海南文昌中学2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.2.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（）A. B.C. D.3.为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（）A.100 B.120 C.150 D.1804.在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（）A. B. C. D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7.已知平面向量，，满足，，，若，则（）A. B. C. D.8.已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.有关复数，，为虚数单位，下列命题中正确的是（）A.是纯虚数B.若，则C.若复数，则，D.在复平面内关于实轴对称的复数为10.已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（）A.函数的图象关于对称B.函数的图象关于对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位得到D.若且，则11.如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值C.若直线与所成角的余弦值为，则D.取最小值时，三棱锥外接球的体积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一组数据为2，3，5，5，7，8，则该组数据的中位数为__________.13.如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面的两点，，测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，求塔高__________米.14.已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证：（1）平面；（2）平面.16.已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）设函数，，求函数的最值及取最值时的值.17.随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数的值；（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这200人年龄的第75百分位数.18.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且.（1）证明：是锐角三角形；（2）若，求的周长；（3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长.19.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点.（1）已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标；（2）已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点.（i）设，，试用表示；（ii）若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由

,根据共轭复数的定义可得：.2.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量加法、减法的几何意义、平面向量共线的性质，结合平行四边形的性质逐一判断即可.解答过程：A：因为，所以本选项运算不正确；B：因为，所以本选项运算不正确；C：因为四边形是平行四边形，所以，因此本选项运算正确；D：因为四边形是平行四边形，所以，所以本选项运算不正确.3.为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（）A.100 B.120 C.150 D.180答案：C解析：解答过程：由题意得总人数为，且抽样比为，可得样本中省外游客的人数为，故C正确.4.在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先在等腰直角中求出、，结合面积比可求得，进而得到的长度，最后在中用余弦定理计算的长，解答过程：在中，因为，，所以为等腰直角三角形，又因为，所以，则面积，又因为的面积为，所以，又因为，所以，即，因此，在中，由余弦定理得，故.5.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，得.，，，得；，解得.，.6.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确.解答过程：A选项：如图：在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误；B选项：如图：在正方体中，，此时，B选项错误；D选项：如图：在正方体中：，此时，D选项错误；C选项：如图：过作平面，使得，，∵，∴，则，又∵，∴，∴，C选项正确.故选：C.7.已知平面向量，，满足，，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由平面向量的数量积公式求解．解答过程：因为，所以，由，得，得，则，显然，得8.已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由棱台的定义可知延长侧棱交于一点，如图，过点作平面，分别交平面，平面于点，由题意可知三棱锥和三棱锥为正三棱锥，因为，所以，所以所以，，所以，，所以.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.有关复数，，为虚数单位，下列命题中正确的是（）A.是纯虚数B.若，则C.若复数，则，D.在复平面内关于实轴对称的复数为答案：BCD解析：思路：根据纯虚数的定义、复数模的运算公式、实数的性质，结合复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.解答过程：A：当时，即当时，为零，不是纯虚数，A不正确；B：因为，所以，B正确；C：因为只有当两个复数都是实数时才能比较大小，C正确；D：在复平面内对应的点坐标为，该点关于实轴对称点的坐标为，所以在复平面内关于实轴对称的复数为，D正确.10.已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（）A.函数的图象关于对称B.函数的图象关于对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位得到D.若且，则答案：AD解析：思路：先利用辅助角公式化简，结合平移规则和周期求出，得到和的解析式，再根据三角函数的对称性、图象变化、函数值求解逐一判断选项即可.解答过程：因为，将其图象向右平移个单位后得，由的最小正周期为，得，即，因此，.对于A：因为，为的最大值，故的图象关于对称，A正确；对于B：因为，故不是的对称中心，B错误；对于C：将的图象向右平移个单位，得到，故C错误；对于D：令，即，当时，，所以或，对应，，所以，故D正确.11.如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值C.若直线与所成角的余弦值为，则D.取最小值时，三棱锥外接球的体积为答案：ABD解析：思路：根据线面垂直以及面面垂直的判定即可求解A，根据线面角的定义即可根据三角形的边角关系求解B，根据异面直线所成角的定义即可结合余弦定理求解C，根据正方体的外接球即可求解D.解答过程：对于A，由于平面，平面，故平面平面，A正确，对于B,由于平面，故为与平面所成的角，，B正确，对于C，在棱上取一点，使得，则，故直线与所成角为与所成的角，则，解得，故C错误,对于D，，当且仅当时取到等号，此时重合，三棱锥为三棱锥，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的外接球的半径为，因此球的体积为，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一组数据为2，3，5，5，7，8，则该组数据的中位数为__________.答案：解析：思路：先确认给定数据是否按从小到大顺序排列，由数据为偶数个，取中间两个数据的平均数即为中位数.解答过程：因为数据2，3，5，5，7，8已按从小到大顺序排列，共有6个数据，则中位数为第三个数和第四个数的平均数，即.13.如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面的两点，，测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，求塔高__________米.答案：解析：思路：先在中利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理求出的长，最后在Rt中利用三角函数求出塔高.解答过程：在中，，，所以.由正弦定理得，即，所以.在Rt中，，，所以.故塔高为米.14.已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．答案：##解析：思路：过作于，连接，由二面角的定义可得为二面角的平面角，在直角三角形中，可得,，再由计算即可.解答过程：解：如图所示：过作于，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，因为，所以,，在直角三角形中，.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证：（1）平面；（2）平面.答案：（1）取的中点，连接，由于为的中点，故且，又，,故且，即四边形为平行四边形，故，平面，平面，故平面；（2）由于故，即,又矩形与梯形所在的平面互相垂直，且两平面的交线为,平面，故平面，平面，故，平面，故平面.解析：思路：（1）根据线线平行先证明为平行四边形，即可根据线面平行的判定求解，（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，以及勾股定理得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证.（1）略（2）略16.已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）设函数，，求函数的最值及取最值时的值.答案：（1）（2）最大值，此时；最小值，此时.解析：思路：（1）利用周期公式可求，再由，结合范围，可求的值，即可得解函数解析式；（2）化简得，根据余弦函数的单调性即可计算得解（1）因为图象的相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，得，又，得，由，得，故函数的解析式为：．（2），因为，所以，当，即时，取得最大值为1，当，即时，取得最小值为．17.随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数的值；（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这200人年龄的第75百分位数.答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，所以，（2）设这200人年龄的样本平均数为，，所以.（3）因为年龄在的频率为，而年龄在的频率为，所以设这200人年龄的第75百分位数为，则，则，解得.18.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且.（1）证明：是锐角三角形；（2）若，求的周长；（3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长.答案：（1）证明：，化简整理，可得，根据正弦定理，可得即，根据余弦定理可知，，故为锐角，又，，所以为锐角，，所以，，，所以为锐角,故是锐角三角形.（2）.（3）.解析：思路：（1）利用正弦定理化简为，再利用余弦定理求得，最后由于，利用余弦的和角公式求得，从而证明是锐角三角形；（2）利用第（1）问中已知，，的三角函数值，结合正弦定理即可求解;（3）由,所以利用“1”的妙用，使用基本不等式得到当取得最小值时，即，求得的长，最后使用