胡不归（小题）专项练习（含解析）

1.N4OB=30。，0M=2,。为OB上动点，求+的最小值.

2.如图，矩形中八8=3,BC=C，E为线段4B上一动点，连接CE,则

的最小值为一.

3.如图，oABCD中，NDAB=30。，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于.

4.如图，。A3CZ）中NA=60。，AB=6,AD=2,P为边CO上一点，则+的最

小值为.

5.如图，四边形A3C。是菱形，4/3=8,且NA/3c=60>,M为对角线8。（不含3点）上

任意一点，则AM+38M的最小值为.

2026-2027学年

6.如图，ABC中，AB=AC=\Q,tan4=2,8E_LAC于点E,。是线段跖上的一个动

点，则C。+亚4。的最小值是

5

7.如图，在△48C中，AB=AC=4tNC48=30。，ADLBC,垂足为Q,P为线段AO上的

一动点，连接。氏PC.则办+2P3的最小值为.

8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数），=-/+灰+3的图像与x轴交于A、。两点,，与

x轴交于点。（3,0）,若P是x轴上一动点，点D的坐标为连接尸。，则V5PQ+PC的

最小值是（）

32

A.4B.2+2\/2C.2>/2D.—H—>/2

23

9.如图，在AA5C中，NA=90。，ZB=60°,AB=2,若。是8c边上的动点，则2AD-DC

的最小值（）

BDC

A.2G+6B.6C.43+3D.4

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2r+c的图象与x轴交于4、C两点，与

y轴交于点8((),-3),若P是x轴上一动点，点。(0,I)在y轴上，连接PQ,则及PO

+PC的最小值是()

A.4B.24-2>/2C.25/2D.—I—^/2

23

II.如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交X、y轴于8、。两点，点八、。的坐标分别

为(3,0)、(0,-3),且NOCB=60。，点尸是直线/上一动点，连接AP,则”+且PC的

2

最小值是.

12.如图，直线y=x-3分别交x轴、)，轴于8、A两点，点。(0,1)在y轴上，点P在x

轴上运动，则及PC+PB的最小值为

2026-2027学年

13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交工轴、,，轴于A、B两点,

3

若。为x轴上的一动点，则28C+AC的最小值为.

14.如图，正方形4BCZ）的边长为4,点E为边4D上一个动点，点尸在边CD上，且线段

痔=4,点G为线段£尸的中点，连接4G、CG,则BG+gcG的最小值为.

4

15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-§x-4分别与居），轴交于点A,B,抛物线

广三八反十一恰好经过这两点.

(I)求此抛物线的解析式：

(2)若点。的坐标是(0,6),将△ACO绕着点C逆时针旋转90。得到△£■€下，点人的对应点

是点E.

①写出点七的坐标，并判断点七是否在此抛物线上；

3

②若点〃是)•轴上的任一点，求弓样取最小值时，点，的坐标.

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+2与x轴交于点A,与)，轴交于点C.抛物

1

3

线)，=⑪2+加+。的对称轴是1=一1且经过人、C两点，与X轴的另一交点为点从

(I)求二次函数)，=&F+云+C的表达式；

(2)点夕为线段A8上的动点，求AP+2PC的最小值；

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直人轴丁点M使得以点A,N为顶点的三

角形与AA8C相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线/”)，=理］+6和直线〃：)，=-61+〃相交于)，

轴上的点&且分别交x轴于点A和点C

2026-2027学年

(1)求△A8C的面积；

(2)点E坐标为(5,0),点尸为直线。上一个动点，点P为)，轴上一个动点，求当Er+

最小时，点尸的坐标，并求出此时PF+走OP的最小值.

2

18.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=口e+历:+c的图象经过点八(-1,0),8((),

-石)，C(2,0),其对称轴与x轴交于点Q.

(I)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点M使得以A,B,M,N为顶

点的四边形为菱形，求点M的坐标；

(3)若夕为)，轴上的一个动点，连接PQ,求的最小值.

备用图

参考答案:

i.G

【详解】思路引领：（胡不归经典）作N8ON=NAO8=30。，过点M作MC_LON于点C,交

08于点。，当MC_L0N时，（此时点少即为点。）M£）+[OO=MQ+C。的值最小，最小值

2

是CM的长，

答案详解：如图，

作NBON=NAOB=30°,过点M作MCJ_0N于点C,交08于点。，

所以当MC_L0N时，（此时点。，即为点。）

MO+LOD=MO+C。的值最小，最小值是CM的长,

2

/.在RtA0CM中，Z0MC=30。,0M=2

•・・OC=1,

:・CM=6

答：MQ+；。。的最小值为6.

