河北省邯郸市武安市第六中学、第十中学2025~2026学年高一上册开学联考数学试卷【附解析】

数学第I卷选择题（共30分）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.数轴上点表示的数分别是5，，它们之间的距离可以表示为（）A. B. C. D.2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.3.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球C.摸出的球中至少有1个是黑球 D.摸出的是2个白球、1个黑球4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.5.不等式的解集是（）A. B. C. D.6.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A.8 B.7 C.6 D.57.生物活动小组同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（）A.50cm B.20cm C.16cm D.12cm8.如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A.cm B.2cm C.2cm D.4cm9.如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为（）A. B. C. D.10.如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转120°得到，则点的坐标是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.据年3月公布的《山西省年国民经济和社会发展统计公报》显示，经初步核算，年我省实现地区生产总值亿元，比上年增长.数据亿元用科学记数法表示为_________________元.12.我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.13.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步，解答这个问题可知长为____________步.14.如图，在中，于点，点在上，，交于点，连接，.若，则的长为____________.15.如图，在平行四边形中，，，过点作，，连接，则的周长为______________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）解方程组：（2）已知实数满足，求的值.17.如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点.求证：.18.阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解.例：当代数式值为7时，求代数式的值.解：因为，所以所以以上方法是典型的整体代入法.请根据阅读材料，解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）我们知道方程的解是，现给出另一个方程，则它的解是___________________.19.某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩.

1号2号3号4号5号总数甲队1031029810097500乙队979910096108500经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一.学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定：（1）甲、乙两队优秀率分别为_____________、________________；（2）甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个；（3）分别计算甲、乙两队比赛数据的方差；（4）根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由.20.如图1，一辆汽车从地出发去往地，两地相距273km，由于之间某路段正在修路，驾驶员临时改变路线，先由地开往地，再由地开往地，如图2是从该场景中抽象出来的示意图，已知，，则这样的行驶路程比原来路程273km远了多少？（结果精确到1km，参考数据：）21.“十三五”以来，山西省共解决372个村、35.8万农村人口的饮水型氟超标问题，让农村群众真正喝上干净水、放心水、安全水.某公司抓住商机，根据市场需求代理两种型号的净水器，已知每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.（1）求每台型，型净水器进价各是多少元？（2）该公司计划购进两种型号的净水器共55台进行试销，其中型净水器为台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元，则最多可购进型号净水器多少台？22.综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点．我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线，证明：连接，，由作图可知，，，又∵，∴，∴，∴是半圆的切线．问题解决：（1）如图3，在图2基础上，连接．请判断和的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段，，之间的数量关系；（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点，，，为正方形的四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．23.综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过两点，连接.（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；（2）探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点；①使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；②使以点为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

数学第I卷选择题（共30分）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.数轴上点表示的数分别是5，，它们之间的距离可以表示为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用绝对值的几何意义判定选项即可.解答过程：由绝对值的几何意义可知两点的距离可表示为或.故选：A2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A. B.C D.答案：D解析：思路：根据轴对称图形的定义，对每个选项中的图标进行分析，判断是否存在这样的一条直线，使得图形沿该直线对折后完全重合.解答过程：选项A，不是轴对称图形，所以A错误；选项B，不是轴对称图形，所以B错误；选项C，不是轴对称图形，所以C错误；选项D，是轴对称图形，所以D正确.故选：D.3.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球C.摸出的球中至少有1个是黑球 D.摸出的是2个白球、1个黑球答案：C解析：思路：根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答.解答过程：A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意；B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意；C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意；D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.故选：C.4.下列运算正确的是（）A. B.C D.答案：D解析：思路：根据数与式的计算对选项逐一判断即可.解答过程：对于选项A：，所以A错误；对于选项B：，所以B错误；对于选项C：，所以C错误；对于选项D：，所以D正确.故选：D.5.不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据一次不等式解法求解即可.解答过程：由可得，即，解得故选：A6.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：B解析：思路：先得出这个几何体共有层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．解答过程：由俯视图得最底层有个小正方体，第二层最多有个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个．故选：B7.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（）A.50cm B.20cm C.16cm D.12cm答案：C解析：思路：设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解．解答过程：设直线的解析式为经过点，解得所以直线的解析式为，由题中图像可知，当时，该植物最高，此时.故选：C.8.如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A.cm B.2cm C.2cm D.4cm答案：A解析：思路：在正六边形中，设圆心为，过点作，垂足为，连接，可得为等边三角形，进而求解即可.解答过程：如图，在正六边形中，设圆心为，过点作，垂足为，连接，则，而，则为等边三角形，又，则，，则，即这个圆形纸片的半径是cm.故选：A.9.如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由，且两直线垂直，因而将两点坐标设为，，和分别为两直线的倾斜角，且由于垂直，.进而将两点代入两反比例函数，利用三角函数的恒等变换求.解答过程：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.因为，所以.因为，设，，其中.因为点在反比例函数的图像上，所以，即.因倾斜角，且，因此.而倾斜角，且，因此，故.因为点在反比例函数的图像上，所以，即.两式相除得，.由诱导公式得，，.因此，故.故选：10.如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转120°得到，则点的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：易得，再根据和顺时针方向旋转120°得到，从而点B与点关于x轴对称求解.解答过程：因为，，，所以，，将绕点按顺时针方向旋转120°得到，所以，所以点B与点关于x轴对称，所以点的坐标为.故选：D第II卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.据年3月公布的《山西省年国民经济和社会发展统计公报》显示，经初步核算，年我省实现地区生产总值亿元，比上年增长.数据亿元用科学记数法表示为_________________元.答案：解析：思路：先把亿元单位转换为元，再将得到的数用科学记数法表示出来．解答过程：亿元元元，数据17026.68亿元用科学记数法表示为：元．故答案为：12.我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.答案：解析：思路：将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率．解答过程：设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C，两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种，所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为．故答案为：13.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步，解答这个问题可知长为____________步.答案：解析：思路：设长为步，则宽为步，根据矩形的面积求解即可.解答过程：设长为步，则宽为步，依题意，得，即，解得或(舍去)，即矩形的长为步.故答案为：14.如图，在中，于点，点在上，，交于点，连接，.若，则的长为____________.答案：解析：思路：根据题设结合勾股定理易得，，再结合可得，进而得到，，再根据求解即可.解答过程：因为，，所以，，又，则，即，所以，则，，在中，，则，所以，则，解得.故答案为：.15.如图，在平行四边形中，，，过点作，，连接，则的周长为______________．答案：##解析：思路：根据平行四边形的性质得到的长度，再根据题意得到是等边三角形，从而得到的长度，连接，与相交于点，连接，根据菱形的性质得到四边形为矩形，从而即可求出的长度，进而即可得到的周长．解答过程：在平行四边形中，，则四边形是菱形，且，又，则是等边三角形，则，所以，连接，与相交于点，连接，在菱形中，有，，，则，，由，，则四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形，所以，，所以，所以的周长为．故答案为：三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）解方程组：（2）已知实数满足，求的值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）应用消元法求方程组的解；（2）化简目标式为，再由已知得，即可得解.解答过程：（1）原方程可化为，①×2+②得：，解得，把代入①得，所以，这个方程组的解为；（2）原式，∵，∴，∴原式.17.如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点.求证：.答案：证明见解析解析：思路：连接，利用折叠的性质及三角形全等的条件证明即可.解答过程：证明：如答图，连接，∵是的中点，∴，∵将沿折叠后得到，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴∴.18.阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解.例：当代数式的值为7时，求代数式的值.解：因为，所以所以以上方法是典型的整体代入法.请根据阅读材料，解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）我们知道方程的解是，现给出另一个方程，则它的解是___________________.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将化成，再将代入，即可求值；（2）令，将方程化为，解出，再由求出方程的解.（1）∵，∴原式，∴的值为2020.（2）方程，令，则，因为方程的解是，所以方程的解是，所以，解得.故答案为：.19.某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩.

