解析考研极限试题及对应答案

解析考研极限试题及对应答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：1.下列各函数中，在x→0时，极限limx→0f(x)存在且等于1的是（）。A.f(x)={1/x,x≠0;0,x=0}B.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=e^(1/x)-1D.f(x)={(x^2sin(1/x)),x≠0;0,x=0}2.极限lim(x→∞)[(x^2+1)/(x-1)]^x的值为（）。A.1B.eC.e^2D.+∞3.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限值是（）。A.0B.1C.2D.不存在4.“函数f(x)在x=x₀处有定义”是“lim(x→x₀)f(x)存在”的（）。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若lim(x→a)[√(1+f(x))-1]/[√(1+g(x))-1]=2，且lim(x→a)g(x)=0，则lim(x→a)f(x)为（）。A.0B.2C.4D.无法确定6.下列极限计算正确的是（）。A.lim(x→0)[(1-cosx)/x]=0B.lim(x→0)[x/(1-cosx)]=0C.lim(x→0)[x/(1-cosx)]=+∞D.lim(x→0)[(1-cosx)/x^2]=07.函数f(x)=[(2^x-1)/x]*[x/(ln(1+x))]在x→0时的极限是（）。A.1B.eC.2D.ln28.若lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]*[f(x)/(x-2)]=2，则lim(x→2)f(x)为（）。A.2B.4C.8D.129.函数f(x)=e^(1/x)在x→0时（）。A.左极限存在，右极限不存在B.左极限不存在，右极限存在C.左右极限都存在但不相等D.左右极限都存在且相等10.当x→0时，(sinx-x)/(x^3)等于（）。A.0B.-1/6C.1/6D.-1/2二、填空题：1.极限lim(x→1)[x^100-1]/[x^50-1]=________.2.若lim(x→∞)[(ax^2+bx+c)/(x^2+1)]=5，则a=________，b=________.3.极限lim(x→0)[√(1+x)-√(1-x)]/x=________.4.若函数f(x)满足lim(x→2)[f(x)-4]/(x-2)=1，则lim(x→2)f(x)=________.5.极限lim(x→0)[1-cos(2x)]/x^2=________.6.若lim(x→0)[sin(3x)/x]=A，则A=________.7.极限lim(x→1)[x^2-ax+a-1]/(x-1)=3，则a=________.8.当x→0时，(1-cosx)^2与x^2的关系是________（填“同阶”或“等价”）。9.若f(x)=(e^x-1)/x，则lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h=________.10.极限lim(x→+∞)[(lnx)^2/x]=________.三、计算题：1.求极限lim(x→0)[(1+x)^{1/x}-e]/x.2.求极限lim(x→1)[(x^3-1)/(x-1)]/[(x^2-1)/(x-1)].3.求极限lim(x→0)[x-sinx]/[x^3].4.求极限lim(x→∞)[(2x^2+x+1)/(3x^2-2x+5)]^x.5.求极限lim(x→0)[(e^x-cosx)/x].6.求极限lim(x→1)[(x-1)/(lnx)].7.求极限lim(x→0)[(arctanx-sinx)/x^3].8.求极限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]*[(x-3)/(x^2-9)].9.求极限lim(x→0+)[xlnx].10.求极限lim(x→0)[(1+2x)^{1/x}].试卷答案一、单项选择题：1.D2.B3.C4.D5.C6.C7.A8.C9.B10.B二、填空题：1.22.a=10,b=-103.14.35.26.37.-18.等价9.110.0三、计算题：1.解：原式=lim(x→0)[e^(ln(1+x)/x)-e]/x=lim(x→0)[e^(1/x+o(1/x))-e]/x=lim(x→0)[e*e^(o(1/x))-e]/x=e*lim(x→0)[e^(o(1/x))-1]/x=e*lim(x→0)[o(1/x)]/x（因e^u-1≈u,u→0）=e*lim(x→0)[o(1/x)*x]=e*lim(x→0)o(x)=0（或用洛必达：原式=lim(x→0)[(1+x)^{1/x}-e]/x/(x→0)[d/dx(1+x)^{1/x}-d/dxe]=lim(x→0)[(1+x)^{1/x}*(1-ln(1+x))/x(1+x)]=e*lim(x→0)[(1-ln(1+x))/x]=e*lim(x→0)[-x/x]=-e）2.解：原式=lim(x→1)[(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)]/[(x-1)(x+1)/(x-1)]=lim(x→1)(x^2+x+1)/(x+1)=(1^2+1+1)/(1+1)=3/23.解：原式=lim(x→0)[x-sinx]/[x^3]/(x→0)[d/dx(x-sinx)/d/dx(x^3)]=lim(x→0)[1-cosx]/[3x^2]（再次用洛必达）=lim(x→0)[sinx]/[6x]=1/64.解：原式=[lim(x→∞)(2x^2+x+1)/(3x^2-2x+5)]^lim(x→∞)x=[lim(x→∞)(2+1/x+1/x^2)/(3-2/x+5/x^2)]^∞=[2/3]^∞=e^(lim(x→∞)[(ln(2/3))*x])=e^(-∞)=e5.解：原式=lim(x→0)[(e^x-1)/x+(1-cosx)/x]（因e^x-1≈x,x→0）=lim(x→0)[(e^x-1)/x]+lim(x→0)[(1-cosx)/x]=1+1=26.解：原式=lim(x→1)[(x-1)/(x-1)]/[(lnx)/(x-1)]=lim(x→1)1/[(lnx)/(x-1)]=1/lim(x→1)[(lnx)/(x-1)]（用洛必达）=1/lim(x→1)[1/x/1]=1/1=17.解：原式=lim(x→0)[arctanx-sinx]/[x^3]/(x→0)[d/dx(arctanx-sinx)/d/dx(x^3)]=lim(x→0)[1/(1+x^2)-cosx]/[3x^2]（再次用洛必达）=lim(x→0)[-2x/(1+x^2)^2+sinx]/[6x]（再次用洛必达）=lim(x→0)[-2(1+x^2)^2-4x^2*2x+cosx]/[6(1+x^2)^2]（再次用洛必达）=lim(x→0)[-4x+4x]/[12(1+x^2)]=0/12=08.解：原式=lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]*lim(x→2)[(x-3)/(x^2-9)]=lim(x→2)[(x-2)(x+2)/(x-2)]*lim(x→2)[(x-3)/((x-3)(x+3))]=lim(x→2)(x+2)*lim(x→2)[1/(x+3)]=(2+2)*(1/(2+3))=4*1/5=4/59.解：令t=1/x，则x→0+时，t→+∞。原式=lim(t→+∞)[(1/t)*ln(1/t)]=lim(t→+∞)[