第十章 三角形的有关证明 综合检测【鲁教54】七年级数学下册

第十章三角形的有关证明综合检测

（满分100分，限时60分钟）

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（2023山东济南章丘期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（）

A.24B.V3,AV5C.49D.513

2.（2023山东荷泽牡丹月考）下列命题中，逆命题是真命题的是（）

A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17

B.直角三角形的三条边的比是3：4：5

C.全等三角形的面积相等

D.若x=l,贝ijx?=l

3.如图，点B,F,C,E在同一直线上，AC=DF,Z1=Z2,如果根据“ASA”判定aABC会ZXDEF,

那么可以补充的条件是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.BF=CED.ZB=ZE

4.用反证法证明"ZSABC中至少有2个角是锐角”时，假设正确的是（）

A.假设4ABC中没有锐角B.假设4ABC中最多有3个角是锐角

C.假设aABC中最多有2个角是锐角D.假设4ABC中最多有1个角是锐角

5.（2023山西吕梁期中）如图，平面直角坐标系中，^OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在

第一象限.若OA=AB=5,OB=8,则点A的坐标是（）

尸/I

0B%

A.(8,5)B.(4,5)C.(4,3)D.(3,4)

6.(2022山东聊城期中)△ABC中，AB=20,AC=13,高AD=12,则aABC的面积为()

A.66B.126C.54或44D.126或66

7.如图，在AABC中，AB=AC,尺规作图：（1）分别以B,C为圆心，BC长为半径作弧，两

弧交于点D；（2）作射线AD交BC于O,连接BD,CD,则下列结论中错误的是（）

A.ZBAD=ZCADB.ABCD是等边三角形

C.AD垂直平分BCD.S四边形ABDC=ADBC

8.（2023浙江宁波期末）如图，在AABC中，ZACB=90c,AC=6,BC=8,点D在边AB上，

AD=AC,AE±CD,垂足为F,与BC交于点E,则BE的长是（）

K

CEH

A3B.5C.yD.6

二、填空题（每小题4分，共24分）

9.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的

“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.直角三角形的

斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCD的面积为.

0A

第9题图第10题图

10.（2023山东青岛即墨期末）如图，在4ABC中，ZB=60°,BC=18,点D在边AB上，CA=CD,

BD-7,则AD的长是________.

11.（2023湖北随州中考）如图,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点，

若BD是NABC的平分线，则AD=.

第11题图第12题图

12.（2023上海杨浦期末汝I图，在aABC中，BO、CO分别平分NABC和NACB,过点O作

DE〃BC,分别交边AB、AC于点D和点E,如果aABC的周长等于14,Z\ADE的周长等

于9,那么BC=.

13.（2022重庆沙坪坝校级期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，

ZBAC=90°,AB=AC,D是BC边上的一点，过点B作BE_LAD于E,过点C作CF_LAD

于匕若BE=3,CF=1.X,贝ljEF=.

14.如图，在等边aABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE〃AC,过点E作EF_LDE,

交CB的延长线于点F.若BD=5,则EF』.

三、解答题（共52分）

15.（2023山东济南章丘期末）（10分）如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标

识，点A、D、C、F在同一条直线上，且AF=DC,BC=EF,BC//EF.

⑴求证：AB〃DE；

（2）若NA=20。，ZAFE=102°,求NE的度数.

16.（10分）在AABC中，ZBAC=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂

直平分线交BC于N,交AC于F,连接AM、AN.

⑴求/MAN的度数；

⑵如果AB=AC,求证：BM=MN=NC.

17.（10分）如图,AB_L直线1于B,C是直线1上一动点，AB=6cm,AD=24cm,BC+CD=34

cm,则当C离B多远时，4ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？

18.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,AD是中线，过点C作AD的平行线交BA的延长线

于点E.

（1）求证：4ACE为等腰三角形；

⑵延长CA至点F,使AF=AC,连接BF,求证：BF1BC.

19.（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点,

以DE为边作等边三角形DEF,连接CF.

如图①，若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD.

如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,

并说明理由.

图①图②

第十章三角形的有关证明综合检测

答案全解全析

l.DV22+32^42,(V3)2+(V4)7(V5)2,42+6^92,52+12F32,・••选项D中数据能作为直角三

角形的三边K,故选D.

2.BA项，逆命题为“若等腰三角形的周长为17,则其两边长是3和7”,是假命题：B项，

逆命题为“若三角形三条边的比是3：4：5,则该三角形是直角三角形"，是真命题；C项，逆

命题为“面积相等的三角形是全等三角形"，是假命题；D项，逆命题为“若x2=l,则x=l”，

是假命题.故选B.

3.B可以补充的条件是NA=ND,

(Z.A=乙D,

在AABC和aDEF中，4C=。凡

U2=zl,

•••△ABCgZ\DEF(ASA).故选B.

4.D“至少有2个”的反面是，最多有1个”，故选D.

5.C如图，过点A作AD_LOB于点D,

0DBX

V0A=AB=5,0B=8,A0D=k)B=4.

2

在RtAOAD中，由勾股定理得AD=V。口一0)=7宁一4?=3.故点A的坐标是(4,3).故选

C.

6.D分两种情况：当AABC为锐角三角形时，如图1,・・・AD，BC,

.*.ZADB=ZADC=90°,

VAB=20,AD=12,ABD=V/lj92-AD2=V202-122=16,

VAC=13,AD=12,,\CD=yJAC2-AD2=V132-122=5,

・・・BC=BD+CD=16+5=21,

/.△ABC的面积=^<21x12=126；

图1图2

当aABC为钝角三角形时，如图2,同理可得BD=16,CD=5,BC=BD-CD=16-5=11,

.,.△ABC的面积三乂11x12=66.

