河北省保定市部分校联考2025~2026学年高一下册7月期末质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.2.某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1200，1500，1800，为了调查学生在家是否做家务，采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的高一年级学生的人数为（）A.80 B.100 C.120 D.1403.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.4.已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，若，则“”是“的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.在正三角形中，D，E，F分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（）A. B. C. D.7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的（）A.众数为5 B.中位数为3C.极差为7 D.分位数为510.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为11.如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．13.在中，若M为BC的中点，，则______.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．16.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17.为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（3）已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差．18.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）已知点是边上的一点，且，求的长.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，，所以的共轭复数．2.某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1200，1500，1800，为了调查学生在家是否做家务，采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的高一年级学生的人数为（）A.80 B.100 C.120 D.140答案：A解析：思路：由分层抽样法的定义即可求解.解答过程：若采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的高一年级学生的人数为.故选：A.3.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题意结合平面向量基本定理即可求解.解答过程：已知且，所以，则，故A正确.4.已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，若，则“”是“的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：当时，与可能相交，充分性不成立；当时，根据面面平行的性质定理可知，，必要性成立．综上可知，“”是“”的必要不充分条件．5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：解答过程：由及正弦定理，得，因为，所以，代入得，即，因为，所以，故，因为，所以，即的形状为直角三角形．6.在正三角形中，D，E，F分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取的中点为，由棱锥的结构特征，应用线面垂直的判定和性质定理证得，即可得异面直线所成角.解答过程：如图，取的中点为，由题意，知三棱锥的棱长都相等，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，即异面直线所成的角的大小为．7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，根据已知及二面角的定义有是二面角的平面角，过作，垂足为，再应用台体的体积公式求体积.解答过程：如图，在正四棱台中，，令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，显然四边形是直角梯形，且，易知是正四棱台的高，，所以是二面角的平面角，由题意得，过作，垂足为，则，，所以正四棱台的体积为．8.设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，，则，则中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质求解即可.解答过程：设，，则，因为，与的夹角为，所以中，，，如图所示，由正弦定理得外接圆的半径为，则为圆上与不重合的动点，设（），由正弦定理可得，，，则，所以当，即时，取得最大值，且最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的（）A.众数为5 B.中位数为3C.极差为7 D.分位数为5答案：ACD解析：思路：先将数据从小到大排序，再依次讨论各选项即可得答案.解答过程：先将数据从小到大排序为：故众数为，中位数为，极差为，因为，所以分位数为5，故ACD正确，B错误；故选：ACD10.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为答案：AC解析：思路：利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D.解答过程：对于A，由于，结合正弦定理得，在中，有，所以，则有，即，又因为，，所以又因为，所以，故A正确；对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，则，解得，外接圆面积，故B错误；对于C，已知，，，由余弦定理，代入数据得，化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解，因此满足条件的三角形仅有个，故C正确；对于D，已知，，由余弦定理，代入数据得，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则，解得，因此周长的最大值为，故D错误.11.如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为答案：BC解析：思路：求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D.解答过程：对于A，由，得正方体的外接球半径，因此正方体的外接球表面积为，A错误；对于B，由，，得四边形是平行四边形，，而平面，平面，则平面，是平面与平面的交线，平面，因此，B正确；对于C，分别取的中点，，连接，则，，，，又，则，，因此是平面和平面所成的二面角的平面角，则，C正确；对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点，则，，且，，四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形，又，，，所以的面积为，五边形的面积为，D错误．故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．答案：解析：解答过程：因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，所以圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为．13.在中，若M为BC的中点，，则______.答案：1解析：思路：利用同一组基底分别表示两个向量，根据数量积的运算律，可得答案.解答过程：由题知，所以.故答案为：.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.答案：解析：思路：利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．解答过程：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的概念求出实数的值；（2）运用复数的除法运算求出，再根据复数模的概念求．（1）因为复数为纯虚数，所以解得．（2）由（1）得，所以，所以．16.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值；（2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围．（1）因为，所以，解得，所以，，，，所以在上的投影向量为所以在上的投影向量的坐标为．（2），，因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，所以，解得，又与不平行，则，所以，所以实数的取值范围为．17.为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（3）已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差．答案：（1）（2）70.5分（3）平均数和方差分别为71.5和232.65解析：思路：（1）由频率分布直方图求每组的频率，结合频率和为1运算求解即可；（2）根据题意用该区间的中点值作代表，结合加权平均数公式运算求解；（3）根据题意结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解即可.（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，则，解得．（2）估计竞赛成绩的平均数为分．（3）设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，总体成绩的平均数为，方差为，则，可得，所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65．18.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）已知点是边上的一点，且，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据余弦定理求解即可.（2）用正弦定理将转化为，由已知结合正切函数的性质求出的范围，最后得到答案.（3）设，再利用向量表示出，化简求解即可.（1）因为，所以，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，所以，因为，又为锐角三角形，则所以，所以，所以，即的取值范围是.（3）设，则，因为，所以，联立解得因为，所以，，所以.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．答案：（1）因为底面是边长为2的菱形，且，所以和均为等边三角形.因为点是的中点，所以．因为，所以.因为平面平面，平面平面平面