河北省沧州市献县第一中学2025~2026学年高二上册开学考数学试卷【附解析】

数学一.单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（）A.3种 B.4种 C.6种 D.12种2.已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）A. B.1 C.2 D.43.已知等比数列中，，，则公比（）A.－2 B.2C.3 D.2或－24.已知函数，则（）A. B. C. D.5.已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.26.在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，则向量与的夹角的取值范围是（）A. B. C. D.7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（）A.5049 B.5050 C.5051 D.5101二.多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.8.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）.A.椭圆的方程为 B.椭圆的焦距为C. D.的周长为9.已知函数，则（）．A.函数在点处的切线方程是 B.函数的递减区间为C.函数存在最大值和最小值 D.函数有三个实数解，则三．填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．10.已知数列中，若是等差数列，则___________．11.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________．四．解答题：本题共4小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12.已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和.13.如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值14.已知双曲线过点，且右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值.15.已知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最大值.

数学一.单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（）A.3种 B.4种 C.6种 D.12种答案：C解析：思路：三个人排成一排，即3个元素的一个全排列，由公式即可得到答案.解答过程：甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有种故选：C2.已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）A. B.1 C.2 D.4答案：B解析：思路：将点代入抛物线方程求得，即得到结果.解答过程：将点代入，可得，故的焦点到其准线的距离为1．故选：B.3.已知等比数列中，，，则公比（）A.－2 B.2C.3 D.2或－2答案：B解析：思路：由可得，即可求出公比.解答过程：设数列的公比为，因为为等比数列，所以，所以，所以，解得．故选：B．4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，再代入原函数进而求出.解答过程：因为，，所以，所以，即，所以.故选：A.5.已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得.解答过程：因为，所以，又点在平面内，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选：B．6.在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，则向量与的夹角的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：圆的方程：可以化为，圆心，半径，画出图象，结合图象，求得点在圆上运动时，向量与的夹角最值.解答过程：圆的方程：可以化为，圆心，半径，画出图象：由图可知：向量与的夹角为，当运动到与圆相切的位置时，最小，当运动到与圆相切的位置时，最大，又由图可得，，，.向量与的夹角的取值范围是故选：D.方法提示：本题解题关键是掌握圆的基础知识和向量夹角定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（）A.5049 B.5050 C.5051 D.5101答案：B解析：思路：观察数列的前4项，可得，将代入即可得解.解答过程：由题意得，，，观察规律可得，所以.故选：B.方法提示：关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.二.多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.8.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）.A.椭圆的方程为 B.椭圆的焦距为C. D.的周长为答案：ABC解析：思路：解方程组求出即可判断选项，再利用通径公式判断选项，结合椭圆的定义判断选项.解答过程：由题意得，解得，因为椭圆的离心率为，所以，解得，因为焦点，在轴上，所以椭圆的方程为，故选项A正确；因为，所以，则焦距，故选项B正确；由通径长公式可得，，故选项C正确；因为的周长，故选项D错误.故选：ABC.9.已知函数，则（）．A.函数在点处的切线方程是 B.函数的递减区间为C.函数存在最大值和最小值 D.函数有三个实数解，则答案：ABD解析：思路：求得，求得，利用导数进而得到函数的单调性与极值，画出函数的图象，结合图象，逐项求解判定，即可得结论.解答过程：由，得,所以，又，所以函数在点处的切线方程是，即，故A正确；令，可得，解得；令，解得或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，且，，当时，,作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确；所以，无最大值，故C错误；若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点，可得，故D正确..故选：ABD.三．填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．10.已知数列中，若是等差数列，则___________．答案：##解析：思路：根据等差数列的通项公式计算即可.解答过程：已知，则，则，所以；因为是等差数列，其首项为，公差，可得；即，由，可得，则.11.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________．答案：解析：思路：根据导数和函数单调性的关系，转化为不等式，恒成立，再根据正弦函数的性质求最值.解答过程：，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立．即在区间上恒成立，所以，，因为，所以，当时，取得最大值，所以，则的最小值为.四．解答题：本题共4小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12.已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用化简可知，即可得证.（2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得.（1）由得，且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.（2）由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列.所以，即:.所以数列的前n项和为：.13.如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）取的中点，连接、，可知，，即可得到面，从而得证；（2）建立空间直线坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；解答过程：解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则14.已知双曲线过点，且右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值.答案：（1）（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，由过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，由，消去并整理得，设，则，而点，则，因为，则有，即，同理，所以为定值．解析：思路：（1）利用双曲线的定义可求参数，再结合，从而可求双曲线标准方程；（2）利用方程组思想，结合韦达定理，把向量问题转化为坐标问题，从而可化简求解为定值.（1）依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，双曲线的实轴长，因此，所以双曲线的方程为.（2）略15.已知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最大值.答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，没有极小值；（2）解析：思路：（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；（2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间