2026年四川省马尔康市高考数学强基计划试卷重点附答案

2026年四川省马尔康市高考数学强基计划试卷重点附答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若存在实数a使得f(a)＝0且f′(a)＝0，则a的取值集合为（）A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{0}解析：f′(x)＝3x²－3，由f′(a)＝0得3a²－3＝0，解得a＝±1。代入f(a)＝0，f(1)＝0，f(－1)＝0，故a的取值集合为{－1，1}。选项C正确。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b＝3，cosC＝，则△ABC的面积为（）A.3B.4C.5D.6解析：由余弦定理cosC＝，得c²＝a²＋b²－2abcosC＝4＋9－12×＝7，c＝√7。面积S＝½absinC＝½×2×3×sinC＝½×6×√1－cos²C＝½×6×√1－＝3。选项A正确。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1＝1，a_n＋1＝2a_n＋1（n∈N），则a_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：a_n＋1－a_n＝1，数列{a_n}是等差数列，公差d＝1。S_n＝na_1＋½(n－1)d＝n＋½(n－1)＝½n(n＋1)。a_5＝a_1＋4d＝1＋4＝5。选项A正确。4.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到1和－2的距离之和，最小值为两点间距离｜1－(－2)｜＝3。选项C正确。5.在直角坐标系中，点P(x，y)满足x²＋y²－2x＋4y－4＝0，则点P到直线3x－4y＋5＝0的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：圆方程(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圆心(1，－2)，半径r＝3。直线3x－4y＋5＝0到圆心的距离d＝｜3×1－4×(－2)＋5｜/√(3²＋(－4)²)＝18/5＝3.6＞r，故距离为3.6－3＝0.6。选项A正确。6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0，｜φ｜＜π/2）的图像关于直线x＝π/4对称，且f(0)＝－1，则f(π/2)的值为（）A.－1B.0C.1D.√2/2解析：由对称性得ω(π/4)＋φ＝kπ＋π/2，f(0)＝sinφ＝－1，φ＝3π/2。ω＝2。f(π/2)＝sin(2×π/2＋3π/2)＝sin(4π/2＋3π/2)＝sin(7π/2)＝sin(π/2)＝1。选项C正确。7.已知三棱锥A－BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到平面BCD的距离为h，则下列说法正确的是（）A.V＝½S•hB.V＝S•hC.V＝½ShD.V＝3Sh解析：三棱锥体积公式V＝½Bh＝½S•h。选项A正确。8.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)＝e^x－a，f′(1)＝e－a＝0，a＝e≈2.718。选项B最接近。9.在等比数列{a_n}中，a_3＝－1，a_5＝－2，则a_7的值为（）A.4B.－4C.8D.－8解析：q²＝a_5/a_3＝(－2)/(－1)＝2，q＝√2。a_7＝a_5q²＝(－2)×2＝－4。选项B正确。10.已知圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1，则直线y＝kx－1与圆C相交的充要条件是（）A.|k|＜1B.|k|≤1C.|k|＞1D.|k|＜2解析：圆心(2，3)，半径r＝1。直线到圆心距离d＝｜2k－3－1｜/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝1＋2i的模为|z|，则|z|²的值为________。参考答案：5解析：|z|＝√(1²＋2²)＝√5，|z|²＝5。2.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则cosA＋cosB＋cosC的值为________。参考答案：解析：由正弦定理a∶b∶c＝3∶4∶5，设a＝3k，b＝4k，c＝5k。cosA＝(b²＋c²－a²)/(2bc)＝(16k²＋25k²－9k²)/(40k²)＝6/10＝0.6。同理cosB＝5/10＝0.5，cosC＝3/10＝0.3。cosA＋cosB＋cosC＝1.4。3.已知函数f(x)＝x²－2x＋3，则f(x)在区间[－1，2]上的最小值为________。参考答案：2解析：f′(x)＝2x－2，f′(1)＝0。f(1)＝2，f(－1)＝6，f(2)＝3。最小值为2。4.在等差数列{a_n}中，若a_1＝－5，a_4＝－1，则a_10的值为________。参考答案：7解析：d＝(a_4－a_1)/(4－1)＝4/3。a_10＝a_1＋9d＝－5＋9×(4/3)＝7。5.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则向量a＋b的坐标为________。参考答案：(4，－2)解析：a＋b＝(1＋3，2－4)＝(4，－2)。6.已知函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝1处的切线方程为y＝mx＋b，则m＋b的值为________。参考答案：2解析：f′(x)＝1/(x＋1)，f′(1)＝1/2。切线方程y－ln2＝(1/2)(x－1)，即y＝(1/2)x＋ln2－1/2。m＋b＝1/2＋ln2－1/2＝ln2。7.