高考数学一轮复习题-常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条

件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

■落实主干知识.

I.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则〃是夕的充分条件,q是p的必要条件

〃是4的充分不必要条件〃=>〃且a#D

〃是q的必要不充分条件p"q旦夕=〃

〃是夕的充要条件p0q

p是q的既不充分也不必要条件p#q且(仲p

2.全称量词与存在量词

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号"上”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p（x）成立存在M中的兀素x,p（x）成立

简记VxWM,p(x)p(x)

否定♦EM,睇〃(K)

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打7或“x”）

（1）当〃是夕的充分条件时，夕是〃的必要条件.（7）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（N）

⑶“第＞1”是“co”的充分不必要条件.（V）

（4）命题“射,sin^4-cos2^=!?,是真命题.（X）

2.命题“Vx£R,f-x+220”的否定为（）

R,f—x+2<0

B.VxeR,.F—x+2so

C.3xER,x2—x+2W0

D.VxER,f-x+2<0

答案A

解析命题“Vx£R,f—x+2、0”的否定为命题'Fx£R,『一4+2<0”.

3.设Q0,)>0,则“$>产是”,的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

4.已知“p：2Wx<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数〃，的取值范围为.

答案(一8,2)

解析由题意可知，｛x|2Wx<3｝是｛小>/〃｝的真子集，可得〃?<2.所以实数，〃的取值范围为(一8,2).

回微点提醒

1.谨记两个常用结论

(I)〃是9的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱p的充分不必要条件.

(2)命题〃和的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“4的充分不必要条件是8”是指B能推出A,且A不能推出&而“A是8的充分不必要条件”则是指4

能推出8,而B不能推出人要注意区别上述两种说法的不同.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2024・连云港模拟)以=-1”是“直线X工+b+9=0与'a—2)x+3)，+3/l=0平行”的

()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当2=—1时，直线h:—3.v+3y—3=0,即%—y+1=0,与直线1\:%—y+9=0平行，充分性成立；

直线L：x+2y+9=0与/?：(丸-2)<+3)，+32=0平行，有加-2)=3,解得2=—1或2=3,

其中当2=3时，两直线重合，舍去，故人=-1,必要性成立.

故以=-1”是“直线1:x+划+9=0与"：(4-2)x+3y+是=0平行”的充要条件.

(2)祖晅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“架势既同，则积不容异”.“恭”是截面积，

“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A,8为两

个等高的几何体，p：A,8的体积相等，q：4,8在同一高处的截面积相等.根据祖咂原理可知，〃是°

的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析已知A,8为两个等高的几何体，由祖暄原理知g=p,而〃不能推出q,可举反例，两个相同的圆

锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则〃是

乡的必要不充分条件.

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据〃=4,是否成立进行判断.

⑵集合法：根据〃，,/成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等汾转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立

为止.

跟踪训练1(1)设x£R,则“cos.『l”是“sinx=0"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当cosx=1时，x=2E/WZ),此时sinx=0；

当sinx=0时，x=kn（k^Z）,此时cosx=l或cosx=-1,

所以acosx=lw是"sinx=0”的充分不必要条件.

（2）（2025•北京房山区模拟）已知定义在R上的函数人幻满足人一回一/U）=0,且在[0,+8）上单调递减，

对于实数小b,则是“为公＞肚）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由定义在R上的函数.ZU）满足./（一1）一/（工）=（）,得函数凡。是R上的偶函数，而7U）在[（）,+8）上单

调递减，因此拉》处）钝川动»|第=|水向0也为2,所以％2〈庐，是“加）避幼”的充要条件.

题型二充分、必要条件的应用

例2（1）已知p：xWl,q：xWa,若〃是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

若〃是q的必要条件，则实数。的取值范围是.

答案（一8,1）（-00,1]

解析因为〃：xWl,q：x^a,

若p是q的必要不充分条件，贝1〕（一8，〃忤（-8,]],因此,

即实数。的取值范围是（一8,1）.

若〃是夕的必要条件，贝l]（-8,〃y（—8,1],

因此启1,即实数。的取值范围是（-8,1].

