第2课时 角的平分线

第2课时角的平分线教学目标课题6.3.2第2课时角的平分线授课人素养目标1.认识角的平分线及角的等分线，能通过折纸法画出一个角的平分线，培养几何直观.2.掌握度、分、秒的乘、除运算，提高运算能力.3.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.教学重点利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.教学难点1.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.2.度、分、秒的乘、除运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾导入，引出新课【回顾引入】前面的课时，我们就学过：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点就是线段的中点.如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫作线段AB的中点.类似地，我们把一个角折叠，会得到什么呢？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！【教学建议】教师主要引导，让学生思考后回答.设计意图通过回顾线段的中点，类比引出角的平分线的学习.活动二：实践探究，获取新知探究点角的平分线问题1如图，如果∠AOB＝∠BOC，类比线段的中点，∠AOB，∠BOC和∠AOC之间存在什么样的关系？填一填：∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝eq\f(1,2)∠AOC.概念引入：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.教师总结：问题2类似地，如图，OB，OC是∠AOD内的两条射线，当存在下列关系时，OB，OC是∠AOD的三等分线.∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝eq\f(1,3)∠AOD（或∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD）.【教学建议】（1）对于角的平分线的概念，主要是让学生结合图形来认识和理解，不要出现如“平分一个角的直线是角的平分线”等错误理解.对于画一个角的平分线，学生能用量角器通过计算度数来画就可以，本章不要求尺规作图.（2）学生独立思考，由学生代表发言，教师予以适当评价，这里注意帮助学生正确规范完成几何语言的书写.设计意图经过活动一的类比后，得出角的平分线和等分线等概念，利用折纸作角的平分线形象地展示角平分线的画法，培养学生动手操作的能力，加深对角的平分线及相关概念的理解，培养几何直观.教学步骤师生活动问题3（教材P175探究）如图，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.请简单描述操作方法.即，在一张半透明的纸上画出一个角，再将这个角对折，使其两边重合.以顶点为端点沿着折痕画出这条射线，即为该角的平分线.例1如图，∠AOC＝90°，OC平分∠BOD，且∠COD＝25°35′，求∠AOB的度数.分析：由射线OC平分∠BOD，∠COD＝25°35′，得∠BOC＝∠COD＝25°35′，从而求得∠AOB.解：因为OC平分∠BOD，∠COD＝25°35′，所以∠BOC＝∠COD＝25°35′.因为∠AOC＝90°，所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－25°35′＝64°25′.【对应训练】教材P176练习第2题.活动三：典例精析，补充新知例2（教材P175例3）把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′.答：每份是约51°26′的角.【对应训练】教材P175练习第1，3题.【教学建议】教师需强调度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分.教学中还可补充角度乘除运算的例题，强化学生的运算能力.设计意图结合具体实例讲解角度的除法运算.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.角的平分线是什么？其中有哪些数量关系？2.什么是角的等分线？其中有哪些数量关系？3.如何进行度、分、秒的乘除运算？【知识结构】【作业布置】1.教材P178习题6.3第3（4）（5），8，10，12题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课通过类比前面所学的线段中点的方式引出角的平分线和角的等分线的学习，进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，体会数学活动的成功经验，激发学习的热情，并借此学习让学生能够掌握并利用角的平分线的概念解决简单的问题.解题大招利用角的平分线进行角度的计算要计算一个角的大小，通常先考虑把所求角转化成其他角的和或差，所转化成的角尽可能是已知角或与角的平分线相关联的角.例1（方程思想）如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且∠COD＝33°.求∠AOB的度数.解：因为∠AOC∶∠BOC＝1∶4，所以可设∠AOC＝x°，则∠BOC＝（4x）°，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝（5x）°.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝（2.5x）°.因为∠COD＝∠AOD－∠AOC＝33°，所以2.5x－x＝33，解得x＝22，所以∠AOB＝（5x）°＝110°.例2（整体思想）如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数.解：（1）因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×120°＝60°.培优点与角平分线有关的分类讨论题例已知∠AOB，过点O引两条射线OC，OM，且OM平分∠AOC.（1）如图，若∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，且OC在∠AOB的内部.求∠MOB的度数.以下是求∠MOB的度数的解题过程，请你补充完整.解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°.因为OM平分∠AOC，所以∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝45°.所以∠MOB＝∠MOC＋∠BOC＝75°.（2）若∠AOB＝α，∠BOC＝β（其中α<β<90°），画出图形并直接写出∠MOB的度数（用含α，β的代数式表示）.解：画图如图①，∠MOB＝eq\f(α＋β,2)或画图如图②，∠MOB＝eq\f(β－α,2).解析：①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图①所示.因为∠AOB＝α，∠BOC＝β，所以∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝β－α.因为OM平分∠AOC，所以∠AOM＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(β－α,2)，所以∠MOB＝∠AOB＋∠AOM＝α＋eq\f(β－α,2)＝eq\f(α＋β,2).②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图②所示.此时∠MOB＝eq\f(β－α,2).所以∠BOM＝eq\f(α＋β,2)或eq\f(β－α,2).综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中,有时要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是()A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线2.淇淇想在自己房间的墙上钉一个直线型饰品挂架,用来挂自己喜欢的装饰物.为了固定饰品挂架,淇淇至少需要()钉子A.4根 B.3根 C.2根 D.1根3.下列说法与右边的几何图形相符的是()A.点D在线段CB的延长线上B.∠1可以表示成∠CC.射线BD与射线CD表示同一条射线D.∠1+∠ACD=180°4.如图,用5个大小相等的正方体搭成如图所示的三个立体图形,从哪个方向看这三个立体图形所看到的形状是一样的()A.前面 B.上面 C.左面 D.都不一样5.下图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料,小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成,现要将它折成一个正方体(相邻的两个小正方形之间至少有一条边相连),需要再剪去1个小正方形,则应剪去的小正方形的编号不能是()A.1 B.2 C.3 D.66.如图,C是线段AB上一点,D是AC的中点,E是CB的中点,若AD=3,AB=10,则DE=()A.2 B.5 C.6 D.87.若一个角的补角是它的余角的3倍,要求这个角的度数时,我们可以用方程思想去解决.设这个角的度数为x°,可得一元一次方程()A.x°-180°=3(x°-90°) B.90°-x°=3(180°-x°)C.180°-x°=3(90°-x°) D.x°-90°=3(x°-180°)8.如图,在直线PQ上找一点C,且使PC=3CQ,则点C应()A.在点P,Q之间 B.在点P左边C.在点Q右边 D.在点P,Q之间或在点Q右边9.下列度、分、秒运算中,正确的是()A.48°39'+67°31'=115°10' B.90°-70°39'=20°21'C.21°17'×5=185°5' D.180°÷7≈25°43'(精确到分)10.如图,在O点的观测站测得渔船A位于东北方向,渔船B位于南偏西30°方向,为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益,渔船C恰好位于∠AOB的平分线上,则渔船C相对观测站O的方向为()A.南偏东52.5° B.南偏东37.5°C.南偏东53.5° D.南偏东82.5°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.20.5°=°'.

