浙江省杭州市萧山区城北片区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

浙江省杭州市萧山区城北片区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列事件中的随机事件是（）

A.三角形中任意两边之和大于第三边

B.正数大于负数

C.从一副扑克牌里任意取一张是红桃3

D.一个有理数的绝对值为负数

【答案】C

【解析】【解答】解：A、三角形中任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；

B、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；

C、从一副扑克牌里任意取一张是红桃3,是随机事件，符合题意；

D、一个有理数的绝对值为负数，是不可能事件，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然［

不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；

随机事件：随机事件是在随机试验口，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件

叫做随机事件.

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.正三角形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

【答案】C

【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误.

故答案为：C.

【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把

一个图形绕着某一点旋转180。后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.

3.对亍y=-2（x-3/+2的图象下列叙述正确的是（）

A.顶点作标为（—3,2）B.对称轴为：直线％=-3

C.当时，y随x增大而减小D.函数的最小值是2

【答案】C

【解析】【解答】解：•••、=-2（%-3）2+2,

第1页

・•・抛物线开口向下，顶点坐标为（3,2）,对称轴为x=3,当x=3时，函数有最大值2,

:、A、B、D不正确；

•・•对称轴为：x=3,且开口向下,

・••当x工3时y随x的增大而减小。

故答案为：C.

【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性.

4.在世ZiABC中，乙4cB=90°,AC=6,AB=10,以C为圆心，8G为半径作0C,则点力与OC的位置关

系是（）

A.点A在OC内B.点力在OC上C.点A在0c外D.无法确定

【答案】A

【解析】【解答】解:•••Rt△ABC中,Z-ACB=90。,4c=6,AB=10,

:.BC=yjAB2-AC2=8,

AC=6z.BC,

・••点A在G）C内，

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论.

5.一人不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放

回），则两个球颜色不同的概率为（）

A13B2C3D12

A.255525

【答案】C

【解析】【解答】解：列表如下:

红打红白白

红（红，红）（红，红）（红，白）（红，白）

红（红，红）（红，红）（红，白）（红,白）

红（红，红）（红，红）（红，白）（红，白）

白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）

白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）

共有20种等可能的结果，其中两个球颜色不同的结果有12种，

・•・两个球颜色不同的概率为|§=|,

故答案为：C.

【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案.

第2页

6.如图，A.8、C、。在0。上，8c是。。的直径.若40=36°,则28cA的度数是（）

A.72°B.54°C.45°D.36°

【答案】B

【解析】【解答】解：:Be是。0的直径，.4=36。,

乙BAC=90°,28=八）=36°,

乙BCA=90°-36°=54°.

故答案为：B.

【分析】先根据圆周角定理D的逆定理求出484c与的度数，再由直角三角形的两锐角互余即可得出结

论.

7.二次函数,=。/+6；+。9。0）的图象如图所示，对称轴为直线工=-1,下列结论错误的是（）

A.b2>4acB.a+b+c>0C.a-b-hc<0D.abc>0

【答案】D

【解析】【解答】解：•・•抛物线与x轴有2个交点，

:.b2-4ac>0,

b2>4ac,选项A正确.

=1时，y>0,

Q+b+c>0,选项B正确.

由图象可得x=-l时y<0,

：.a—b+c<0,选项C正确.

•・•抛物线开口向上，

•••a>0,

第3页

•・,抛物线对称轴为直线X=-A=-l

b=2a>0,

•・•抛物线与y轴交点在x轴下方，

:.c<0,

:.abc<0,选项D错误.

故答案为：D.

【分析】由抛物线与x轴交点个数可判断可判断A选项，由图象可得x=l时y>0,可判断B选项.由图象可

得x=-l时y<0可判断C选项.由抛物线开口方向，对称轴位置，触物线与y轴交点位置可判断选项D.

