・江苏•富二假期作业）若三条直线2%+ky+8=0,%-y-1=0和2%-y=0交于一点，

则A的值为（）

A.-2B.-AC.3D.1

【解题思路】先求出直线为一y—l=0和2%—y=0的交点，再把交点坐标代入2x+ky+8=0即得解.

【解答过程】解：联立得二二；.

把｛；=二;代入&+ky+8=0得k=3.

故选：C.

【变式1.2］（2023•上海浦东新•校考三模）已知三条直线，i：%-2y+2=0,l2:x-2=0,，3：x+W=0将

平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【解题思路】考虑三条直线交于一点或b与。或，2平行时，满足条件，求出答案.

【解答过程】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

联立，i：x-2y+2=0与，2：%-2=0,解得3~1,

则将=2代入’3：%+ky=0中，2k+2=0,解得上=-1,

当4：%+ky=0与—2y+2=0平行时，满足要求，此时k=—2,

当，3：%」ky=0与，2：工一2=0平行时，满足要求，此时〃=0,

综上，满足条件的k的值共有3个.

故选：C.

【考点2经过两直线交点的直线方程】

【例2.1]（2023秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）过直线％+y-3=0和2%-

y+6=0的交点，且与直线2x+y—3=0垂直的直线方程是（）

A.4%4-2y—9=0B.4x—2y+9=0

C.x4-2y-9=0D.x-2y+9=0

【解题思路】联立心求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.

【解答过程】联立解得x=—l,y=4,

设与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是％-2y+m=0

将刀=-1,y=4代入方程，解得?n=9

故所求方程为x-2y+9=0

故选：D.

【例2.2]（2023秋・福建福州•高二校考期末）过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线x-3y-

1=0垂直的直线方程为（）

A.3x4-y+5=0B.x—3y-5=0C.3x+y-5=0D.x—3y4-5=0

【解题思路】求出两直线的交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【解答过程】由「（"言。，解得｛；：；，得直线％+y—3=0,2%7=0的交点为点（1,2）.

因为所求直线与直线x-3y-1=0垂直，故所求直线的斜率k=-3,

因此，所求直线的方程为、-2=-3（%-1）,BP3x+y-5=0.

故选:C.

【变式2.1]（2023春・湖北孝感・高二统考开学考试）经过两条直线2x—y+l=0和x+y+2=0的交点，

且与直线2x+3y=0平行的直线的方程为（）

A.2%+3y—5=0B.2x+3y+5=0

C.2x+3y+1=0D.2x-3y-1=0

【解题思路】先求出交点（-1,-1）,再根据平行关系求方程即可.

【解答过程】解：联立岑;;3二二，解得忧二；，即交点为（-1），

因为直线"+3y=0的斜率为一|,

所以，所求直线的方程为y+l=-：Q+l）,即2x+3y+5=0.

故选:B.

【变式2.2】（2023秋・广东茂名•高二统考期末）如图，在△48C中,4。,48所在直线方程分别为4x-3y-13=

0和3%+4y-16=0,则乙4的角平分线所在直线的方程为（）

A.x-7y+3=0B.7x+y—29=0C.x-y+3=0D.x+y-5=0

【解题思路】求出A点的坐标，根据题意可得4814C,设44的角平分线所在直线的倾斜角为%直线4C的

倾斜角为“，从而可得tana=tan（0-45。），再根据直线的点斜式方程即可得解.

【解答过程】解：联立朦；北二仁）解得｛；；：，即4（4，1），

因为4x3-3X4=0,所以＜8_1力。，即48/lC=90。，

设乙4的角平分线所在直线的倾斜角为a,直线AC的倾斜角为0,则tan0=j

1-11

则tana=tan（£—45°）=J=

1+57

即，4的角平分线所在直线的斜率为3

所以4力的角平分线所在直线的方程为y-1=-4）,即x-7y+3=0.

故选：A.

距离公式o

基础知识

1.两点间的距离公式

平面内两点B(M,珀，尸2(必,为)间的距离公式为出川=平必一M)?+(为一兄2

特别地，原点O到任意一点P(xj)的距离为1。4=，？不亍.

2.点到直线的距离公式

(1)定义：

点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离

是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

I4+By+C|

已知一个定点产(X。J。)，一条直线为/:Av+8.y+C=O,则定点尸到直线/的距离为d-。

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线+加+G=0,/2：*+跌+6=0,则它们之间的距离为公尸「0”.

