2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市慈吉实验学校九年级（上）核心素养数学试卷（1月份）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市慈吉实验学校九年级（上）核心素养数学试卷（1月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二次函数y=2（x+3）2-5的顶点坐标是（）A.（3，-5） B.（-3，5） C.（-3，-5） D.（2，5）2.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（）A. B. C. D.3.如果正十边形的边长为a,那么它的外接圆半径为（）A. B. C. D.4.抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A.y=（x+1）2+3 B.y=（x+1）2-3 C.y=（x-1）2-3 D.y=（x-1）2+35.在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC边上的中点，以D为圆心，DB为半径作⊙D，则点A与⊙D的位置关系为（）A.点A在⊙D内 B.点A在⊙D上 C.点A在⊙D外 D.不能确定6.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A.π-1

B.-1

C.π-

D.-7.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为（）

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

8.观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是（）A.2a2-2a B.2a2-2a-2 C.2a2-a D.2a2+a9.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AEFG，点D在EF边上，BE与CF交于点H，则BH的长为（）A.

B.

C.

D.

10.如图1，D是△ABC内部一点，P从点A出发，依次沿AB，BC，CA三边匀速运动，设点P的运动路程为x,DP2为y,y关于x的函数图象如图2所示，其中E（a,a2），F（a+m,a2），G（a+m+n,a2）分别为三段曲线的最低点.下列选项正确的是（）

A.DA的长为2a B.D为△ABC的重心

C.△ABC的周长为2m+2n D.△ABC的面积为二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若，其中b+2d-f=8，则a+2c-e的值为

.12.一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有

个黄球．13.定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=

．14.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，对角线BD平分∠ADC，AC=AB，AC⊥CD，则sin∠ABC的值为

.15.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于（t,0），（t-1，0），若0＜t＜2，则b+c的取值范围为

.16.如图，△ABC为正三角形，点D，E分别在BC，AC边上，CD=AE，AD与BE交于点F，G为△ABC重心，若GF=FA，则的值为

.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：sin60°-cos45°+tan30°.18.(本小题6分)

中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率.19.(本小题6分)

如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1(1)在图（1）中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△CDE(2)在图（2）中找格P，使以格点P、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形20.(本小题8分)

某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m,倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m,倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）

（1）求两滑梯的高度差；

（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长.（结果精确到0.01m.参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）21.(本小题8分)

为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．

（1）求y关于x的函数表达式．

（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？22.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC中点，过点A作DE的垂线，垂足为F(1)求证：DE为⊙O的切线(2)若DF=2DC，AB=1，求AF的长23.(本小题10分)

如图1，抛物线y=-x2+（a-1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求点A的坐标(2)如图2，过点A作BC的平行线交抛物线于点D，点E在CB延长线上，∠DBE=∠AEB，求DE的长．（用含a的代数式表示）(3)在（2）的条件下，若△ADE的面积为，求a的值24.(本小题12分)

如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，延长BD至E，连结AE，∠BAE=90°，作AF⊥BD，垂足为F，AD=EF．

(1)求证：AC=AE(2)如图2，当圆心O在AF边上时，求sinE(3)如图3，AC与BD交于点G，连结CE，若EC=EG，CG=2，求直径AC的长

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】4

12.【答案】15

13.【答案】10

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：原式=-+

=-．

18.【答案】解：设《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，

树状图如下所示，

由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有2种，

∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为．

19.【答案】【小题1】如图（1）中，△CDE即为所求【小题2】如图（2）中，△PCB即为所求．

20.【答案】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，

∵sin∠B=，

∴AC=AB×sin∠B=AB×sin40°≈21×0.643=13.503m,

∴AC-DF=13.503-11=2.503≈2.50m,

答：两滑梯高度差为2.50m；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，

∵cos∠B=，

∴BC=ABcos∠B=ABcos40°≈21×0.766=16.086m,

在Rt△EFD中，∠DFE=90°，∠DEF=32°，

∵tan∠DEF=，

∴，

∴BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6=36.686≈36.69m,

答：BE长36.69m.

