贵州省毕节市2025~2026学年高一下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.3.设复数，，则的虚部为（）A. B. C. D.4.已知角的终边经过点，则角的余弦值为（）A. B. C. D.5.非遗是地方文化延续的重要载体，某中学收集了三类非遗手工艺品，大方漆器有80件、纳雍箐苗服饰有60件、威宁彝族撮泰吉道具摆件有40件.现采用分层抽样的方法从这三类非遗手工艺品中抽取一个容量为9的样本，且在各层中按比例分配样本，则大方漆器应抽取的件数为（）A.1 B.2 C.3 D.46.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（）A. B. C. D.7.已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（）A. B. C. D.8.若，，，则的最小值为（）A. B. C. D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.，B.“”是“”的必要条件C.若，，，则是的充分不必要条件D.命题“，”的否定是“，”10.如图，在长方体中，，，，则（）A.三棱锥的体积为B.三棱柱的体积为C.三棱锥的外接球的体积为D.长方体所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为11.下列说法正确的是（）A.若向量，则B.若向量，且在上的投影向量为，则C.在中，点在上，，记，，则D.若是单位向量，，向量满足，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，则的值为__________.13.如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图为，其中，，则的长为__________.14.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图1，直角梯形中，，，，，将沿翻折至，使得（如图2）.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.16.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：t），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制定了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）已知该市有100万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数；（3）若该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，求的值.18.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；19.已知函数（且）的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）若有唯一实数解，求实数的取值范围；（3）记.若，，且实数，满足，求，的值.

数学满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以.2.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为向量，，且，则，解得.3.设复数，，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为复数，，则，故的虚部为.4.已知角的终边经过点，则角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得.5.非遗是地方文化延续的重要载体，某中学收集了三类非遗手工艺品，大方漆器有80件、纳雍箐苗服饰有60件、威宁彝族撮泰吉道具摆件有40件.现采用分层抽样的方法从这三类非遗手工艺品中抽取一个容量为9的样本，且在各层中按比例分配样本，则大方漆器应抽取的件数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：解答过程：因为大方漆器有80件、纳雍箐苗服饰有60件、威宁彝族撮泰吉道具摆件有40件，样本容量为，所以大方漆器应抽取的件数为.6.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，由奇函数的定义可得出，即可得解.解答过程：当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.7.已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序.解答过程：因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，，由零点存在定理可知，同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数，因为，，由零点存在定理可知，因为，故，故.8.若，，，则的最小值为（）A. B. C. D.2答案：A解析：解答过程：，，当且仅当，即时取等号，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.，B.“”是“”的必要条件C.若，，，则是的充分不必要条件D.命题“，”的否定是“，”答案：AC解析：解答过程：对于A选项，取，则，故A正确；对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”，若，不妨取，，此时，即“”“”，综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确；对于D选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故D错误.10.如图，在长方体中，，，，则（）A.三棱锥的体积为B.三棱柱的体积为C.三棱锥的外接球的体积为D.长方体所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为答案：BC解析：思路：根据锥体体积公式求三棱锥的体积判断A，根据柱体体积公式求三棱柱的体积判断B，结合长方体性质求三棱锥的外接球的半径，利用球的体积公式求外接球体积判断C，根据球的表面积公式求长方体的外接球的表面积，判断D.解答过程：因为，，，所以长方体体积.对于选项A，因为三棱锥的体积，又平面

​，，的面积，因此体积​​，A错误；对于选项B，三棱柱是直棱柱，，高为，三棱柱的体积​，B正确，对于选项C，三棱锥的所有顶点都是长方体的顶点，因此它的外接球就是长方体的外接球，长方体体对角线（即外接球直径），得，外接球体积，C正确；对于选项D，长方体外接球表面积，D错误.11.下列说法正确的是（）A.若向量，则B.若向量，且在上的投影向量为，则C.在中，点在上，，记，，则D.若是单位向量，，向量满足，则的最小值为答案：ABD解析：思路：利用向量夹角的坐标表示判断A；利用投影向量的意义求解判断B；利用基底表示向量判断C；利用数量积的运算律及向量的三角形不等式求解判断D.解答过程：对于A，由，得，因此，A正确；对于B，由，得，则在上的投影向量为，于是，解得，B正确；对于C，由，得，则，C错误；对于D，由是单位向量，，得，由，得，解得，因此的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，则的值为__________.答案：解析：解答过程：因为函数，，所以，故.13.如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图为，其中，，则的长为__________.答案：解析：思路：把直观图还原为原图形，利用勾股定理求出斜边长．解答过程：把直观图△还原为原，如图所示：所以，，所以.14.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为__________.答案：解析：思路：设，利用三角函数表示出矩形的边长构建面积函数后，运用三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值.解答过程：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，设，因为点在圆心角为的扇形弧上，所以，已知半径，则有，因为，所以点，，在矩形中，且，所以，易得所在的直线方程为，代入得，即，矩形的面积，，，因为，所以，，当即时，正弦函数取得最大值，此时矩形面积取得最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图1，直角梯形中，，，，，将沿翻折至，使得（如图2）.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.答案：（1）由题意得，过作的垂线，交于点，因为且，则，易知四边形为矩形，所以，，因为，所以，，因为，且，所以，即，易得，因为，且，所以，即，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）通过作辅助线求出各相关线段的长度，利用勾股定理证明出且，进而根据判定定理得出线面垂直.（2）利用第（1）问的垂直结论，直接确定即为所求二面角的平面角，再根据翻折前后图形全等的性质得出该角度数.（1）略（2）在平面中，，在平面中，，由二面角的平面角的定义，即为二面角的平面角，易得，因此，在图1中的中，且，则是一个等腰直角三角形，即，即，所以二面角的大小为.16.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：t），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制定了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）已知该市有100万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数；（3）若该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值.答案：（1）（2）万（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1求出.（2）求出月均用水量不低于3t的频率，进而估计人数.（3）利用频率分布直方图及第90百分位数的定义列式求解.（1）由频率分布直方图，得，所以.（2）月均用水量不低于3t的频率为，所以全市居民中月均用水量不低于3t的人数为万.（3）月均用水量不超过3t的频率为，月均用水量不超过3.5t的频率为，因此，，所以.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，求的值.答案：（1）最小正周期为；单调递增区间为.（2）.解析：思路：（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解.（2）求出函数，再利用对称性列式求解.（1）依题意，函数，由，得，所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.（2）依题意，，由为偶函数，得，而，则.18.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用共线向量的坐标表示及正弦定理求解.（2）利用余弦定理及基本不等式求出最大值.（1）由向量，且，得，则，而，所以.（2）由（1）及余弦定理得，解得，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.19.已知函数（且）的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）若有唯一实数解，求实数的取值范围；（3）记.若，，且实数，满足，求，的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将已知图象所过的定点坐标直接代入，求解出对数函数的底数.（2）优先确定使原等式成立的x的定义域，随后将对数方程转化为二次方程，通过分类讨论判别式以及结合根的分布，找出使该方程在定义域内仅有一解的参数k的范围.（3）根据绝对值相等的性质并结合定义域求出m与n的关系式，将其代入已知条件构造出关于n的方程，求解后根据的限制条件即可求解.（1）由题意得，解得，则.（2）由题意得有唯一实数解，则，，所以，进而，即，