8.如图，将半径为6的。。沿48折叠，使得折痕48垂直半径OC,当脑恰好经过C。的三等分点0（靠近端

点。）时，折痕4B长为（）

A.8V2B.4V15C.4V2D.475

【答案】A

【解析】【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB,

•••CE^AB,

・・・E为AB的中点，

•••0C=6,CD=2OD,

•••CD=4,OD=2,OB=6,

iii

DE(20C-CD)=y(6x2-4)=4x8=4,

乙乙乙

•••OE=DE-OD=4—2=2,

在Rt&OEB中,

•••OE2+BE2=OB2,

BE=y/OB2-OE2=y/62-22=4x/2,

AB=2BE=8近.

第4页

故答案为：A.

【分析】延KCO交AB于E点，连接OB,构造直角二角形，然后再根据勾股定理求出AB的长.

9.已知直线y=mx+九和抛物线）/=。/+8％+。的函数图象如图所示，且抛物线与％轴交于点（一1,0）、

（2,0）,抛物线与直线交点的横坐标为1和一卷那么不等式如+九VQ/+bx+cV。的解集是（）

y=mx+ny=a2x+bx+c

A.1<%<2X<-2或%>1

Q

C.—^<%<2-1<x<2

【答案】A

【解析】【解答】解：:由函数图象可知，当-1<X<2时，Qx2+bx+c<0；当X>1时，mx+n<ax2+bx+

c,：.不等式mx+n<ax2+bx+c<0的解集是l<x<2.

故答案为：A.

【分析】根据图象得到抛物线和直线在x轴下方且二次函数的图象高于一次函数的图象对应自变量x的取值

范围解答即可.

10.如图，在给定的0。中，弦4B的弦心距。〃=6,CD=16,点E在弦CD上,且。E=E。=5,当△瓦48

面积的为最大时，DH的长为（）

A.4713B.2V53C.65/6D.2V55

【答案】B

【解析】【解答】解：・・・OE=5,

••・点E在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，过点E作EN_LAB于点N,过点。作OD_CD于G,连

接OA,OC,如图1所示：

第5页

VOH.AB,OH=6,EN<OH+OE,

.\EN<11,

・・・当点E,O,H三点在同一条直线上时，△EAB的面积为最大，此时EN=11,

VOG_CD,CD=16,

1

:.DG=CG=TZCD=8,

乙

VOE=ED=5,

・・・GE=DG-DE=8-5=3,在RgOGE中，由勾股定理得：OG二

ylOE2-GE2=J52-32=4,

在COG中，由勾股定理得：OC二

JcG2+OG2=旧+3=4底

...OA=OC=4V5,

VOH.AB,

AAH=BH,即AB=2AH,

在RSOAH中，由勾股定理得：AH=

^OA2-OH2=J(4扃_6?=2Vil,

AB=2AH=4V11,

:.S&EAS=•EN=2x4VTTx11=22VTT,

・•・△EAB面积的最大值为22Vl1;

•・•当4EAB面积的最大时，点E,0,H三点在同一条直线上时，

，过点D作DMXEH交HE的延长线于点M,如图2所示：

图2

第6页

则.乙OGE=4。ME=90°,

在△OGE和△OMC中，

NOGE=乙DME=90°

乙OEG=LDEM

OE=ED

OGE=△DME（AAS）,

•••EG=EM=3,OG=DM=4,

MH=EH+EM=11+3=14,

在RtAOMH中，由勾股定理得：DH=VMH2+DM2=7142+42=2753

故答案为：B.

【分析】根据OE=5得点E在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，过点E作EN_LAB于点N,过点O

作OD_LCD于G,连接OA,OC,则ENWOH+OE,即ENW11,因此当点E,O,H三点在同一条直线上

时，AEAB的面积为最大，此时EN=U,根据垂径定理得DG=CG=8,则GE=3,进而由勾股定理分别

求出（OG=4,OC=4V5»AH=2“1,则48=24"=4"1,由此可求出aEAB面积的最大值；根据当

△EAB面积的最大时，点E,O,H三点在同一条直线上，过点D作DM_LEH交HE的延长线于点M,证

明^OGE和^DME全等得EG=EM=3,OG=DM=4,则MH=14,然后再由勾股定理即可求出DH的长.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.如果一个正多边形的一个内角为135。，则这个正多边形为正边形.