（2）已知p：第＞1或工＜一3,4：Q心为实数）.若的一个充分不必要条件是踊p,则实数。的取值范围

是.

答案[1,+°°）

解析由已知得睇〃：-3WxWl,睇夕：xWa

设A={x|-3WxWl},8={加4},

若,㈱p是^q的充分不必要条件，则踊〃q,q#睇p,

所以集合A=｛.v|-3WxW1｝是集合B=｝的真子集.

所以心1.

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(1)已知〃：q：x>m,若〃是g的充分条件，则实数的取值范围是()

A.[0,+8)B.[b+8)

C.(—8,0]D.(—8,I]

答案C

解析由91可得x(x-l)<0,解得0<v<1,

记A=｛A|0<¥<1｝,B=｛x\x>m｝,

若〃是q的充分条件，

则A是8的子集，所以,

所以实数机的取值范围是(一8,0|.

(2)已知a：—l<r<(),/?：l<r<—3〃?.若a是夕的充分不必要条件，则实数的取值范围

是.

答案(一8,0)

解析因为。是分的充分不必要条件，

所以｛.r|-14<0｝是｛x\m—1<x<—｝的真子集，

贝MAUoT(不同时取等号)，解得〃?<0，

所以实数/”的取值范围是(一8,0).

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3(多选)下列说法正确的是()

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B."Vx,)，£R,r+y22。”的否定是“mx,yCR,f+Vo”

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.“A=B”是“sinA=sin8”的必要不充分条件

答案AB

解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；

对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“mx,_y£R，故B正确；

对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除"，故C错误；

对于D,因为A=B时，sinA=sinB成立，而sinA=sinB时，.4=8不一定成立，如A=-,B=—,故"A

33

=B”是“sinA=sin8”的充分不必要条件，故D错误.

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题中，为真命题的是()

A.DxUR,2fo

C.Vxv>0,x+y22yxy

D.3xryER,sin(x+y)=sinx+siny

答案AD

解析对于A项，Vx£R,2x-1>0,A项正确；

对于B项，•・・f+l—2x=(x—l)220,・•・/+],B项错误；

对于C项，当A<0,_v<0时，工+产0<2/方，C项错误；

对于D项，取x=y=0,则sin(x+y)=sin0=0=sin0+sin0=sinx+si”，D项正确.

命题点3含量词的命题的应用

例5⑴(2024・台州模拟)若命题“MGR,使W—x—〃?=0”是真命题，则实数机的取值范围是()

<m<oj

D.{m\m<

答案C

解析因为'TxWR,«一%一加=0”是真命题，所以/=1-4X(-m)2(),解得〃后一"

(2)已知命题加一办+1W0”为假命题，则实数。的取值范围是.

答案［0,4)

解析由题意得不等式加一利+1〉0对Vx£R恒成立.

①当(7=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；

②当。中0时，若不等式加一办+1>0对Vx£R恒成立，则匕>?“八解得0<。<4.

4=Q/-4a<0,

综上，实数。的取值范围是［0,4).

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.

跟踪训练3(1)(2024•新课标全国II)已知命题〃：Vx^R,|x4-l|>l：命题q：3x>0,x3=.r,则()

A.p和q都是真命题

B.^p和q都是真命题

C.p和都是真命题

D.^p和斛行都是真命题

答案B

解析对干命题〃，取x=-1,

则有Lr+l|=0<l,

故〃是假命题，睇〃是真命题，

对于命题q,取x=I,

则有F=13=l=4,

故“是真命题，㈱9是假命题，

综上，㈱〃和g都是真命题.

