第2课时　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等

数学八年级上册(RJ)第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教师备课素材示例●复习导入【问题1】三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角；三个边；两边一角；两角一边．到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？各是什么？前面我们已经研究了已知两边一角的情况，今天我们接着研究已知两角一边是否可以判定两个三角形全等．【问题2】三角形中已知两角一边有几种可能？三角形的两个内角分别是40°和60°，它们的夹边为5cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下来，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么结论？【教学与建议】教学：通过设置富有阶梯性的问题，引导学生自主学习，发现问题，解决问题．建议：讲解时让学生类比“SAS”归纳“ASA”．引导学生利用尺规作图法，作出△A′B′C′≌△ABC.●悬念激趣创设情境：一天，小勋不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，为了划一块完全一样的玻璃，他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店，小勋的想法可行吗？若可行，你认为小勋应该拿哪块玻璃去呢？为什么？请同学们讨论一下．（思考后请同学们回答）【教学与建议】教学：创设生活情境，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．建议：学生回答后，教师应给予鼓励，不做解释与评价，留一个悬念而后展开新课．·命题角度1依据“ASA”或“AAS”补充判定两个三角形全等的条件根据“AAS”或“ASA”全等的条件，找出缺少的一个条件．【例1】如图，在△ABC和△DEF中，已知∠BCA＝∠EFD，∠B＝∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件(D)A．∠A＝∠DB．AB＝FDC．AC＝EDD．BC＝EFeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))【例2】如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD全等.（选填“全等”或“不一定全等”）·命题角度2利用“ASA”或“AAS”证明两个三角形全等找出两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应选择判定方法“ASA”或“AAS”．【例3】如图，AB＝EA，AB∥DE，点C在AE上，∠ECB＝70°，∠D＝110°.求证：△ABC≌△EAD.证明：∵∠ECB＝70°，∴∠ACB＝110°.又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D.∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E.在△ABC和△EAD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠D，,∠CAB＝∠E，,AB＝EA，))∴△ABC≌△EAD(AAS).【例4】如图，点B，C，E，F在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BF＋CF＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠ACB＝∠DFE，))∴△ABC≌△DEF(ASA).·命题角度3利用全等三角形的判定与性质计算或证明角（线段）相等通常先判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定线段（或角）之间的相等关系，最后将所求线段（或角）转化为已知量进行计算．【例5】如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3.·命题角度4利用全等三角形证明线段的和差问题当一个图形中有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等．证明线段的和差问题通常采用的方法有等量代换法和截长补短法．【例6】如图，已知AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，∠BAE＝35°，AE∥CB，AC，DE交于点F.(1)求∠DAC的度数；(2)猜想线段AF与BC的数量关系，并说明理由．解：(1)∠DAC＝35°；(2)BC＝2AF.（通过证△ADG≌△BAC，得DG＝AC，AG＝BC.∵AC＝AE，∴DG＝AE，再证△AEF≌△GDF，得AF＝FG，∴AF＝eq\f(1,2)AG＝eq\f(1,2)BC，即BC＝2AF.）高效课堂教学设计1．理解并掌握三角形全等的“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法．2．学会运用“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法进行简单的证明．▲重点掌握三角形全等的“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法．▲难点运用“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法进行简单的证明．◆活动1新课导入继续上节课的问题：如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块大小、形状完全相等的玻璃，那么最省事的办法是带(C)A．①B．②C．③D．①和③◆活动2探究新知1．教材P34探究3.提出问题：(1)如果AB＝2cm，∠A＝80°，∠B＝40°，你能画出这个图形吗？(2)你能画出几个这样的图形？为什么？(3)如果A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，那么△A′B′C′与△ABC有什么样的关系？学生完成并交流展示．2．教材P35思考．提出问题：(1)从已知条件看，可用“ASA”直接证明两个三角形全等吗？(2)如果三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，这两个三角形全等吗？(3)通过上面的证明你能得出什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.◆活动4例题与练习例1教材P35例2.例2如图，点A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF.证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，∴AD＝BC.在△AED和△BFC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AD＝BC，,∠ADE＝∠BCF，))∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF.例3如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD相交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．解：(1)在△ABE和△DCE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AEB＝∠DEC，,AB＝DC，))∴△ABE≌△DCE(AAS)；(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，AE＝DE，∴AC＝BD，易证△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.练习1．教材P36练习第1，2题．2．如图，AB＝AC，要证明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是(D)A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE3．如图，已知BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C，D.若要根据“AAS”判定△ABC≌△ABD，应添加一条件是∠CAB＝∠DAB或∠CBA＝∠DBA.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE是∠ACB内的一条射线，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC≌△CDA.证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠ACD.又∵CB＝AC，∴△BEC≌△CDA(AAS).◆活动5课堂小结1．“角边角(ASA)”的认识及运用．2．“角角边(AAS)”的认识及运用．1．作业布置(1)教材P44习题14.2第4，5，6题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.