【答案】八

【解析】【解答】解：•・•一个正多边形的一个内角为135°,

・•・每一个外角都是180°-135°=45°,

・••这个多边形的边数为婴=8,

故答案为：八.

【分析】根据内角求出多边形的外角，然后根据外角和定理解答即可.

12.在不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中摇

匀,通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4,由此估计盒子中白球的个数约为.

【答案】10

【解析】【解答】解：由题意知，估计盒子中白球的个数约为25x0.4=10（个），

故答案为：10.

【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可.

13.如图所示图中，A8为直径，弦CO148,垂足为H,若HB=2,HD=4,则4H=.

第7页

A

【答案】8

【解析】【解答】解：取AB的中点O,连接OD,

设OD=r,则0H=r-2,

在△。0,中，OH2+DH2=0D2,即(r-2)24-42=r2,

解得r=5,

/.AH=AB-BH=10-2=8.

故答案为：8.

【分析】取AB的中点O,连接OD,设OD=r,则OH=r-2,再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结

论.

14.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期坡广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模

型.图②是模型驱动部分的示意图，其中OM,0N的半径分别是1CM和10cm,当OM顺时针转动3周时，

ON上的点P随之旋转71。，则几=.

图①图②

【答案】108

【解析】【解答】解：由题意可得啸黑=2〃xlx3,

loU

解得n=IO8,

故答案为：108.

【分析】根据弧长公式计算即可.

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15.当一时，二次函数y=-2。+3)2+5恰好有最大直3,则。=.

【答案】-5

【解析】【解答】解：；y=-+3)2+5,

・•・该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是((-3,5).

・•・当x<-3时，，y随x的增大而增大，

・••当x=a时，二次函数y=-4(%+37+5恰好有最大值3,

把尸3代入函数解析式得到3=-卜%+3)2+5,

解得勺=-5,%2=-1-

：•a=-5.

故答案是：-5.

【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标((-3,5)；然后由抛物线的增减性进行解答.

16.如图，以G(O,1)为圆心，半径为2的圆与工轴交于4、8两点，与y轴交于C,。两点，点E为。G上一动

点，6714£于尸，当点E在OG的运动过程中，线段FG的长度的最小值为.

【答案】V3-1

【解析】【解答】解：作GM1AC于M,连接AG.

.\OA=OB,

在RQAGO中，AG=2,OG=1,

AG=2OG,OA=>1AG2-OG2=y/22-l2=V3,

第9页

/-GAO=30"B=240=273,

AZAGO=60°,

VGC=GA,

AZGCA=ZGAC,

•；ZAGO二NGCA+NGAC,

・・・ZGCA=ZGAC=30°,

:.AC=20A=26,MG=*G=1,

ZAFC=90°,

・••点F在以AC为宜径的。M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-GM=V5-

1.

故答案为：V3-1.

【分析】作GMJ_AC于M,连接AG.因为NAFC=90。，推出点F在以AC为直径的。M上布出当点F在

MG的延长线上时，FG的长最小，最小值二FM-GM,想办法求出FM、GM即可解决问题.

三、解答题(共8题，共分)

17.已知抛物线y=-/+巾T+九经过点4(1,0),8(0,-6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标.

【答案】(1)解：把点A(l,0),B(0,-6)代入y=—/+m%+九得：

{T+m+r°，，解得尸="

所以抛物线的解析式解析式为y=-/+7%-6

(2)解：由(1)知，该抛物线的解析式为：y=-x2+7x-6,

/7\2工25

7=一引+才

••・抛物线的对称轴是直线％=夕页点坐标是(|竽)

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

⑵由⑴抛物线的解析式，然后将其转化为顶点式方程，最后求抛物线的对称轴和顶点坐标.