7A-+8*

4.中点坐标公式

公式：

汨+必

Xo=2

设平面上两点P1设，珀，尸2a2,力，线段尸IB的中点为M(XO，M)，则

乂十^2

y<)=2

考点剖析

【考点1两点间的距离公式的应用】

【例1.1](2023・江苏•高二假期作业)已知点4(7,4),8(4,8),则人，B两点的距离为()

A.25B.5

C.4D.V7

【解题思路】由两点间的距离公式求解即可.

【解答过程】由两点间的距离公式得|48|=J(4一7尸+(8-4产=5.

故选:B.

【例1.2](2023秋•高二课时练习)已知力(-1,2),8(0,4),点。在工轴上，R\AC\=\BC\,则点C的坐标

为()

A-B.(0,-y)C.(o,y)D.(y.o)

【解题思路】设C(a,O),因为|4C|=|BC|,由两点间的距离公式求解即可.

【解答过程】因为点C在x轴上,设点C(a,O),则|AC|=|BC|,

所以J(a+1尸+22=Va2+42,

化简可得：a=g,所以C(£,0),

故选:D.

【变式1.1](2023•江苏•高二假期作业)过点力(4,。)和点B(5,b)的直线与y=x+m平行,则|AB|的值为()

A.6B.2C.V2D.不能确定

【解题思路】根据两直线平行求得a,匕的关系式，利用两点间的距离公式求得|48|.

【解答过程】由撅意知心B=1，即1=1，则b—a=L

故|.48|=，(5—4。+(b—a)2=Vl+1—V2.

故选：C.

【变式1.2](2023秋•高二课时练习)若点A在%轴上，点B在y轴上,线段力8的中点M的坐标是(3,4),则|斐8|

的长为()

A.10B.5C.8D.6

【解题思路】设出4B的坐标，用时点坐标求得48的坐标，由此求得历阴.

【解答过程】线段48的中点为M,

设H(a,0),8(0,b)=M所以§==4=Q=6,b=8,

所以4(6,0),8(0,8)=\AB\=V62+82=10.

故选：A.

【考点2点到直线的距离公式的应用】

[ft2.1](2023秋•高二课时练习)坐标原点。(0,0)到直线2%+丫-10=0的距离是()

A.10B.2VSC.5>/2D.2

【解题思路】由距离公式求解即可.

【解答过程】坐标原点0(0,0)到直线2%+y—10=0的距离d=僮北=2后

故选：B.

【例2.2］（2023秋•高二课时练习）已知力（4,0）到直线4%-3、+。=0的距离等于3,则。的值为（）

A.-1B.-13或-19C.-1或一31D.-13

【解题思路】由距离公式，解方程得出。的值.

【解答过程】由距离公式可得，好祭誓二3,即|a+16|=15,解得。=-1或Q=-31.

V44+3/

故选：C.

【变式2/】（2。23・全国•高三专题练习）已知实数Q0/V。，则部的取值范围是（）

A.[-2,-1)B.(-2,-1)

C.(-2.-1]D.[-2,-1]

【解题思路】根据题意设直线心ax+by=0,点力（1,-6），利用点到直线的距离公式得点A到直线/的距

离为d=卷，由直线帕勺斜率不存在得d>l,由°41,得dm。=2,化简即可求解.

ax十by—0恒过原点，点小（1,—6）,

那么点力（1,—V5）到宜.线1的距隅为：d=^====,

因为。>。/<。，所以人焦，且直线1的斜率y一"。,

当直线’的斜率不存在时,日=磊=1,所以d>L

当0411时，dmax=\OA\=7T+3=2,

所以1vdM2,即1<^^工2,

因为繇=一焉,所以一2W寿〈一1・

故选:A.

【变式2.2］（2023春・河南焦作・高二统考开学考试）已知直线2:々%+丫-3%-4=0（々€用，点力（4,1）和

8（6,15）到直线/的距离分别为心,的且=2d］，则直线/的方程为（）

A.x4-y+9=0B.2%+y—18=0

C.x—y+1=0或17%—y—47=0D.%+4y—6=0或33+y—12=0

【解题思路】根据点到直线距离公式进行求解即可.

