第2课时　直角三角形中两锐角的关系

数学八年级上册(RJ)第2课时直角三角形中两锐角的关系教师备课素材示例●情景导入如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝60°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？【教学与建议】教学：创设有关直角三角形的问题情景体现了几何知识在实际生活中的应用．建议：学生可以结合三角形内角和知识解答，体现了新旧知识之间的联系，应用本节所学知识“直角三角形的两个锐角互余”解答更显简洁．●归纳导入我们学习几何知识，经常先学习一般图形，再重点学习特殊图形，先学习两角和的计算，再重点学习互余、互补．比如先学习两条直线相交，再重点学习两条直线垂直；先学习任意图形中的“三线八角”，再重点学习平行线中的“三线八角”．学习三角形也是一样的“套路”，先学习一般的三角形，再重点学习特殊的三角形，那么“特殊的三角形”有哪些呢？直角三角形有哪些特殊的性质呢？【教学与建议】教学：通过对教材知识体系的编排，让学生明白学习几何知识的“一般套路”．建议：教师列举出几个“一般——特殊”的知识体系后，可以让学生仿照说出几个类似的例子．特殊的三角形有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等．·命题角度1直角三角形的性质在直角三角形中，利用“直角三角形的两个锐角互余”解决有关角度的问题．【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝20°，则∠A的度数为(D)A．40°B．60°C．35°D．55°【例2】如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC的度数．解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.∵∠BDC＝∠EDF＝50°，∴∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－50°－30°＝100°.·命题角度2直角三角形的判定判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形．【例3】在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有__①②__．(填序号)【例4】如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠1＋∠A＝90°.又∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．·命题角度3直角三角形的应用利用直角三角形两个锐角互余解决实际问题．【例5】如图，铁塔CD垂直竖立于地面，从A处观测铁塔顶部D处的仰角∠CAD＝45°，从B处观测D处的仰角∠CBD＝60°，点A，B，C在同一直线上．求∠ADB的度数．解：由题意，得∠ACD＝90°，∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，在△ACD中，∠ADC＝90°－∠CAD＝90°－45°＝45°.在△BCD中，∠BDC＝90°－∠CBD＝90°－60°＝30°，∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝45°－30°＝15°.一个火柴游戏你能只用六根火柴摆出12个直角三角形吗？看到这个问题，可能很多同学都是随口就回答，不可能！但真的是这样吗？请大家不妨看下面的图：通过清点发现，确实有12个直角三角形，你也可以用一张纸片进行验证，想一想怎么说明这12个三角形都是直角三角形．高效课堂教学设计1．了解直角三角形两个锐角的关系．2．掌握直角三角形的判定．▲重点了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定．▲难点掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算．◆活动1新课导入三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．◆活动2探究新知1．教材P13练习下面的内容．提出问题．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？(2)你能证明吗？如何证明？学生完成并交流展示．2．教材P14思考．在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形．◆活动4例题与练习例1教材P14例3.例2如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B.∵∠BAC＋∠B＝90°，∴∠BAC＋∠AOE＝90°.∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．例3(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.练习1．教材P14练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(B)A．15°B．20°C．25°D．30°eq\o(\s\up7(),\s\do5((第2题图)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((第3题图)))3．如图，将有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__．4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线，∴∠PEF＝eq\f(1,2)∠BEF，∠PFE＝eq\f(1,2)∠DFE，∴∠PEF＋∠PFE＝eq\f(1,2)(∠BEF＋∠DFE)＝90°，∴△EPF为直角三角形．◆活动5课堂小结1．直角三角形的性质——两个锐角互余．2．直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形．1．作业布置(1)教材P16～17习题13.3第4，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°正五边形的一个内角是108°,正方形的一个内角是90°,所以∠α+90°+90°+108°=360°,解得∠α=72°.12.225°∵∠A=45°,∴∠A的外角是180°-45°=135°.∵三角形的外角和是360°,∴∠1+∠2=360°-135°=225°.三、解答题13.解∵FG∥BD,∴∠2=∠DBC.∵∠1=∠2,∴∠1=∠DBC,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠DBC=12∠ABC=35°14.解因为DF⊥AB,所以∠AFG=90°.在△AFG中,∠AGF=180°-∠A-∠AFG=180°-40°-90°=50°,所以∠CGD=∠AGF=50°.所以∠ACB=∠CGD+∠D=50°+50°=100°.15.解(1)甲对,乙不对.当θ能取360°时,(n-2)×180=360,解得n=4.当θ能取630°时,(n-2)×180=630,解得n=112因为n为整数,所以θ不能取6