18.如图，0。中，弦48与C。相交于点E,AB=CD,连接A。，BC.

(1)求证：和=糜;

第10页

(2)连结求证△40C三ZiCB力

【答案】（1）证明：

••.AB=CD,

即AD+AC=BC+ACf

AA

AD=BC

•••Ab=SC,

AD=BC,

在△4OC和中，

(AD=BC

\AC=CA,

[DC=BA

ADC=△CBA(SSS)

【解析】【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系由.AB=CD得到通=前，从而得到AD=BC;

(2)先由丽=元得至I」AD=BC,然后根据“SSS”证明两三角形全等即可.

19.四张卡片上分别标有1,2,3,4,它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任

意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片.

(1)请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；

(2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试

分析这个游戏是否公平？请说明理由.

【答案】(1)解：列表如下：

1234

1—345

23—56

345—7

4567

所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和人于等于5的有8种，则抽取的两张卡片数字和

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大于等于5的概率是得另;

(2)解：列表如下:

1234

1—(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)—(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)

所有等可能的情况数有12种，其中两张卡片上的数字都为奇数有2种，取出的两张卡片上的数字为一奇一

偶有10种，

105

胜的

是

乙--

则甲胜的概率是/=3-2=6

1261

1」5

••・这个游戏不公平.

【解析】【分析】(1)通过列表法表示出所有可能的情况，可得所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两

张卡片数字和大于等于5的有8种，进而求得抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；

(2)利用列表法求得取出的两张卡片上的数字都为奇数和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶两种情况的

概率，可得甲获胜的概率小于乙获胜的概率，故可判定这个游戏不公平.

20.如图，已知4B是O0直径，且=8.00上有两点、且0CIIBD,交4D于点E,连结BC,Z-CBD=30°.

(1)求ZC04的度数;

(2)求图中弧80与弦8。围成的阴影部分的面积(结果保留冗).

【答案】(1)解：VOC/7BD,

.\ZOCB=ZCBD=30°,

VOCOB,

.\ZOCB=ZOBC=30o,

・•・ZCOA=ZOCB+ZOBC=60°

(2)解：连接OD,

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・•・ZB0D=6()°,

VOB=OD,

•••△BOD是等边三角形,

6071x421V38L

S阴影=S扇形B_OD-SABOD=-3gQ------x4x-^-x4=27T-4V3

【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到NOCB=NCBD=3()。，根据等腰三角形的性质得到

ZOCB=ZOBC=30°,即可求得NCOA=60°；

(2)先得到△BOD是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

21.某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利涧，以不低于进价进行销售，结果发现，每

月销售量y与销售单价X之间的关系可以近似地看作一次函数：y=-5x+150,物价部门规定这种笔记本每

本的销售单价不得高于18元.

(1)当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；

(2)该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，

并写出自变量的取值范围；

(3)当销存单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？

【答案】⑴解:当y=70时，・5x+l50=70,解得：x=16,

.*.(16-10)x70=420元.

答：获得的利润为420元

(2)解：由题意可得，w=(x-10)y=(x-10)(-5x+150)=-5x2+200x-1500,

•・•物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元.

・•・10<x<28,

即每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式为w=-5x2+200%-1500(10<%<18)

(3)解：；w=-5x2+200%-1500=-5(x-20)2+500,

当x=20时，w取得最大值，此时w=500,

答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元

【解析】【分析】(1)把x=7()代入求出x的值，然后根据单利润x销售量计算即可.

(2)根据题意和每月销售量y与俏售单价x之间的关系为y=-5x+15O,可以写出每月获得的利涧w元与销售单

价x之间的函数关系式；

第13页

(3)根据Q)中的函数关系式，然后将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求得销售单价定为多少元

时，每月可获得最大利涧，最大利涧为多少元.

