正弦定理微课获奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形.C.B.A

为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A,C两点的距离呢?探究点1正弦定理CAB

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面首先来探讨直角三角形中角与边的等式关系.解析:(1)锐角三角形思考：对于任意的三角形，以上关系式与否仍然成立?CabABD(2)钝角三角形如右图,类比锐角三角形,请同窗们自己推导.ACabBD探究点2其它推导办法由于涉及边长问题,从而能够考虑用向量来研究此问题.CabAB(3)外接圆法B`ABCbOCABbOA`aaccABCC′abcO·一、正弦定理:

在一种三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,

即注意:(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角

的正弦之间的一种关系式.由正弦函数在区间上的

单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形

中边与角的一种数量关系.判断：(对的的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理只合用于锐角三角形.（)(2)在△ABC中，等式asinA=bsinB总能成立.（)(3)在△ABC中，已知a=30，b=23，A=130°，则此三角形有唯一解.（)提示：(1)错误.正弦定理对于任意三角形都合用.(2)错误.由正弦定理得asinB=bsinA.(3)对的.由A=130°>90°，a=30>b=23.根据大边对大角知，三角形有唯一解.答案：(1)×(2)×(3)√思考：在△ABC中，若sinA>sinB，是不是一定有A>B?反之，若A>B，是不是一定有sinA>sinB?提示：根据正弦定理可得sinA=，sinB=，因此若sinA>sinB，一定有a>b，于是A>B.反之，由A>B可得a>b，再由a=2RsinA，b=2RsinB知，一定有sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆的半径).【拓展提高】用正弦定理进行边角互化的两种办法（1)边化角根据sinA=，sinB=，sinC=化边为角(其中R为△ABC外接圆的半径).（2)角化边根据a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC化角为边(其中R为△ABC外接圆的半径).例.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c·cosA=a·sinC,求角A的大小.【解析】由正弦定理可得sinC·cosA=sinA·sinC.由于0<C<π,因此sinC>0.从而cosA=sinA,又cosA≠0,因此tanA=1,则A=探究点3正弦定理的基本作用2.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.二、解三角形1.普通地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.例1在△ABC中,已知A＝32.0°,B＝81.8°,a＝42.9cm,解三角形.解:根据三角形内角和定理，例2在△ABC中,已知a＝20cm,b＝28cm,A＝40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).注意精确度三、已知边a,b和角Ａ，求其它边和角的多个类型.1.Ａ为锐角a<bsinA无解a=bsinA一解bsinA<a<b两解一解a≥bＡＢＣabB1ＡB2ＣabＡＢＣab2.Ａ为钝角a>b一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡ为直角时，与Ａ为钝角相似，

a>b时，一解;a≤b时，无解.A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解AA.一解B.两解C.无解D.不拟定2.在△ABC中，b=，B＝60°，c＝1，则此三角形有（）A解答:b＞c,一解3.（2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=_______．【解析】根据正弦定理,得