21.【答案】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，

∴y=4-0.5（x-2）=-0.5x+5，

答：y关于x的函数表达式为y=-0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；

（2）设每平方米小番茄产量为W千克，

根据题意得：W=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x=-0.5（x-5）2+12.5，

∵-0.5＜0，

∴当x=5时，W取最大值，最大值为12.5，

答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．

22.【答案】【小题1】证明：如图，在Rt△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，OD，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，

∴点E是BC的中点，

∴，

∴∠BDE=∠CBD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠CBD+∠OBD=∠ABC=90°，

∴∠BDE+∠ODB=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD半径⊥DE，

∴DE为⊙O的切线【小题2】解：∵OD⊥EF，

∴∠ODF=90°，

∴∠ODA+∠ADF=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠OAD+∠ADF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠CAB+∠C=90°，

∴∠ADF=∠C，

∵AF⊥EF，

∴∠F=90°，

∴∠F=∠BDC，

∴△ADF∽△BCD，

∴，

∴AF=2BD，AD=2BC，

设BC=x,则AD=2x,

∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°，

∠ABD+∠BAD=180°-∠ADB=90°，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BDC=∠ADB=90°，

∴△BCD∽△ABD，

∴，即，

∴BD=2x2，

在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，

∴（2x）2+（2x2）2=1，

解得：或（不合题意，舍去），

∴，

∴

23.【答案】【小题1】抛物线y=-x2+（a-1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），

当y=0时，得：-x2+（a-1）x+a=0，

∴（x+1）（x-a）=0，

解得：x1=-1，x2=a,

∴A（-1，0），B（a,0）【小题2】∵A（-1，0），B（a,0），

∴AB=a-（-1）=a+1．

∵AD∥CE，

∴∠EAD=∠AEB，

∵∠DBE=∠AEB，

∴∠EAD=∠DBE，

∴点A，B，E，D四点共圆，

∴∠ABD=∠AED，

∴∠ABE+∠DBE=∠AED+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEB，

在△AEB和△DBE中，

，

∴△AEB≌△DBE（ASA），

∴DE=AB=a+1【小题3】抛物线y=-x2+（a-1）x+a与y轴交于点C，

当x=0时，得：y=a,

∴C（0，a），

设直线BC的解析式为y=kx+b,将点B，点C的坐标分别代入得：

，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=-x+b,

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为y=-x+b′，将点A的坐标代入得：

-（-1）+b′=0，

解得：b′=-1，

∴直线AD的解析式为y=-x-1，

联立得：，

解得：，，

∴D（a+1，-a-2）．

∵B（a,0），C（0，a），

∴BO=CO=a,

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠BCO=∠CBO=45°，

∴∠ABE=180°-∠CBO=135°，

由（2）有∠DEB=∠ABE=135°，

∴∠DEB+∠BCO=135°+45°=180°，

∴DE∥y轴，

∵D（a+1，-a-2），DE=a+1，

∴E（a+1，-1），

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：或（不合题意，舍去）

24.【答案】【小题1】证明：∵AC是直径，

∴∠ADC=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠AFE=90°，

∴∠ADC=∠AFE，

∵∠BAE=90°，

∴∠ABE+∠E=90°，

∵∠EAF+∠E=180°-∠AFE=90°，

∴∠ABE=∠EAF，

∵，

∴∠ACD=∠ABD，

∴∠ACD=∠EAF，

在△ACD和△EAF中，

，

∴△ACD≌△EAF（AAS），

∴AC=AE【小题2】解：设⊙O的半径为r,OF=n,

则AO=CO=r,AC=2r,AF=AO+OF=r+n,CF=CO-OF=r-n,

由（1）同理可得△ACD≌△EAF（AAS），

∴AE=AC=2r,CD=AF=r+n,

∵AC⊥BD，

∴∠CFD=90°，

∵AC是直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠CFD=∠ADC，

∵∠FCD=∠DCA，

∴△CDF∽△CAD，

∴，即，

可化为：，

解得：或（不合题意，舍去），

在Rt△AEF中，【小题3】解：设AG=x,则AC=AG+CG=x+2，

由（1）有AE=AC=x