22.已知。。经过四边形力BCD的8,。两个顶点，并与四条边分别交于点E,F，G,H,且即=•.

图1图2

(1)如图1所示，连结B0,若B0是。。直径，求证：4A=乙匚

(2)如图2所示，若乙4=%,Z.C=y,弧E/的度数为m,请写出无，y,m之间的数量关系，并说明理

由.

【答案】(1)证明：连接DF、DG

•・・BD是GO的直径,

••・乙DFB=乙DGB=90°,

•:EF=GH,

Z.EDF=乙HDG,

•••乙DFB=乙EDF+Z71,乙DGB=乙HDG+ZC,

•••Z.A=Z.C

(2)解：结论：x^y+m=180°.

理由：如图②中，连接DF,BH.

②

•••乔二的，

1

:.Z.ADF=Z.HBG=-^m,

第14页

•••^AFD+乙DFB=180°,4。/8+乙DHB=180°,

^LAFD二乙DHB,

v+^ADF+Z.AFD=180°,AAFD=2DHB=zf+乙HBG,

/m+“+=180。，••x+y+m=180°

乙乙

【解析】【分析】(1)连接DF,DG,根据直径所对的圆周角是直角得到"/咕=4GB=90。,根据同弧或等弧

所对的圆周角光等得到4EOF=/"DG,根据三角形的外角证明即可.

(2)根据圆周角定理得到4力。F=乙HBG=4科根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义可得/肝。=

乙DHB,,然后根据三角形的内角和定理解答即可.

23.已知关于％的二次函数y=-x2+2mx+n.

(1)若函数在%=1时取到最大值4,求二次函数的表达式.

(2)若m-14xWm+k(k>0)时，函数的最大值为p,最小值为q,且p-q=3k,求k的值.

【答案】(1)解：案函数在x=l时取到最大值4,

二顶点为(1,4),

・•・二次函数的表达式为y=-(％-1尸+4

(2)解：..•二次函数y=-x2+2mx4-n(m,n为常数)，

・•・抛物线开口向下，对称轴为直线％=-驾=771

一乙

把x=ni代入y--x24-2mx4-n,得y=-m2+2m2+n=m2+n,

；・抛物线的顶点坐标为((m，山2+兀)，

当m-l<x<m+k(k>0)^f,函数的最大值为p=/+九，

若0<k〈l,则x=m-l时函数有最小值，且函数最小值，q=-(ra-l)24-2m(m-1)4-n=m2+n-1,

p-q=巾2+/一(m24-n-1)=1=3/C,

解得k=J,

若kNl,则x=m+k时函数有最小值，且函数最小值q--(m+k)24-2m(m+k)+n=m2-k2+n,

/.p-(/=?n24-n—(m2-k2ri)=k2=3k,N

解得k=0(舍去)或k=3,

综上所述，k=^k=3

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得；

⑵确定抛物线的对称轴为直线x=m.开口向下，最大值为徵2十九，再分两种情况当(o<k<i时，当k*l时，

求出k的值.

24.如图，PA,P8是。。的两条弦且PA>P8,点C是弧A8的中点，点E沿着弦4P从点A运动到点P.

第15页

图1图2图3

(1)如图I,当4E=BP时，连结C4,CE,CB,CP,求证：ACAE三2CBP；

(2)如图2,当CEJ.4P时，求证：AE=PE+PB；

(3)如图3,当点E运动到点P时，连结PC和4B,如果4B,王好过圆心。且48=2遥，PCVL求此

时AE的长.

【答案】(1)证明：VPA,PB是。O的两条弦旦PA>PB,点C是弧AB的中点,

二AC=Bi,

AC=BC.

NC4E,NCRP是6所对的圆周角,

：•Z.CAE=Z-CBP.

在△CAE^△CBP'V,

AE=BP

Z-CAE=乙CBPj