已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4，则圆C在点(2，2)处的切线方程为________。参考答案：x＝2解析：圆心(1，2)，半径r＝2。点(2，2)在圆上，切线垂直于半径，斜率为0，方程为x＝2。8.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋n（n∈N），则a_5的值为________。参考答案：15解析：a_2＝a_1＋1＝2，a_3＝a_2＋2＝4，a_4＝a_3＋3＝7，a_5＝a_4＋4＝11。9.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为________。参考答案：10解析：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0。f(1)＝－1，f(－1)＝3，f(－2)＝1，f(2)＝10。最大值为10。10.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：(x－1)²＋(y＋1)²＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度为________。参考答案：2√3解析：圆心(1，－1)，半径r＝2。直线到圆心距离d＝｜1×1－2×(－1)＋1｜/√(1²＋(－2)²)＝4/√5。弦长AB＝2√(r²－d²)＝2√(4－4/5)＝2√(16/5)＝2√3.2≈2√3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a²＝b²，则a＝b。参考答案：×解析：a＝2，b＝－2时a²＝b²但a≠b。2.函数f(x)＝sin(x＋π/2)的图像与函数g(x)＝cosx的图像完全相同。参考答案：√解析：sin(x＋π/2)＝cosx。3.若数列{a_n}是等比数列，则{a_n²}也是等比数列。参考答案：√解析：设首项a_1，公比q，则a_n²＝a_1²q^(n－1)，仍为等比数列。4.若直线l₁：ax＋by＋c＝0与直线l₂：mx＋ny＋p＝0平行，则a/m＝b/n。参考答案：√解析：平行条件为am＝bn。5.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上连续。参考答案：×解析：单调递增不一定连续，如分段函数。6.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形为直角三角形。参考答案：√解析：3²＋4²＝5²。7.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|，则|z|²＝a²＋b²。参考答案：√解析：|z|＝√(a²＋b²)，|z|²＝a²＋b²。8.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝S_n－S_(n－1)，则{a_n}是等差数列。参考答案：×解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝a_n，矛盾。9.若圆C：(x－a)²＋(y－b)²＝r²与直线x＋y－1＝0相切，则圆心到直线的距离为r。参考答案：√解析：相切条件为｜a＋b－1｜/√2＝r。10.若函数f(x)在x＝a处取得极值，则f′(a)＝0。参考答案：√解析：极值点处导数为0（费马定理）。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)的极值点。参考答案：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，f′(－1)＝0。f(1)＝0，f(－1)＝0。极值点为x＝1，x＝－1。2.在△ABC中，若a＝3，b＝4，C＝60°，求△ABC的面积。参考答案：S＝½abcosC＝½×3×4×√3/2＝6√3。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n²＋n，求a_5的值。参考答案：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n²＋n)－[(n－1)²＋(n－1)]＝2n。a_5＝10。4.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：f′(x)＝e^x－a，f′(1)＝e－a＝0，a＝e≈2.718。5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，4)，求向量a＋b的坐标。参考答案：a＋b＝(2－3，－1＋4)＝(－1，3)。6.已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C在点(2，2)处的切线方程。参考答案：圆心(1，2)，半径r＝2。点(2，2)在圆上，切线垂直于半径，斜率为0，方程为x＝2。7.已知函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝1处的切线方程为y＝mx＋b，求m＋b的值。参考答案：f′(x)＝1/(x＋1)，f′(1)＝1/2。切线方程y－ln2＝(1/2)(x－1)，即y＝(1/2)x＋ln2－1/2。m＋b＝1/2＋ln2－1/2＝ln2。8.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：(x－1)²＋(y＋1)²＝4相交于A、B两点，求弦AB的长度。参考答案：圆心(1，－1)，半径r＝2。直线到圆心距离d＝｜1×1－2×(－1)＋1｜/√(1²＋(－2)²)＝4/√5。弦长AB＝2√(r²－d²)＝2√(4－4/5)＝2√(16/5)＝2√3.2≈2√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。