【解答过程】・・•点4（4,1）到直线/的距离为由=端若辿=耨

点8（6,15）到直线I的距离为弘=世+能＜I=器空，而d2=2%,

VK'+lVk'+l

.•・肉2=3可得/+18%+17=0,解得k=一1或k=一17,

|3/c+ll|2

故直线,的方程为％-y+l=0或17%-y-47=0.

故选:C.

【考点3两条平行直线间的距离公式的应用】

【例3.1］（2023秋•广西河池•高二统考期末）已知直线匕:％+的+2=0,%：2%+4y+3=0相互平行，则

匕、%之间的距离为《）

A.更B.立C.延D.在

10552

【解题思路】根据两直线平行得到关于。的方程，求出Q的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.

【解答过程】因为直线kx+ay+2=0,Z2：2x+4y+3=0相互平行，

所以2Q—4=0,解得Q=2,

所以，1：%+2y+2=0,即2x+4y+4=0,

所以5%之间的距离△=悬=寻

故选:A.

【例3.2］（2023•安徽黄山•校考模拟预测）若直线2x—y—3=0与4%—2y+a=0之间的距离为遥，则。

的值为（）

A.4B.V5-6C.4或-16D.8或一16

【解题思路】将直线2%一、-3=0化为4%一2丫-6二0,再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即

可.

【解答过程】将直线2x-y-3=0化为4%-2y-6=0,

则直线2%-y-3=0与直线4%-2y+a=0之间的距离d=与署=笑b

vlo+42V5

根据题意可得：冢=通，即|。+6|=10,解得a=4或a=-16,

所以a的值为a=4或a=-16.

故选：c.

【变式3.1](2023春・山东威海・高二开学考试)已知动点P在直线3%-4y+1=0上运动，动点Q在直线

，2：6x+my+4=0上运动,且]"以则IPQI的最小值为()

A.-B.-C.-D.-

510510

【解题思路】根据两平线上任意两点距离的最小值即为平行线间的距离求解.

【解答过程】因为，"〃2，

所以;二三=，解得m=-8,

3-41

化简得，2：3x-4y+2=0

设，i，，2间的距离为小则d=-7=^==p

由平行线的性质知|PQ|的最小值为：，

故选：C.

【变式3.2](2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为

x+2y+l=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+q=0,3x-4y+c2=0,则|q-^2l=()

A.2V3B.2V5C.2D.4

【解题思路】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.

【解答过程】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，

直线4+2y+l=0和x+2y+3=0之间的距离为：-^==1=手，

3x-4y+C]=0和3x-4丫+。2=0之间的距离为：=叵言!,

解得|Ci-C2l=2V5,

故选：B.

【考点4与距离有关的最值问题】

【例4.1](2023秋•江西吉安•高二校考期末)已知P(cosa,sina),Q(cos/?,sin/?),则|PQ|的最大值为

A.V2B.2C.4D.2V2

【解题思路】由两点的距离公式表示|PQ|,再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.

【解答过程】VP(cosa,sina),Q(cos/?,sin/?),

\PQ\—y/(cosa—cos/?)2+(sincr—sin/7)2

=/cos2a+cos2/?-2cosacos/?+sin2a+sin2/?-2sinasin/?

=7(cos2a+sin2a)4-(cos2/?+sin2/?)—2(cosacos/?+sinasin/?)

=—2cos(a—/?).

Vcos(a-/7)e[-1,1]，，|PQ|e[0,2],

故选B.

【例I4.2](2023・江苏•高二假期作业)已知点M(l,2)，点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，则|MP|的最

小值是()

A./10B.—C.V6D.3V5

5

【解题思路】确定点M(l,2)到直线2%+y-1=0的距离,即为|MP|的最小值,利用点到直线的距离公式

即可求得答案.

【解答过程】由题意可知点M(l,2)到直线2x+y-l=0的距离，即为|MP|的最小值，

所以|MP|的最小值为=手，

故选：B.

【变式4.1](2023春・重庆南岸•高二校考期中)已知直线，*ax+y+1=0过定点P,则点P到直线，2：y=

k(x+l)距离的最大值是()

A.1B.2C.V3D.V2

【解题思路】本题首先求出P(0,-1),然后发现直线5)，二伙发+1)恒过定点、(一1,0),由图可得点P