(2)(多选)(2025•海口模拟似下说法正确的是()

A.aVxGR,3/一220”的否定是“MGR,3『一2<0”

B.\>3”是“log3(2x+l)>2”的充分不必要条件

C.若命题f+s—1口+1<0”的否定是假命题，则实数。的取值范围是(一1,3)

D.若命题“Vx£R,2,那+ax-：WO”是真命题，则一3W,W0

8

答案AD

解析对于A，“/Y£R,3f—220”的否定是,3$一2<0"，故A正确；

对于B,log3（2x+1）>2即log3（2x+1）>log39,解得x>4,因为x>4=x>3,且x>3#入>4,所以“x>3”是

“log、（2K+l）>2”的必要不充分条件，故B错误；

对于C,命题的否定是假命题，则命题,/+（〃-1）X+1<0”是真命题，即/=（〃-1）2—4>0,解

得〃>3或〃<一1,故C错误；

对于D,因为“Wr£R,2加+or—是真命题，即20¥2+如一/在0对\/4£~恒成立.当a=0时，命题

成立；当4Ho时，（：<,八解得一3W〃<0,综上可得，-3一W0,故D正确.

/=Q/十3a<0,

课时精练

［分值：84分］

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.。<0"是“后=一犬的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析疡=-x=xW0,因为x<0=xW0，但xW0弁x<0,所以“工<0”是“疗=一/的充分不必要条件.

2.命题FxER,e'>lnx+1"的否定是（）

A.VxeR,e'Wlnx+1

B.3xeR,eWlnx+l

C.VKR,e'>lnx~\~1

DAR,el>lnx+1

答案A

解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题Tx£R,e'>ln1w的否定为“VxWR,eWin

x+1”.

3.（2025・常州调研）已知a,b£R,则“力=e"”是"a=lnb”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析根据指数式和对数式的互化公式可知〃=e“o〃=lnh,

所以“b=W是"a=ln〃”的充要条件.

4.（2025・朔州模拟）已知A,B为实数,则“A8V0”是4<Ar+B/=l为双曲线方程”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当表示双曲线时，AB<0,而当AB<0时，4/+&产=1表示的是双曲线，所以“A8<0”

是为双曲线方程”的充要条件.

5.下列叙述错误的是（）

A.命题x2—1W-1”的否定是“Vx£R,9—1>一1”

B.若然函数）=（〃户一2加一2）ffn在（0,+8）上单调递增，则实数机的值为一1

C.Vx£（0,+°°）,2'>iog2X

D.设〃£R,则“於>3”是“公旧”的充分不必要条件

答案D

解析对于A,命题“打£R的否定是，A正确；

对于B,由［皿2-2瓶-2=1,解得m=一］B正确；

对于C,当x>0时，函数y=2"的图象在直线y=K上方，函数y=log2A­的图象在直线y=工下方，贝U

2'>log2x,C正确；

对于D,由虎＞3,得〃＜一百或a＞W,因此“足＞3”是“冲国”的必要不充分条件，D错误.

6.（2024・南通模拟）若“土[£（0,71）,sinZr-ksinx＜0”为假命题，则攵的取值范围为（）

A.（—8,-2]B.（-8,2]

C.（一-2）D.（—8,2）

答案A

解析依题意知命题”张£（0,7c）,sin2x-ksin工＜0”为假命题，则"Vx£（O,n）,sin2r—Asinx20”为真

命题，所以2sinxcosx7ksinx,则2cosx化x£（0,兀）时恒成立，解得kW—2，所以女的取值范围为（一

00,-2].

7.（2025・宁波模拟）命题"八七[一2,1],W—x—。＞0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a＜—工B.cWO

4

C.a26D.a28

答案D

解析若命题“球£[—2,1],%2—4一〃＞0"为假命题，

则命题的否定，VL2,11,x2-x-QWO”为真命题，

即a^r-x,xG[-2,1]恒成立，

2

对于函数y=f—x=（x

当x=~2时，取得最大值），=6,

所以“26,选项中只有｛3。28｝是｛a|〃26｝的真子集，

所以命题2,1],x2—x—0＞0”为假命题的一个充分不必要条件为。28.

