北师大版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系（导学案）

第二章一元二次方程

2.3一元二次方程的根与系数的关系

【学习目标】

1.探索一元二次方程的根与系数的关系.

2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

学习重点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决词题.

学习难点：探索一元二次方程的根与系数的关系

【复习导入】

1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？

想一想：方程的根与系数a,b,c之间还有其他关系吗？

【合作探究】

探究点1：一元二次方程根与系数的关系

由前面的学习我们知道，如果ar+bx+c=a[x-xi)(.r-xi)(aWO,xpX2是实数),

那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个实数根，x=xi，x=X2。

反过来，如果xi，X2是一元二次方程ar7+bx+c=0的两个实数根,

那么ax1+bx+c=a(x-x)(x-xi)一定成立吗？

合作探究

(I)2x?_3x+1=0的两根为xi=X2=1,那么2x2-3x+1和2(x-1/2)(x-1)相

等吗？换几个一元二次方程再试一试。

试一试：下列几个一元二次方程是否有，述结论.

①方程x2-5x+6=0；②方程3x?-7x+2=0.

2

⑵你认为ax+bx+c=a(.x-xiXx-x2)是否一定成立？与同伴进行交流。

思考・交流

如果一元二次方程加+法+c=O有两个实数根乃，也，那么这两个实数根与该

方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。

思考1:观察求根公式尸/玉它有什么特点？

因为X1=,X2=.

所以即+X2=X}*X2=

归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系

如果ar2+Z?x+c=0（a/））的两个根为x\.X2f那么为+为=-2,^x,=—.

a'a

（前提条件是4ac20）

【典例精析】

恒利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之枳.

⑴f+7x+6=0：

（2）2r-3x-2=0；

瓯已知关于x的方程5f+云-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.

瓯不解方程，求方程2?+3x—1=0的两根的平方和、倒数和.

常见的求值式子如下：

111

1.--1---=

X々

2.x：+x；=

3.五+二二

x2X]

4.(/+1)(电+1)二

5.|芯-x21=

练一练

l.lSxi，X2为方程W—4x+l=0的两个根，则：

(1)X]+七=，(2)xtx2=，

2

⑶X：4-X,=,(4)(x(-工)2=.

2.已知Xi,X2是方程/一1一2026=0的两个实数根，则代数式V-2026.V1+V的

值是()

A.4053B.4052C.2026D.1

当堂反馈

1.设下列方程的两个根均为a,B，不解方程，直接写出两根的和与积.

(lW+4x—1=0；

a+6=；a-p=.

(2)2r+4A+l=0；

a+p=；a-p=.

(3)6f—x=2i+3.

a+£=;a§=.

2.设x”必是方程2d+4x—3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:

(%+%

(2谣+君.

3」高频易错］已知关于x的方程f+(2k+l)x+F—攵+1=0有两个实数根.

(1)求左的取值范围;

(2)若该方程有两个实数杈汨，刈，且但+1)8+1)=11，求左的值.

参考答案

【合作探究】

探究点1:一元二次方程根与系数的关系

合作探究

(1)相等。

2(x--)(x-i)=2(x2--x-x+-)=2(x2--x+-)=2x2-3x+I

22222

试一试：①求根：Xi=2,xi=3.

因式分解：(x-2)(x-3)=x2-5x+6,与原多项式相等。

②求根：X1=x2=2.

因式分解：3(x-1)(x-2)=3x2-7x+2,与原多项式;相等。

(2)如果汨，也是一元二次方程O?+A+C=0的两个实数根，那么

ax1+bx+c=a(x-xi)(x-应).

思考•交流事实上，因为加+bx+c=a(x-Ki)(X-X2)，

而-xi)(x-X2)=ax2-a(xi+x2)x+axi•X2,

所以b=-a(xi+X2),c=axiX2

【典例精析】

(I)解：这里a=1,b=7,c=6.

A=b2-4ac=72-4X1X6=49-24=25>0.

所以方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是X|,X2，那么Xi+x2=-7,X1X2=6.

⑵解：这里a=2,b=-3,c=-2.

A=b2-4ac=(T)2-4X2X(f)=9+16=25>0,

所以方程有两个实数根。

设方程的两个实数根是xi，x2,那么

3

XI+X2=-,X|X2=-1.

例2解：设方程的两个根分别是X],X2,其中X1=2.所以汨12=2X2="即X2二.2

5,5

由于即+*=2+g|=-1.得k=-7.答：方程的另一个根是-泊一7.

例3解：根据根与系数的关系可知：%+占二.|,工内:-3.

7♦+8)2=#+2.1内+E，・•・M+名=(苦+冬)2.2中2=融-2?9g岑

-L+—=X|+x2=S-9配=3

x,x2x,x2嶷2・耨2，

练一练1.(1)4(2)1(3)M(4)12

2.A

当堂反馈

1.(1)~4；-1.

(2)-2；

⑶4-;

2.解：根据根与系数的关系，得Xi+l2=-2,X[X2=—

Zlx•I>_勺+肛—―2_4

(2解：/+4=(汨+七)2—2i的=(-2)2—2'(—5=7.

3.(1)解：・・•方程有两个实数根,

•••△=