2.3

【详解】思路引领：在射线的下方作NM4B=30。，过点E作£TJ_AM于。过点C作

C”_LAM于”.易证£T=；AE,推出;AE+EC=CE+£4C”，求出C”即可解决问题.

答案详解：・・•四边形人8CO是矩形，

，/8=90。，

./r'A»CB\/3

••tan乙CAB==—,

AB3

，NCAB=30。，

:.AC=2BC=2&

在射线A8的下方作NM48=3（T,过点笈作上7_LAM于八过点C作C”_LAM于”.

2026-2027学年

•・・NCA”=60。，ZC//A=90°,AC=2百,

:.CH=AC・sin6。=2Gx3=3,

2

•・,-AE+EC=CE+ET>CH,

2

：.-AE+EC>3,

2

・・・；AE+EC的最小值为3,

故答案为3.

3.6

【分析】过点P作PE_LAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得

到AB/7CD,推出PE=gPD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、

E三点在同一条直线上，利用NDAB=30。，NAEP=90。,AB=6求出PB+PE的最小值=TAB=3,

得至lj2PB+PD的最小值等于6.

【详解】过点P作PE1AD交AD的延长线于点E,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・，・AB〃CD,

AZEDC=ZDAB=30°,

.\PE=jPD,

V2PB+PD=2(PB+；PD)=2(PB+PE),

・••当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，

VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

•••PB+PE的最小值=；AB=3,

・・・2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，宜角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD

转化为三点共线的形式是解题的关键.

4.6百

【分析】作尸〃_LA。交AQ的延长线于从由直角三角形的性质可得"P二3QP,因此G

2

PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB),当"、P、B三点共线时“P+PB有最小值，即6以)十

2

2PB有最小值，即可求解.

【详解】如图，过点尸作丹7_LA。，交AO的延长线于“，

四边形A8CO是平行四边形，

.•・AB1ICD,

ZA=ZPDH=60°

VPHLAD

/.NDPH=30。

：・DH；PD,PH=>/3DH=—PD,

22

，s/3PD+2PB=2(—PD+P8)=2(PH+PB)

2026-2027学年

二•当点〃，点P,点8三点共线时，"P+P8有最小值，即6PO+2PB有最小值，

此时BHA.AH,ZABH=3()°,ZA=6()0,

：.AH=-AB=3,BH=gAH=3有

2

则6PT)+2PB最小值为66,

故答案为：66.

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知

识.构造直角三角形是解题的关犍.

5.46

【分析】如图，过点A作八兀L4C于71过点M作3c于〃，根据菱形的性质和30。

角的直角三角形的性质可得于是可得的最小值即为AT的长，再利

用解直角三角形的知识求解即可.

【详解】解：如图，过点A作于。过点M作历〃_L8C于”.

•・•四边形ABC。是菱形，N/WC=60。,

・・・NQBC=：NABC=30。，

'：MHVBC,；・NBHM=90。,

；・MH=gBM,

：.AM+^BM=AM+MH,

VAT1BC,AZ/47B=9O°,

.\AT=AZ?-sin60°=473,

・・・AM+M论4岛

・・4加+58”的最小值为45

故答案为：4赤.

【点睛】本题考查了菱形的性质、30。角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角

形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键.

6.4行

【分析】过点D作AB于〃，过点C作4/JL/道于首先通过勾股定理及tan,4=2

求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=8七，然后通过锐角三

角函数得出=好笈。，进而可得出CD+储D=CD+DH,最后利用CD+DH..CM即

55

可求值.

【详解】解：如图，过点D作于〃，过点C作四于

BELAC.

/.Z4£8=90°,

RP

VtanA=——=2,

AE

设AE=a>BE=2a>

vAB2=AE2+BE2

工100=/+4/,

2026-2027学年

A«2=20»

，〃=26或-2石（舍弃）,

:.BE=2a=4\/5,

VAB=AC,BELAC,CM±AB,

：・CM=BE=4后（等腰三角形两腰上的高相等）

•：ZDBH=ZABE,ABHD二ZBEA,

.._DHAE_亚

••sin/DBH=-----==—,

BDAB5

，DH=—BD,

5

:・CD+且BD=CD+DH,

5

:.CD+DH.CM,

：.CD+^-BD.Ay/5,

JCD+—BD的最小值为4石，

5

故答案为：4G.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会

添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键.