12.如图,A,B,C三点共线,BD是∠ABE的平分线,BF是∠EBC的平分线.已知∠ABD=28°32',则∠FBC=.

13.如图,AB=20,点C,D,E在AB上,且CD=4,AE=13AC,则2BE+ED=.14.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,测量得∠AOB是∠COD的4倍,那么∠1的大小为°.

15.如图,在直线AB上有一点C,AC=13BC=20cm.有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s的速度从A,C两点同时出发向B方向运动,经过s,两只蚂蚁与点C的距离相等.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图,点A,B,M,C,D在同一条直线上,M为AD的中点,BM=6cm,AB=CM,BM=2CM,求AD的长.解:因为BM=6cm,BM=2CM,所以CM=cm.

因为AB=CM,所以AB=cm.

所以AM=AB+=3+=cm.

因为M为AD的中点,所以AD=2=2×=cm.

17.按要求完成画图及作答:(1)如图,用适当的语句表述点M与直线l的关系:;

(2)如图,画射线PM,画直线QM;(3)如图,延长PN至D,使PD=2PN.18.把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起(三角尺分别含30°,45°,60°,90°角,点A,C,D在一条直线上).(1)求∠ACE的度数;(2)若CF是∠BCE的平分线,求∠ECF的度数.19.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.如图,在圆形钟面上,把一周等分成12个大格,每个大格等分成5个小格,分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动.(本题中的角均指小于180°的角)(1)分针每分钟转度,时针每分钟转度.当时间为3:30时,分针和时针的夹角为度.

(2)求2:00开始后几分钟分针第一次追上时针.综合训练1.A2.C3.D4.A解析:从前面看到的图形如下:从上面看到的图形如下:从左面看到的图形如下:故选A.5.D解析:根据只要有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图,故应剪去的小正方形的编号是1或2或3,故选D.6.B解析:因为D是线段AC的中点,所以DC=12AC因为E是线段BC的中点,所以CE=12BC因为AB=10,所以DE=DC+CE=12AB=5故选B.7.C解析:设这个角的度数为x°,则这个角的余角的度数为(90°-x°),这个角的补角的度数为(180°-x°),由题意,得180°-x°=3(90°-x°),故选C.8.D解析:如图,由图可知,当点C在点P的左边时,C3Q>PC3,不满足题意.当点C在点P,Q之间时,存在点C1,满足PC1=3C1Q.当点C在点Q右边时,存在点C2,满足PC2=3C2Q.综上所述,点C在点P,Q之间或在点Q右边.9.D解析:48°39'+67°31'=115°70'=116°10',故A选项错误;90°-70°39'=19°21',故B选项错误;21°17'×5=105°85'=106°25',故C选项错误;180°÷7≈25°43'(精确到分),故D选项正确.10.A解析:根据题意,可得∠AOB=180°-45°+30°=165°.因为OC平分∠AOB,所以∠BOC=12∠AOB=82.5°所以82.5°-30°=52.5°.可得渔船C位于观测站O的南偏东52.5°方向上.故选A.11.203012.61°28'解析:因为∠ABD=28°32',BD是∠ABE的平分线,所以∠ABE=2∠ABD=57°4'.由补角的性质,可得∠EBC=122°56'.因为BF是∠EBC的平分线,所以∠FBC=12∠EBC=61°28'13.44解析:设AC=3x,则AE=13AC=x因为AB=20,CD=4,所以BD=AB-CD-AC=20-4-3x=16-3x,BE=AB-AE=20-x,所以ED=AB-AE-DB=20-x-(16-3x)=2x+4,所以2BE+ED=2(20-x)+(2x+4)=44.1