第4课时　尺规作图

数学八年级上册(RJ)第4课时尺规作图教师备课素材示例●情景导入师：“什么是尺规作图？”生：“尺规作图就是只用没有刻度的直尺和圆规画图．”师提出：“豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？”生思考：“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”【教学与建议】教学：通过让学生处理身边经历过的事情，培养学生善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力，自然导入“如何利用尺规作一个角等于已知角”．建议：找两名学生板演示范，其他学生在练习本上完成，完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言．●复习导入1.证明两个三角形全等的方法有边角边、角边角、角角边、边边边.2．尺规作图时，用没有刻度的直尺画直线、射线和线段，用圆规画弧和圆．3．已知：线段a.求作线段AB，使得AB＝a.【教学与建议】教学：复习证明三角形全等的方法和尺规作图，为理解应用三角形全等尺规作角和三角形做铺垫，训练学生的动手动口能力．建议：分组抢答，互相纠错，教师适时鼓励．·命题角度1作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角．利用“SSS”证明两个三角形全等．再利用全等三角形的对应角相等得到画出的角等于已知角．【例1】已知∠AOB，用尺规作一个角∠A′O′B′等于已知角，∠A′O′B′的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB＝∠A′O′B′所用到的三角形全等的判定方法是(D)A．SASB．ASAC．AASD．SSS【例2】已知∠AOB.求作一个角，使它等于∠AOB.作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′；(4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.·命题角度2用尺规作三角形已知两边及其夹角依据“SAS”作三角形，已知两角一边依据“ASA”“AAS”作三角形，已知三边依据“SSS”作三角形．【例3】已知∠α和线段a，c.求作△ABC，使∠B＝∠α，BC＝a，BA＝c.下面作图的步骤不合理的是(D)A．①作∠B＝∠α，②截取BC＝a，BA＝c，③连接ACB．①作BC＝a，②作∠B＝∠α，③截取BA＝c，④连接ACC．①作BA＝c，②作∠B＝∠α，③截取BC＝a，④连接ACD．①作BC＝a，②作BA＝c，③作∠B＝∠α，④连接AC【例4】已知：线段a，c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠β.（不写作法，保留作图痕迹）．eq\a\vs4\al(解：如图，△ABC即为所作．)eq\a\vs4\al()【例5】如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．回答下列问题：(1)只要从模具片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A′B′C′模具？请简要说明理由；(2)按尺规作图的要求，在框内正确作出△A′B′C′图形，保留作图痕迹，不写作法．解：(1)要从模具片中度量出边BC的长度，∠B及∠C的大小，就可以到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A′B′C′模具．因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；(2)如图所示．高效课堂教学设计1．经历尺规作图实践操作过程，能根据条件作出相等的角．2．利用已知两角及其夹边，两边及其夹角用尺规作出三角形．▲重点能根据条件尺规作图．▲难点探索作图过程．◆活动1新课导入1．尺规作图中，直尺的功能是什么？圆规的功能是什么？2．如何作一条线段等于已知线段？方法一：度量法，先量出已知线段的长度，再画出一条和这条线段长度相等的线段；方法二：尺规法，用直尺画一条射线，用圆规在射线上截取线段等于已知线段．3.已知一个三角形三条边分别为a，b，c，求作这个三角形．作法：如图，(1)先作线段BA＝c；(2)分别以点B，点A为圆心，以a，b为半径画弧交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC即为所求．◆活动2探究新知1．教材P39思考（作一个角等于已知角）．提出问题：(1)如何作一个角等于已知角？(2)如何用直尺和圆规确定已知角∠AOB的大小？(3)观察图14.2－15，你发现了什么？(4)△OCD与△O′C′D′全等吗？为什么？学生完成作图并交流展示．2．教材P40例4（过一点作已知直线的平行线）．提出问题：(1)如何过一点作已知直线的平行线？(2)作图的依据是什么？(3)你还有其他的作图方法吗？学生完成作图并交流展示．3．教材P40例5（已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形）．提出问题：(1)已知三角形的两边及其夹角，怎样用尺规画出这个三角形？(2)根据给出的条件作出的三角形全等吗？理由是什么？学生完成作图并交流展示．◆活动3知识归纳1．用尺规作一个角等于已知角的依据是全等三角形的“SSS”．2．用尺规作三角形的依据是全等三角形的“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”．◆活动4例题与练习例1教材P40例4.例2已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图，∠AOC即为所求．例3尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）.如图，已知线段a和∠α，求作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α.解：如图，△ABC即为所求．练习1．教材P41练习第1，2题．2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(B)A.两角及其夹边B．两边及其夹角C．两角及一角的对边D．两边及一边的对角3．如图，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.作法：(1)作一条线段AB＝a；(2)分别以A，B为圆心，以2a为半径画弧，两弧交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．4．如图，已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC＝∠O.（不写作法，保留作图痕迹）1．作业布置(1)教材P44习题14.2第9，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.(2)证法一∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,AD=