7.4拒

【分析】在N8AC的外部作NC4E=15。，作8凡LAE于忆交A。于P,此时%+203=2

（（PA+P8）=3（PF+P8）=2BR通过解直角三角形A8F,进一步求得结果.

【详解】解：如图，

在N84C的外部作NCAE=15。，作4尸_LA£于尸，交AO于P,

此时勿+2PB最小,

，N人/4=90°

•：AB=AC,ADLBC,

：,ZCAD=ZBAD=-ZBAC=-x300=\5o,

22

，NB4D=NC4E+NC4O=30。，

：.PF=-PA

2t

(JAi

，附+2P8=2-PA+PB=-(PF+PB)=2BF,

、2y2

Q

在RtAAB/中，AB=4f^BAF=ZBAC+ZCAE=45,

ABF=AB*sin45°=4x交=2人，

2

・•・(必+2PB)最大=2BF=4右,

故答案为：4夜.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

8.A

【分析】过点尸作々_L8C于J,过点。作。〃_L8C于”，根据

42PD+PC=42PD+^-PC^=42(PD+PJ),求出Z)P+〃的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接8C,过点P作PJ1BC于J,过点。作。从LBC于".

•・•二次函数)，=-/+版+3的图像与x轴交于点C(3.0),

:・b=2,

工二次函数的解析式为)，=-/+23+3,令y=0,-/+2/3=0,

解得x=-1或3,

(-1,0),

2026-2027学年

令x=O)=3,

:.B(0,3),

：.OB=OC=3,

VZBOC=90°,

，NOBC=NOCB=45。,

VD(0,-1),

：.OD=\,BD=4,

*：DHLBC,

・•・NDHB=90°,

设=则

,:DH?+BH?=BD?，

x2+x2=42,

：.x=2叵,

DH=2近，

YPJLCB,

・•・ZPJC=90°,

，PJ=—PC.

2

A42PD+PC=42PD+^PC}=42(PD+PJ),

DP+PJ>DH,

•**DP+PJ>2y/2，

••・QP+R/的最小值为2a,

:.42PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，得到NO4C=NOC4=45。，々=也「。是解题的关键.

2

9.B

【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA',AD,过D作DE1AC于E,易得2DE=CD,

AD=AD,从而得出AD+DE=AD+DE,当A=D.E在同一直线上时，AD+DE的最小值

等于A，E的长是3,进而求出2AD十CD的最小值.

【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A：连接AA[AD.过D作DEJ_AC于E

VZBAC=90%NB=60%AB=2

,

.*.BH=1,AH=X/3,AA=2X/3,ZC=30°

，DE=gcD,即2DE=CD

TA与A'关于BC对称

AAD=A'D

AAD+DE=A'D+DE

・••当A\D,E在同一直线上时

AD+DE的最小值等于AE的长，

在RtAAA'E中：A'E=sin600xAA'=立x26=3

2

AAD十DE的最小值为3

・・・2AD十CD的最小值为6

故选B

【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD+DE的最小值

是解题关键.

10.A

【分析】过点P作PJLBC于J,过点。作QH1BC于从根据

42PD+PC=42PD*PC\=6(PD+PJ),求出〃+/V的最小值即可解决问题.

【详解】解：过点P作PJ_L8C于过点。作。”_L8C于”.

2026-2027学年

••,二次函数丁=9・2x+c的图象与y轴交于点8(0,-3),

.*.c=-3,

，二次函数的解析式为y=/-2x-3,令)，=0,x2-2x-3=0,

解得x=-1或3,

・・・A(-1,0),B(0,-3),

：,OB=OC=3,

VZB(?C=90°,

；・NOBC=NOCB=45。,

VD(0,1),

/.OD=I,BD=4,

■:DHLBC,

：.NDHB=90。,

设=则=

DH2+BH2=BD2，

:.x2+x2=42»