1号2号3号4号5号总数甲队1031029810097500乙队979910096108500经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一.学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定：（1）甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________；（2）甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个；（3）分别计算甲、乙两队比赛数据的方差；（4）根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由.答案：（1）60%，40%；（2）100；99；（3）；18（4）甲队的成绩好，理由见解析解析：思路：（1）根据甲队和乙队每人踢100个以上(含100)的人数，除以总人数，即可求出甲乙两队的优秀率；（2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可；（3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可；（4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差，进行比较，即可得出答案.（1）甲队的优秀率为：，乙队的优秀率为：.故答案为：；.（2）甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：97，98，100，102，103，所以甲队比赛数据的中位数为100；乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：96，97，99，100，108，所以乙队比赛数据的中位数为99.故答案为：100；99.（3）甲、乙两队比赛数据的平均数均为（个）..（4）综合评定甲队的成绩好，理由如下：因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定甲队比较好.20.如图1，一辆汽车从地出发去往地，两地相距273km，由于之间某路段正在修路，驾驶员临时改变路线，先由地开往地，再由地开往地，如图2是从该场景中抽象出来的示意图，已知，，则这样的行驶路程比原来路程273km远了多少？（结果精确到1km，参考数据：）答案：68km解析：思路：过点作垂直于于点，设，有，，，，利用，求出，可计算.解答过程：如图，过点作垂直于于点，在中，设，，，在中，，，∵，∴，∴.∴，∴，∴.答：这样的行驶路程比原来路程远了.（67也给分）21.“十三五”以来，山西省共解决372个村、35.8万农村人口的饮水型氟超标问题，让农村群众真正喝上干净水、放心水、安全水.某公司抓住商机，根据市场需求代理两种型号的净水器，已知每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.（1）求每台型，型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进两种型号的净水器共55台进行试销，其中型净水器为台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元，则最多可购进型号净水器多少台？答案：（1）每台型净水器的进价是2000元，每台型净水器的进价是1800元；（2）45台.解析：思路：（1）设每台B型净水器的进价是元，则每台A型净水器的进价是元，根据数量=总价÷单价，由题意可得关于x的分式方程，解之经检验后即得结论；（2）根据总价=单价×数量结合购买两种净水器的总资金不超过10.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即得结论．（1）设每台型净水器进价是元，根据题意，得，解得经检验，是原分式方程的解，且符合题意.∴.故每台型净水器的进价是2000元，每台型净水器的进价是1800元；（2）因购进型净水器台，则购进型净水器台，依题意，得，解得.故最多可购进型净水器45台.22.综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点．我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线，证明：连接，，由作图可知，，，又∵，∴，∴，∴是半圆的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接．请判断和的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段，，之间的数量关系；（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点，，，为正方形四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．答案：（1），理由见详解（2）（3），理由见详解（4）答案见详解解析：思路：（1）在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出，再由边边边定理可证得，再利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；（2）根据（1）可知，，再根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；（3）连接，，构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得，即可提出猜想．（1）∵∴，，，∴，∵，∴．在和中，∵，，∴，∴，∵∴．（2）∵根据（1）可知，，∴，，∵,∴∴线段，，之间的数量关系是．（3）连接，，如图，由（1）可