参考答案：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0。f(1)＝－1，f(－1)＝3，f(－2)＝1，f(2)＝10。最大值为10，最小值为－1。2.在△ABC中，若a＝3，b＝4，C＝60°，求△ABC的周长。参考答案：由余弦定理c²＝a²＋b²－2abcosC＝9＋16－24×(√3/2)＝25－12√3。c＝√(25－12√3)。周长＝3＋4＋√(25－12√3)。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n²＋n，求a_5的值。参考答案：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n²＋n)－[(n－1)²＋(n－1)]＝2n。a_5＝10。4.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：f′(x)＝e^x－a，f′(1)＝e－a＝0，a＝e≈2.718。5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，4)，求向量a＋b的坐标。参考答案：a＋b＝(2－3，－1＋4)＝(－1，3)。6.已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C在点(2，2)处的切线方程。参考答案：圆心(1，2)，半径r＝2。点(2，2)在圆上，切线垂直于半径，斜率为0，方程为x＝2。7.已知函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝1处的切线方程为y＝mx＋b，求m＋b的值。参考答案：f′(x)＝1/(x＋1)，f′(1)＝1/2。切线方程y－ln2＝(1/2)(x－1)，即y＝(1/2)x＋ln2－1/2。m＋b＝1/2＋ln2－1/2＝ln2。8.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：(x－1)²＋(y＋1)²＝4相交于A、B两点，求弦AB的长度。参考答案：圆心(1，－1)，半径r＝2。直线到圆心距离d＝｜1×1－2×(－1)＋1｜/√(1²＋(－2)²)＝4/√5。弦长AB＝2√(r²－d²)＝2√(4－4/5)＝2√(16/5)＝2√3.2≈2√3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.C5.B6.C7.A8.B9.B10.D解析：1.由f′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，f(1)＝0，f(－1)＝0。2.由余弦定理cosC＝(b²＋c²－a²)/(2bc)＝，得c²＝7，c＝√7。3.由a_n＋1－a_n＝1得a_n＝a_1＋(n－1)×1＝1＋(n－1)＝n。a_5＝5。4.由f′(x)＝e^x－a＝0得a＝e≈2.718。5.圆心(1，－2)，半径r＝3。直线到圆心距离d＝｜3×1－4×(－2)＋5｜/√(3²＋(－4)²)＝18/5＝3.6＞r，故距离为3.6－3＝0.6。6.由对称性得ω(π/4)＋φ＝kπ＋π/2，f(0)＝sinφ＝－1，φ＝3π/2。ω＝2。f(π/2)＝sin(2×π/2＋3π/2)＝sin(7π/2)＝sin(π/2)＝1。7.三棱锥体积公式V＝½Bh＝½S•h。8.由f′(x)＝e^x－a＝0得a＝e≈2.718。9.由a_5/a_3＝q²＝2得q＝√2。a_7＝a_5q²＝(－2)×2＝－4。10.圆心(2，3)，半径r＝1。直线到圆心距离d＝｜2k－3－1｜/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2。二、填空题1.52.1.43.24.155.(4，－2)6.ln27.x＝28.119.1010.2√3解析：1.√5。2.由正弦定理a∶b∶c＝3∶4∶5，设a＝3k，b＝4k，c＝5k。cosA＝(16k²＋25k²－9k²)/(40k²)＝6/10＝0.6。同理cosB＝5/10＝0.5，cosC＝3/10＝0.3。cosA＋cosB＋cosC＝1.4。3.f′(x)＝2x－2，f′(1)＝0。f(1)＝2，f(－1)＝6，f(2)＝3。最小值为2。4.d＝(a_4－a_1)/(4－1)＝4/3。a_10＝a_1＋9d＝－5＋9×(4/3)＝7。5.a＋b＝(2－3，－1＋4)＝(－1，3)。6.f′(x)＝1/(x＋1)，f′(1)＝1/2。切线方程y－ln2＝(1/2)(x－1)，即y＝(1/2)x＋ln2－1/2。m＋b＝1/2＋ln2－1/2＝ln2。7.圆心(1，－1)，半径r＝2。直线到圆心距离d＝｜1×1－2×(－1)＋1｜/√(1²＋(－2)²)＝4/√5。弦长AB＝2√(r²－d²)＝2√(4－4/5)＝2√(16/5)＝2√3.2≈2√3。三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√解析：1.a＝2，b＝－2时a²＝b²但a≠b。2.sin(x＋π/2)＝cosx。3.a_n²＝a_1²q^(n－1)，仍为等比数列。4.平行条件为am＝bn。5.单调递增不一定连续，如分段函数。6.3²＋4²＝5²。7.|z|＝√(a²＋b²)，|z|²＝a²＋b²。8.a_n＝S_n－S_(n－1)＝a_n，矛盾。9.相切条件为｜a＋b－1｜/√2＝r。10.极值点处导数为0（费马定理）。四、简答题1.f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，f′(－1)＝0。f(1)＝0，f(－1)＝0。极值点为x＝1，x＝－1。2.S＝½abcosC＝½×3×4×√3/2＝6√3。3.a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n²＋n)－[(n－1)²＋(n－1)]＝2n。a_5＝10。4.f′(x)＝e^x－a，f′(1)＝e－a＝0，a＝e≈2.718。