**•x=2V2»

JDH=2y[2，

♦：PJtCB,

••・ZPJC=90°,

，PJ=—PC,

2

Ay/2PD+PC=>/2PD+^PC=y[2(PD+PJ),

■:DP+PJNDH,

DP+PJ>2后,

・・・QP+R/的最小值为20，

:.正PO+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

II.3+35/S##36+3

22

【分析】作/OCE=120。，过点尸作PG_LCE于点G,利用含30度角的直角三角形的性质以

及勾股定理求得尸G=在PC；当A、P、G在同一直线时，AP+且PC=4P+PG=4G的值最

22

小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•点A、C的坐标分别为(3,0)、(。，-3),

：,OA=3,OG3,

作NOCE=120。，

•・•NOC8=60°,

则Z0CB=ZBCE=ZFCE=60°,

过点。作PG_LCE于点G,如图：

在即aPCG中，ZPCG=60°,则NCPG=30。,

：,CG=-PC,由勾股定理得PG二五PC,

22

：,AP+^-PC=AP+PG,

2

当4、P、G在同一直线时，AP+PG=AG的值最小,

延长AG交y轴于点”，

2026-2027学年

VZFCG=60°,ZCGF=90°,

:.NCFG=30。，

:・CF=2CG,GF=2CF,

2

在RQCM厂中，ZAOF=90°,NO胡=30°,

AF=2OA=6,OF=-J3OA=35/3,

:.CF=OF-OC=3&3,

・・.G尸二李36一3)弓一呼，

.*.AG=4F-FG=6--+—=-+—,

2222

即AP+立PC的最小值为3+述.

222

故答案为：3+3、

2

【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三隹形的性质以及勾股定理，作出合适

的辅助线，得到当4、P、G在同一直线时，AP+且PC=AP+PG二AG的值最小是解题的关

2

键.

12.4

【详解】思路引领：过户作PQ_LA8于。，依据△AO8是等腰直角三角形，可得NBAO=

NABO=450=NBPD,进而得到△BOP是等腰直角三角形，故PD=^PB,当C,P,D

2

在同一直线上时，CO_LAB,PC+PQ的最小值等于垂线段CO的长，求得CO的长，即可得

出结论.

答案详解：如图所示，过P作于。，

•・•直线)，=x・3分别交x轴、)，轴于8、A两点，

令人=0,则y=-3：令y=0,贝1=3,

，A(0,-3),B(3,0),

."0=80=3,

XVZAOB=90°,

•••△AOB是等腰直角三角形，

jZBAO=480=45。=NBPD,

・•・△〃)尸是等腰直角二角形,

:・PD=^PB,

2

AV?PC+PB=V2(PC+—PB)=72CPC+PD),

2

当C,P,。在同一直线上，即CQ_LA8时，PC+PO的值最小，最小值等于垂线段CO的长,

此时，△AC。是等腰直角三角形，

又•・•点C(0,1)在)，轴上，

即PC+PQ的最小值为26，

・..亚PC+PB的最小值为及x2&=4,

故答案为：4.

13.6

【分析】先求出点4，点8坐标，由勾股定理可•求48的长，作点8关于04的对称点用,

可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得C〃=g/!C,则

28C+4C=2(9C+C〃)，即当点9，点C,点H三点共线时，UC+CH有最小值，即28c

+4C有最小值，由直角三角形的性质可求解•.

【详解】解：•・•一次函数)，=争-6分别交x轴、y轴于A、B两点,

••・点A(3,0),点网0,—>/5),

・・・40=3,80=5

AB=y/OA2+OB2=^32+(>/3)2=26,

作点8关于。4的对称点连接AB\B'C,过点C作于从如图所示:

2026-2027学年

OB=o*=G,

ABB'=2x/3,AB=AR=2+

AB=AB,=BB,,

・•・AA38'是等边三角形，

,?AO工,

・•・ZBAO=-ZBABf=30°,

2

VCH±AB,

：,CH=-AC,

2

・・.28C+AC=2(8C+；力C)=2(8'C+C")，

，当点B',点C,点〃三点共线时，ZTC+C〃有最小值，即24C+AC有最小值,

此时，口H工AB,AA88是等边三角形，

ABH=AH=V3,/BB'H=3。。,

，87/=_A”?=42⑸一网2=3，

•••2BC+AC的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角

形的性质，确定点。的位置是解题的关键.

14.5

【分析】因为。G=gE/=2,所以G在以。为圆心，2为半径圆上运动，取。/=1,可证

△GD/-ACDG,从而得出G/=^CG,然后根据三角形三边关系，得出以是其最小值

【详解】解：如图,

A

在RQO£产中，G是EF的中点，

：.DG=-EF=2,

2

.••点G在以。为圆心，2为半径的圆上运动,

在C。上截取。/=1,连接G/,

.DI_DG_\

"~DG~~CD~^"

:.NGD1=NCDG,

:•△GDls^cDG,

.IGDI_।

••------=-------——,

CGDG2

：JG=-CG,

2

・•・BG+-CG=

2

,当B、G、/共线时，BG+gcG最小=8/,

在RSBC7中，C/=3,3c=4,

:.Bl=5,

故答案是：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关

键.

