勾股定理的应用 同步提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

5.2.2勾股定理的应用

刷基础

知识点利用勾股定理解决实际问题

I如图，在离水面点A8m的岸上点C处,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17m,此人以1m

/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（假设绳子是直的）（）

A.9mB.8mC.7mD.6m

2如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，则它至少要飞行（）

A.7米B.8米C.9米D.IO米

3如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为L"马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照"马走日'的

规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为

4《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：

“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算

出索长有几?”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示.已知秋千静止时，踏板离地1尺（AC=1尺），将它推送2

步（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，此人身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直.若小明同学根据题意计算

出秋千的绳索长为14.5尺（OA=OB=14.5尺）,则文中“二步”是尺

5如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B

处，测得灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为

（第5题图）

6如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对

的端点，A点有一只蚂蚊，想至I」B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_______dm.

7如图,一架25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距皆为7米.

（I）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

⑶如果梯子与地面的夹角小于30。，梯子就会滑倒，那么在第⑵问中，梯子会滑倒吗?请说明理由.

刷易错

易一点忽略实际情况导致错解

8工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段钢条恰好与两根长分别为60cm,100cm的钢条一起焊接成一个

直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）

A.80cmB.20V34cw

C.80cm或20V34cmD.60cm

刷提升

I如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的R点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m,

则所需彩带最短是（）

A.8mB.5mC.20mD.lOm

2如图，门上钉子P处挂着一个'欢迎光临'’的长方形挂牌ABCD测得AB=10cm,AD=24cm.如图⑴，当挂牌水平

悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP=DP=20cm.将挂绳长度缩短4cm后重新挂到P处，此时不小心把挂牌弄

斜了，如图（2）,发现AC与地面平行，且点P,D,C三点在同一直线上，则点B的高度下降了)

p

p

3为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器，监控器的最大旋转角度为

90。.如图⑴所示，监控布设线I距离河流南岸300m,村落位于河流南侧，邻接河流的长度为500（）m，任意两个监

控器布设点之间的距离相等.小张设计了如图⑵所示的方案，AB为监控器M监测范围，BC为监控器M2监测范

围，4必,8”2口。%，此时8%=。%=375m，若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设个监控

器.

图（1）图（2）

4小明不小心将三角尺掉到了两墙之间,如图所示,AOBO25,则砌墙砖块的厚度a的大小是

5如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G

处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面

包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为cm.

6如图是一个滑梯示意图，若将滑道BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米,BC为1

米.

⑴求滑道BD的长；

（2）若把滑道BD改成滑道BF,使NBFA=60。,试求出DF的长.（精确到0.1米，参考数据：75^1.732）

课时2勾股定理的应用

刷基础

I.A【解析】由题意得，在]RE4BC中,9(),8。=17/%4。=8矶所以AB=/B(^-A(^=V172-82=15(/H)..

因为此人以1m/§的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，所以9口=17-以7=10(1]]).在火也力。。中，由勾股定理

得力。=|/?再/=而二记=6〃粒所以BD二AB-AD=15-6=9(m),,即船向岸边移动了9m,故选A.

2.D【解析】两棵树的高度差为88-2=6(米).两树相距8米，根据勾股定理可得小鸟至少要飞行病密=10\米).

=OC-CE=I5.5-5=10.5.在RtAOBE中，BE=y/OB2~OE2=不工/=10,所以CD=BE=10,即文中“二步”是10尺.

故答案为10.

5.(1075+10)海里【解析】过A作AD_LBC于D.如图.在RtAABD中,NABD=3()o,AB=20海里，所以AD=\

力8=10海里,BD=J"2_/Q2=]O百海里因为/ABC=30°,ZBAC=900+15°=105。,所以NC=180。-105。-30。=45。,

所以△ACD是等腰直角三角形，所以CD=AD=IO海里，所以BC=BD+。=。0通+1()/每里.

北

6.25【解析】如图,三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm,宽为(3+2)x3=15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行

到B点的最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为xdm.由勾股定理得，=2

02+15?=625廨得.x=25(负值已舍去).故答案为25.

7.【解】⑴根据题意得AB=25米，BC=7米，所以AC=IZ452-5C2=V/252-72=24(^).

答：这个梯子的顶端距地面24米.

⑵因为.AE=4米，所以CE=20米

因为ED=AB=25米，

所以8=而匚正=陷亡帝=15(米)，所以BD=CD-BC=8米，所以梯子的底部在水平方向滑动了8米，而不

是4米.

(3睇子不会滑倒.理由如下：

设［JE'DC=30在《匚£'CO中，ED=25米，所以E'C=w。=12.5米.因为CE>EC所以梯子与地面的夹角大于；

30，所以梯子不会滑倒.

刷易错

8.A【解析】设截取的钢条长度为1cm.将截取的钢条作为直角边，则/2+6O2=IO()2,解得］=8()将截取的钢

条作为斜边.则1=麻4丽=6两=20旧.20旧>90、不合题意，故舍去.综上,截取的钢条长为80cm.

刷提升

1.C【解析】如图，线段AB的长即为所需彩带最短的长度.由图可知.AC=3x4=12(m),BC=16m.所以由勾股定

理得.AB=Jn。'十12'+16'=20。"),故选C.

B

2.B【解析】如图(1),过点P作PE_LAD,垂足为点E.因为AP=DP,所以AE=^AD=\2cm在RtAAPE中,

由勾股定理得PE=由户-4d=16即所以点P与点B之间的竖直距离为16+l()=26(cm).如图⑵，过点P作PM_L

AC于M作BN_LAC于N.由题意知、挂绳缩短后AP+PD=36cm.因为长方形挂牌ABCD，点P,D,C三点在同

一直线上，所以NADP=NADO90。.在RtAACD中,由勾股定理得耳而7ZGc”设PD=xcm,则.AP=(36-

22

x)cm在RtAAPD中,由勾股定理得力尸-尸。2=4。2,即(36-x)-x=24?.解得x=10,所以PC=PD+CD=20cm.SACP

=\AC^PM=\PC^ADS^|X26X?M=920乂24,解得PM=^cni,S*；心BN=；4Bx8C,即；x26x^V=；x10x24,

解得即=等皿所以点P与点B之间的竖直距离为当+穿=詈碗),所以点B的高度下降了岑-264("?),

故选B.

3.8【解析】过点M作MiN4B于点N.根据题意，得陷心300，小8M=。%=375或所以BN="⑼-必解

2222

=225”?设AB=xm.则AN=(x-225)m.因为AM]=M]N+AN=AB-8新，所以30()2+&-225)2=%-3752,所以乂=乂=625,

故该水利部门至少需要布设黑=8(个)监控器，故答案为8.

4.5【解析】由题意得.4C=8C,EL4C8=90,月DCWE/E[。/，所以JADC=□C£5=90L,ZACD+ZBCE=90。.所

以NACD+NDAC=90。,所以/BCE=/DAC.

U\ADC=JCEB,

在△ADC和4CEB中｛口。/0=18。£；所以△ADC丝ZXCEB(角角边),所以DC=BE.因为一块墙砖的厚度为a,

AC=BCy

所以AD=4a,BE=3a,所以D