第3课时　多项式与多项式相乘

数学八年级上册(RJ)第3课时多项式与多项式相乘教师备课素材示例●情景导入拿出准备好的硬纸板，画出如图所示的图形，并标上字母．根据图中的数据，这个长方形的面积可以表示为(m＋b)(n＋a).请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开，分成两部分，如图，剪开之后，求出第一块的面积为m(n＋a)，第二块的面积为b(n＋a)，它们的和为m(n＋a)＋b(n＋a).继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图，求这四块长方形的面积S1＝mn，S2＝nb，S3＝am，S4＝ab，它们的和为S＝mn＋nb＋am＋ab.依据上面的操作中求得的图形面积，探索(m＋b)(n＋a)应该等于什么？【教学与建议】教学：通过动手操作，培养学生的实践应用能力，并让学生体会数形结合的数学思想．建议：根据长方形面积公式的运用，引导学生体会多项式与多项式相乘的法则．●归纳导入前面我们学习了单项式乘单项式及单项式乘多项式，那么怎么计算形如(a＋b)(m＋n)这样的式子呢？可以把某个多项式运用整体思想看作一个单项式，然后运用单项式乘多项式的法则运算．(a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.【归纳】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【教学与建议】教学：利用单项式乘单项式及单项式乘多项式的运算方法，直接计算多项式乘多项式．建议：引导学生把(m＋n)看成一个整体，两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘的问题．·命题角度1多项式乘多项式的运算多项式乘多项式，实际上是转化为单项式与单项式的乘法运算来完成的．【例1】计算(x＋2)(x＋3)的结果为(B)A．x2＋6B．x2＋5x＋6C．x2＋3x＋6D．x2＋2x＋5【例2】下列各式中，结果等于x2＋4x－12的是(A)A．(x＋6)(x－2)B．(x－6)(x＋2)C．(x＋6)(x＋2)D．(x－6)(x－2)【例3】（－3x＋eq\f(1,2)）（2x－eq\f(1,3)）＝－6x2＋2x－eq\f(1,6).【例4】计算：(－3x＋2b)·(2x－4b).解：原式＝(－3x)·2x＋(－3x)·(－4b)＋2b·2x＋2b·(－4b)＝－6x2＋12bx＋4bx－8b2＝－6x2＋16bx－8b2.·命题角度2与多项式乘法有关的求值问题利用多项式与多项式相乘求整式的值，主要有以下五种类型：①化简求值型；②缺项求值型；③对应系数求值型；④变形代入求值型；⑤错解分析求值型．灵活根据题型运用法则计算．【例5】(x＋2m)(2x－3)－5x的计算结果中不含关于字母x的一次项，则m等于(D)A．－1B．－2C．0D．2【例6】若(x－2)(x＋1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于(C)A．1B．－2C．－3D．3【例7】已知mn＝m＋n，则(m－1)(n－1)＝1.【例8】求(x＋2)(x－2)－x(x－1)的值，其中x＝－2.解：原式＝x2－2x＋2x－4－x2＋x＝x－4，当x＝－2时，原式＝－6.【例9】小轩计算一道整式乘法的题：(x＋m)(5x－4)，由于小轩将第一个多项式中的“＋m”抄成“－m”，得到的结果为5x2－34x＋24.(1)求m的值；(2)请计算出这道题的正确结果．解：(1)由题意，得(x－m)(5x－4)＝5x2－4x－5mx＋4m＝5x2－34x＋24，∴－4－5m＝－34，∴m＝6；(2)(x＋6)(5x－4)＝5x2－4x＋30x－24＝5x2＋26x－24.·命题角度3多项式乘多项式的几何应用先用式子表示图形的长、宽，再利用面积（或体积）公式求面积（或体积）．【例10】如图，长方形ABCD的面积为x2＋5x＋6（用含x的式子表示）．【例11】求图中物体的体积（图中数据单位：cm）．解：(x·3x＋x·2y)(5x＋2)＝(3x2＋2xy)(5x＋2)＝15x3＋10x2y＋6x2＋4xy(cm3).答：该物体的体积为(15x3＋10x2y＋6x2＋4xy)cm3.高效课堂教学设计1．理解并掌握多项式乘多项式的法则．2．会运用法则，熟练进行多项式乘多项式的运算．3．通过运算理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三者之间的关系．▲重点运用多项式乘以多项式的法则进行计算．▲难点理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三者之间的关系．◆活动1新课导入1．计算：(1)(2a－3b)·(－3a)＝－6a2＋9ab；(2)(－3x2)(－x2＋2x－1)＝3x4－6x3＋3x2.2．化简：eq\f(1,2)x3·(－2x)2－2x(3x－2x4)＝－6x2＋6x5.◆活动2探究新知1．教材P106问题2.提出问题：(1)怎样求扩大后绿地的面积？你能用多少种方法求解？(2)如果将扩大后的绿地看作一个大长方形，从图中你能找出它的长和宽吗？(3)知道长和宽，能否根据公式直接求出面积？列出的式子是什么？根据所学知识能否算出结果？(4)除此之外，还有其他方法求扩大后绿地的面积吗？能否将大长方形分成多个小长方形来求解？(5)用两种方法求出的式子可以直接划等号吗？根据划等号的两个式子能得出什么结论？学生完成并交流展示．2．计算：(a＋b)(p＋q).提出问题：通过学习单项式乘多项式，我们能否将p＋q看作一个整体，运用单项式乘多项式的法则进行求解．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.2．多项式与多项式相乘，所得结果仍然为多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式项数之积．◆活动4例题与练习例1教材P107例3.例2计算：(1)(3x＋7)(3x－7)＋2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－1))；(2)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)；(3)5y2－(y－2)(3y＋1)－2(y＋1)(y－5)；(4)(2x－x2－3)(x3－x2－2).解：(1)原式＝12x2－2x－49；(2)原式＝－15x2＋10xy－y2；(3)原式＝13y＋12；(4)原式＝－x5＋3x4－5x3＋5x2－4x＋6.例3(1)先化简，再求值：3x(2x＋1)－(2x＋3)(x－5)，其中x＝－2；解：原式＝4x2＋10x＋15.当x＝－2时，原式＝11；(2)先化简，再求值：y(x＋y)＋(x＋y)(x－y)－x2，其中x＝－2，y＝eq\f(1,2).解：原式＝xy.当x＝－2，y＝eq\f(1,2)时，原式＝－1.练习1．教材P107练习第1，2，3题．2．要使(4x－a)(x＋1)的积中不含有x的一次项，则a等于(D)A．－4B．2C．3D．43．若a＋b＝3，ab＝2，则代数式(a－2)(b－2)的值是0.4．某校操场原来的长是2xm，宽比长少10m，现在把操场的长与宽都增加了5m，则整个操场的面积增了(20x－25)m2.5．求出使(3x＋2)(3x－4)＞9(x－2)(x＋3)成立的非负整数解．解：原不等式可化为9x2－12x＋6x－8＞9x2＋27x－18x－54，即15x＜46，解得x＜eq\f(46,15).∵x为非负整数，∴x可取0，1，2，3.◆活动5课堂小结1．多项式乘多项式法则．2．多项式乘多项式法则的应用．1．作业布置(1)教材P110习题16.2第3题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+