5(1)5=标一*4

(C

(2)①(6,3)；点石在抛物线上；②。0,--

乙)

【分析】(1)先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；

(2)①根据旋转的性质求出律=AO=3,CF=CO=6,从而可求£的坐标，然后把£的

2026-2027学年

坐标代入(I)的函数解析式中，从而判断出点石是否在抛物线上;②过点E作

□PH33

交)，轴于P，垂足为从可得sin/A8O=，=——，则HP=±8P,得-BP+EP=HP+EP

5BP55f

可知〃夕+EP的最小值为的长，从而解决问题.

【详解】(I)解：当x=0时，y=-4,

4

当y=o时，——x-4=0,

3

••x——3，

・・・A(-3,0),8((),-4),

把A、B代入抛物线y=,\+bx+c,

1O

-

—x(—3)-—3b+c=0

得,18,

c=-4

2,

c=-4

：・抛物线解析式为＞,=［产—卜_4.

1o2

(2)解：①,・・A(—3,0),C(0,6),

AAO=3,CO=6,

由旋转知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=9()0,

.•・E至Ijx轴的距离为6—3=3,

・・・点七的坐标为(6,3),

当x=6时，_y=—X62-IX6-4=3,

182

，点E在抛物线上；

②过点E作E”_LA3,交y轴FP,垂足为〃，

VA(-3,0),4(0.-4)，

••・O4=3,08=4,

JA8=5,

3PH

・•・sinAABO=-=——,

5BP

HP=]BP,

3

:•士BP+EP=HP+PE,

5

・•・利+EP的最小值为的长，

作EG_Ly轴于G,则NEGP=NAO8=90°

而NGPE=NBPH,EH工AB,

:・NGEP=ZABO,

JGEPsOBA,

.PGAO

..---=---,

EGBO

.PG3

..----=—,

64

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角

3

函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将38P转化为“P的氏是解题的关键.

2026-2027学年

i?

16.(1)抛物线表达式为:y=--x2--x+2；

(2MP+2PC的最小值是2出+4；

(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似.

【分析】(1)先求的直线F=gx+2与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可

求得点3的坐标；设抛物线的解析式为产a(x+4)(x-l),然后将点。的坐标代入即可求得。

的值，从而得抛物线的表达式；

(2)如图1,作NQ4£=30。，交)，轴于E,过点P作PHLAE于H,当C,P,“三点共

线时，AP+2尸C的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得C"的长，从而可得结论；

(3)首先可证明AABC是直角三角形，且有4C=2BC,然后分三种情况讨论即可.：①当M

点与。点重合，即M(0,2)时，2MANsABAC：②根据抛物线的对称性，当M(32)

时，AMANSAABC、③当点M在第四象限时，解题时,需要注意相似三角形的对应关系.

【详解】(1)y=;x+2中，当.v=0时，产2,当产0时，x=-4,

AC(0,2),A(-4,0),

3

由抛物线的对称性可知：点A与点8关于对称，

••・点8的坐标为(1,0).

•・•抛物线)=江+版+c过A(-4,0),3(1,0),

可设抛物线表达式为.尸〃(A+4)(x-l),

又•・•抛物线过点C(0,2),

2=-4a,

,.•a=—1,

2

・•・抛物线表达式为：尸-]2_3+2；

(2)如图1,作NOAEWO。，交)，轴于E,过点尸作于从

y.

/、、、/O\RX

八J

图1

:.PH=-AP,

2

1

AP+2PC=2-AP+PC=2(PH+PC)

12y

，当C,P,〃三点共线时，AP+2PC的值最小,

/APH=ZOPC,ZCOP=ZAHP=90°，

：,ZOCP=ZOAE=30°f

即小。七中，AO=4t

OE岑二更

G3

EH=-CE=-[2+^\=\+—,

RIACHE中,

2233

:.CH=>f3EH=43+2

：.AP+2PC的最小值是2cH=2(6+2)=2>/3+4;