综上所述，AABC的面积为126或66.故选D.

7.D根据作图方法可得BC=BD=CD,

「•△BCD是等边三角形，故B结论正确；

・・・BD=CD,・••点D在BC的垂直平分线上，

VAB=AC,/.点A在BC的垂直平分线上，

・・・AD垂直平分BC,故C结论正确；

易知0为BC的中点，・・・A0是aBAC的中线，

VAB=AC,AZBAD=ZCAD,故A结论正确；

四边形ABDC的面积=SaBCD+SAABc4BCD(>4BC・A0EBCAD,故D结论错误，故选D.

8R连接DE,如图所示，

K

CEB

在Rt-BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

，AB=AMC2+BC2=10,

VAD=AC=6,AF±CD,ADF=CF,

ACE=DE,BD=AB-AD=4,

AC=AD,

在AACE和4ADE中，CE=OE,

AE=AEy

.,.△ACE^AADE(SSS),

・・・ZADE=ZACE=90°,ZBDE=90°,

设CE=DE=x,则BE=8-x,

在RtABDE中，由勾股定理得DE2+BD2=BE2,

即X?+42=(8-X)2,解得X=3,

ACE=3,・・・BE=8-3=5.故选B.

9.答案49

解析如图.

根据勾股定理，得AF=VEF2-AF2=032—122=5.所以AB=12-5=7.所以小正方形ABCD的

面积为7x7=49.

10.答案4

解析如图，过点C作CE1AD,垂足为E,

.•.ZCEB=90°,

VZB=60°,

.*.ZBCE=90°-ZB=30°,

VBC=18,「.BE;BC=9,

2

VBD=7,ADE=BE-BD=2,

VCA=CD,CE1AD,AED=EA,

・・・AD=2DE=4,故答案为4.

II.答案5

解析如图，过点D作DE_LAB于点E,

VZC=90°,・・・CD_LBC,

1,BD是NABC的平分线，CD±BC,DE±AB,

・・・CD=DE,

pn_Dn

rn/ri，

(CD=ED,

.,.RtABCD^RtABED(HL),，BC=BE=6,

在RtZ^ABC中，AB=xMf2+Bf2=10,

/.AE=AB-BE=10-6=4,

设CD=DE=x,贝ijAD=AC-CD=8-x,

在RtZ^ADE中，AE?+DE』AD2,

42+x2=(8-x)2,解得x=3,

・・.AD=8-x=5.故答案为5.

12.答案5

解析:BO平分NABC,CO平分NACB,

/.ZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB,

VDE/7BC,AZBOD=ZOBC,ZCOE=ZOCB,

.•.ZABO=ZBOD,ZACO=ZCOE,

・・・BD=OD,CE=OE,

VAADE的周长为9,・・.AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9,

VAABC的周长是14,，AB+AC+BC=14,

ABC=14-9=5,故答案为5.

13.答案1.2

解析VBE1AD,CF1AD,ZBAC=ZBEA=ZAFC=90°,

AZABE+ZBAE=90°,ZBAE+ZCAF=90°,AZABE=ZCAF.

Z-AEB=Z.CFA,

ffiAABE-^ACAF中，乙ABE=zC/lF,.*.AABE^ACAF(AAS),

AB=AC,

AAF=BE=3,AE=CF=1.8,

・・・EF=AF-AE=12

14.答案75

解析V△ABC是等边三角形，.♦・ZABC=ZC=60°,

・・・DE〃AC,I.ZEDB=ZC=60°,

VEF1DE,.*.ZDEF=90°,

/.ZF=90°-ZEDB=30°,DF=2DE=10,

VZABC=60°,ZEDB=60°,

AAEDB是等边三角形..・.ED=BD=5,

AEF2=DF2-DE2=75.

15.解析(1)证明：VAF=CD,・・・AF+FC=CD+FC,即AC=DF,

AC=DF,

・・・BC〃EF,ZACB=ZDFE,在ZSABC和ADEF中，乙ACB=^DFE,

BC=EF,

•••△ABC且△DEF(SAS),.\ZA=ZD,・・.AB〃DE.

⑵由⑴可知ND=NA=20。，•・・ZAFE=102°,

.*.ZEFD=180°-102°=78°,

.*.ZE=180o-20°-78o=82°.

16.解析(I)：ZBAC=120°,Z.ZB+ZC=60°,

・・・ME垂直平分AB,NF垂直平分AC,

ABM=AM,CN=AN,ZB=ZBAM,ZC=ZCAN,

・•・NCAN+NBAM=NC+NB=60。，

.*.ZMAN=120°-60°=60°.

(2)证明：由(1)知BM=AM,CN=AN,ZMAB=ZB,ZCAN=ZC,

VZBAC=120°,AB=AC,AZB=ZC=30°,

.\ZAMN=ZANM=60°,AAAMN是等边三角形，

・•・AM=AN=MN,・•.BM=MN=NC.

17.解析设BC=xcm时，AACD是以DC为斜边的直角三角形，

BC+CD=34cm,CD=(34-x)cm,

在ABC中，AC2=AB2+BC2=36+X2,

在RQACD中，AC2=CD2-AD2=(34-X)2-576,

.\36+x2=(34-x)2-576,解得x=8.

・••当C离B8cm时，4ACD是以DC为斜边的直角三角形.

18.证明(1)・；AB=AC,AD是中线，.\ZBAD=ZCAD,

VCE^AD,AZBAD=ZE,ZCAD=ZACE,

AZACE=ZE,，AC=AE,即Z\ACE为等月要三角形.

(2)VAB=AC,AF=AC,ZABC=ZACB,AB=AF,ZABF=ZF,

•・•ZF+ZABF+ZABC+ZACB=180°,

/.2(NABF+NABC)=180°,

.\ZFBC