8.（2023・新高考全国I）记5”为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：｛曰｝为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析方法一甲：｛为｝为等差数列，设其首项为②，公差为d,

则＜=叫+/,4j+吸=多?+0_?，生-合，

因此｛曰｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛曰｝为等差数列，

S”上•，cnSM,-(n+l)Snnan,-Sn

即没首=:i=不%为常数，设为八

即叫廿「S，：

n(n+l)'

则Sn=nan+f•〃(〃+1),

有Sn-i=(n—\)an—tn(n—\),〃22,

两式相减得an=nan+1-(/?—1)«„—2；/z,

即an^\—an=2t，对〃=1也成立，

因此｛小｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛斯｝为等差数列，设数列｛小｝的首项为苗，公差为d,

即S尸〃m+若％,

则-g,

因此白｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛曰｝为等差数列，

设数列｛*｝的公差为D,

s

则灯一包=。，且=$+(〃-1)。，

n+1nn

即S尸〃Si+〃(〃-1)。，

当〃22时，S”-i=(〃一l)Si+(〃一1)(〃一2)。,

JL边两式相减得5“一5”-|=51+2(〃一1)。，

所以斯=m+2(〃-1)。,

当n=1时，上式成立，

又。"+1—。”=。1+2〃。一［ai+2(〃-1)0=2。为常数,因此｛〃〃｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.下列既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.BxGR,国<0

B.Bxez,cos^=-l

C.至少有一个x£Z,使x能同时被3和5整除

D,每个平行四边形都是中心对称图形

答案BC

解析选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，

即伏|20，所以A是假命题；

选项B为存在量词命题，当工=2时，满足cosg2）=cos7T=-1,所以B既是存在量词命题又是真命题；

选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；

选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.

10.下列说法正确的是（）

A.命题021,A>1"的否定是"Vx<1,AW1”

B.“公0且/=〃-4acW0”是“一元二次不等式尔+加+c2Q的解集为R”的充要条件

C.“〃>0"是“1"的必要不充分条件

D.已知a,bGR,则”|a+例=|川+|加”的充要条件是“H»0”

答案BC

解析对于A,命题的否定是，故A错误；

对于B,若a>0且/=/—4々CW。，则不等式的解集为R,充分性成立，若不等式的解集为R,则a>0且A

=〃-4ac<0,即必要性成立，故B正确；

对于C,若A（）,不可以推出a>\,例如即充分性不成立，若a>\,可以推出A0,即必要性成立，

故C正确；

对于D，例如a=b=0,可以推出|。+力|=同+|例,即依+例=同+|力|不可以推出ab>0,故D错误.

II.下列说法正确的为（）

A.异面直线所成的角的范围是［0,汨

B.已知A={x|-1WXW2},B={x\2x-a<0},若是“xEB”的充分不必要条件，则实数。的取值

范围是a>4

C.若命题“玉£R,加『+1<0”是假命题，贝IJOV”?<4

D.已知p：OQ<1,q：4r+2r-/n<0,若〃是q的充分条件，则实数〃?的取值范围为机26

答案BD

解析对于A,异面直线所成的角的范围是（0,2，A错误；

对于B,由“x£A”是“xGB”的充分不必要条件，得集合力真包含于集合8,所以,即e4,B正确；

对于C,若命题是假命题，则"V.XWR，如2+〃a+120”是真命题，故〃?=（）或匕"?//八解得

/=-4m<0,

0<〃zW4,C错误；

对于D,由〃是q的充分条件，贝ijpn夕，即对于OoWl,4、+2'—〃£0恒成立，令f=2',，三（1,2],则

〃后』+/对于re（l,2J恒成立，又一（£（2,6],则〃[26,D正确.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：.

答案存在一个素数不是奇数

解析因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为

了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.

13.（2025•晋城联考）已知集合。={的，=]+小一1<XW2},2={j|ln（2-x）<0},若xWP是xW。的必要不充

分条件，则实数。的取值范围为.

答案[0,2]

解析由，-\<x^2,则。一1<）忘。+2,

所以P={），|a-lv）Wa+2},

由ln（2—x）<0,即ln（2—x）<lnI,解得i<x<2,

所以。={川4<2},

因为上仁。是的必要不充分条件，则Q晨P,

"付一141，

所以I10^0

解得0《忘2.

所以实数。的取值范围为[0,2].

14.已知命题“九引一1，2],3x+〃>0”是假命题，则实数。的取值范围是.

答案(一8,—4］

解析由题意得，“V.r£［—1,2］,f-3x+aW0”是真命题，则一/+3工对［—1,2］恒成立，在

区间［-