(3)TA(-4,0),B(1,0),C(0,2),

二.AC=也〜?=263C=J『+22=6,48=4+1=5,

J.AC^+BC^AB2,

・・・NAC8=90。，AC=2BC,

点A,M,N为顶点的三角形与aABC相似存在以下3种情况：

①如图2,当M点与C点重合，即M(0,2)时，AW4Vs△84C；

2026-2027学年

图2

②如图3,根据抛物线的对称性，当M(-3,2)时，AMANS/\ABC；

图3

③如图4,当M在第四象限时，设M’?,一+则N(〃，0),

,MN=■!■/+-2.AN=〃+4,

22

当£y=2时，AN=2MN,即1l+如一2=25+4),

MN22

整理得：/+2小8=0,

解得：〃尸-4(舍)，7/2=2,

・・・M(2,-3)；

ANI13

当---=一时，MN=2AN,即一+—〃-2=2(〃+4),

MN222

整理得：〃2亦20=0,

解得：ni=-4(舍)，ri2=5,

：.M(5,-18).

综上所述：存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或5-18),使得以点A、M、N为顶

点的三角形与△4BC相似.

【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，还考查了轴对称-最短路径

问题，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.

17.(1)SAARC=2区(2)点尸坐标为(1,迪)；P产+正。尸的最小值为也+也.

3232

【分析】(1)根据//的解析式可得A、3坐标，把点3坐标代入)，=-Gx+匕可求出与值，

进而可得出点C坐标，即可求出AC、08的长，利用三角形面积公式即可得答案；

(2)如图，作点。关于直线//的对称点C,连接CE,交//于凡根据A、8、C坐标可得

△A/3C是直角三角形，可得点C在直线/2上，根据两点间距离公式可得出。坐标，可得CE

为七尸+C厂的最小值，利用待定系数法可得出直线C石的解析式，联立直线CE与//解析式

即可得出得尸的坐标；作二、四象限对角线小过点/作FG_L/3十G,交)，轴于P,可得

NGOP=45。，可得PG=2~OP,可得FG为PP+,OP的最小值，过点尸作P'Q_Lx袖，

交人于Q,可得aFG。为等腰宜角三角形，可得FG=g~FQ,由A的解析式为产-x及点尸

的坐标可得点。坐标，进而可得尸。的长，即可得厂G的长，可得答案.

【详解】(1)VZ/：产生+5

当x=0时，y=6,当y=0时，A--3,

・"(-3,0),B(0,出),

•・•点8直线8y=-上，

；・b=75,

，直线h的解析式为>'=-6x+也,

:.当)=0时，x=l,

：.C(1,0),

：.AC=4,OB=拒,

/.SzP4BC=1>4CO«=^x4xV3=2x/3.

(2)如图，作点C关于直线。的对称点C,连接CE,交//于F,

VA(-3,0),B(0,⑸,C(1,0),

：.AB2=(-3)2+(73)2:12,8c2口2+(3)2=%AC2=42=I6,

2026-2027学年

•••△人8。是直角三角形，

••・点C在直线/2上，

•・•点C与点。关于直线//的对称，

・・・CC=2BC=4,

设点（7（〃?，-右加+6）

・•・（，〃/）2+（-6机+3）2=42,

解得：/川=-1,62=3,

•・•点C在第二象限，

rn=-1,

,:FC=FC,

.\EF+CF=EF+FC\

・••当C、F、E三点共线时Ef'+C/的值最小,

设直线CE的解析式为广依+b,

：-k+b=2有

5k+b=0

k=------

解得：二

,5V3

b=-----

3

・,・直线CE的解析式为y=一冬+孚,

联立直线CE与//解析式得

x=\

解得：45

'二亍

:,F（1,走）.

3

如图，作二、四象限对角线氏过点/作FG_L〃于G,交），轴于P,过点尸作FQJ_x轴,

交〃于Q,

:.直线h的解析式为尸-X,ZGOP=45°,

•••△GOP是等腰直角三角形，

：.PG=—OP,

2

:・G、P、尸三点共线时，。/+也0/＞的值最小，最小值为尸G的长,

2

〈NGOP=45。,NPOE=90。,

：.Z£0（2=45°,

/.ZFQO=45°,

•••△/GQ是等腰直角三角形，

：.FG=—FQ,

2

VF（1,迪）,直线//勺解析式为广大

:.Q（1,-1）,

.・.史建-（-1）=延+1,

33

・・・〃G二①FQ二也x（超+]"型+在，

22332

・•・PF+巫。。的最小值为也+1.

232

【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添

加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键.

18.（1）"立（X—：）2一处,（；,一些）；（2）（!，立）或（