河北雄安新区2025~2026学年高一下册7月期末教学质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有1，2，1，3，1，4六个数，中位数是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.在中，，令，，用、表示（）A. B. C. D.3.一副去掉大小王的52张扑克牌，从中任取一张，设事件为“抽到红桃”，设事件为“抽到8”，则事件、为（）A.互斥事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.包含关系4.在中，若，则（）A. B. C.或 D.或5.已知向量，，满足，，，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且直线，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则7.在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（）A. B. C. D.8.在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列说法正确的是（）A.B.的虚部为C.D.若复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合所构成图形的面积是10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（）A.B.若的外心为，则C.若，则周长的最大值为D.若，且有两解，则的取值范围为11.已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（）A.若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为B.若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线，都相交C.以正方体各面中心为顶点构成的八面体，其外接球表面积为πD.若平面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知一个圆台的轴截面为梯形，若，，则该圆台的侧面积为_________．13.现代战争慢慢地走向无人化作战，小型无人机只要被击中一次，就会坠毁．甲、乙两名士兵独立击落无人机的概率分别为和．无人机来袭，甲、乙两名士兵各有一次开枪机会，则无人机恰好被一颗子弹击落的概率是_________．14.已知，，以，为邻边作平行四边形，点是中点，，，则_________．四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，．（1）求；（2）若，且的面积为，求．16.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离.17.某学校组织一次数学教学反馈测试，为分析测试情况，随机抽取100名学生的测试成绩组成样本，选取合适组距将样本数据分为6组，分组区间依次为，，，，，，据此绘制得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中参数的值，并利用样本估计总体，估算本次测试成绩的第65百分位数；（2）在抽取的100名同学的数学成绩中，采用分层抽样的方法，从成绩落在区间与内的学生中共抽取4名学生，再从这4名学生中随机选取2名，求选出的2名学生的成绩都落在区间内的概率；（3）设该样本数据的平均数为，众数为，中位数为，将，，按照从小到大的顺序排列（无需写出推导理由）．18.如图，在长方体中，，，为上一点，且，上一点，且，为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的正切值；（3）设为中点，过作平面，使平面平面，求长方体被平面所截得的图形的周长．19.设复数，复平面内复数对应点，向量定义复变换：，其中符号代表平面向量数量积运算．（1）已知，，分别求出，；（2）若复数满足，，且，设原点，定点，求的面积；（3）在（2）的条件下，记为的外心，若平面内动点满足，且，求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有1，2，1，3，1，4六个数，中位数是（）A.1 B.1.5 C.2 D.答案：B解析：思路：应用中位数定义计算求解.解答过程：有1，2，1，3，1，4六个数，从小到大排列数据为1，1，1，2，3，4，且，中位数是.2.在中，，令，，用、表示（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得：，，根据向量线性运算的三角形法则可得，

所以.3.一副去掉大小王的52张扑克牌，从中任取一张，设事件为“抽到红桃”，设事件为“抽到8”，则事件、为（）A.互斥事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.包含关系答案：C解析：思路：根据题意结合古典概型得到，进而得出是相互独立事件判断C，应用互斥事件及对立事件定义判断A，B，应用包含关系判断D．解答过程：由于事件为“抽到红桃”，事件为“抽到8”，事件不包含黑桃8，所以事件不包含，事件不包含红桃7，所以事件不包含，D选项错误；事件为“既抽到红桃又抽到8”，所以，所以事件不是互斥事件，也不是对立事件，A，B选项错误；，．所以，所以与是相互独立事件，C选项正确．4.在中，若，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：根据正弦定理得，再结合得.解答过程：因为在中，，即，所以由正弦定理，得，解得，因为，所以，所以.5.已知向量，，满足，，，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题可知，所以，因为，所以.6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且直线，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：通过分析各选项中直线与平面、平面与平面的位置关系是否符合相应定理来判断对错，最终确定正确选项.解答过程：在A选项中，若，，，则和可以平行、可以相交也可以异面垂直，不一定，例如和都平行于的交线，此时，因此A错误，在B选项中，根据面面平行的判定定理要求可得：本题中都在内且都平行于，但未说明相交，若，与也可以相交，因此B错误，在C选项中，由，，可得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，因此C正确，在D选项中，满足条件时，也可以与相交，不一定，例如，交线为，，垂直且与相交，满足题设但不满足结论，因此D错误.7.在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据面积公式得到，根据中线得到，最后根据角平分线和等面积的思路即可得到.解答过程：设，，则，解得，由中线得，整理得，整理得，所以，由得，整理得.8.在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先构造二面角的平面角，明确棱锥的棱长，再借助体积法求点到平面的距离，即可求线面角的正弦值.解答过程：如图，将沿直线翻折至，使得点到达点的位置.将底面补成矩形.则，，所以即为二面角的平面角，为.又，所以为等边三角形.又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.所以取为中点，则为棱锥的高.又，所以.在中，，，，所以.在中，，，所以.设到平面的距离为，则.设直线与平面所成的角为，则.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列说法正确的是（）A.B.的虚部为C.D.若复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合所构成图形的面积是答案：ACD解析：思路：由题意可得，再利用共轭复数定义、模长公式、虚部定义、复数运算法则与复数几何意义计算即可得解.解答过程：由题意可得；对于A，，，故A正确；对于B，的虚部为，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以点的集合所构成的图形是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，故，故D正确.10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（）A.B.若的外心为，则C.若，则周长的最大值为D.若，且有两解，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：A选项，利用余弦定理整理即可；B选项，根据外心的性质计算；C选项，根据余弦定理得到关系，然后利用基本不等式得到的最大值即可得到周长的最大值；D选项，根据三角形有两解列不等式，然后解不等式即可.解答过程：对于A，由和余弦定理，得，即，即，则，故A正确；对于B，取中点，连接，则为中点且，，故B正确；对于C，若，由余弦定理，，即，则，当且仅当时等号成立，解不等式得到，所以周长的最大值为6，故C错误；对于D，若，且有两解，则，即，故D正确.11.已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（）A.若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为B.若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线，都相交C.以正方体各面中心为顶点构成的八面体，其外接球表面积为πD.若平面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大答案：ABC解析：思路：根据正方体的结构特征，使用异面直线所成角的定义，球体的表面积公式，线面垂直求解.解答过程：因为，所以异面直线与所成角为，在中，，，由余弦定理知，正确；由点与直线可以确定一个平面，由点与直线可以确定一个平面，则点在与的交线上，且与平面的交点，与平面的交点都在两平面的交线上，所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，正确；以正方体各面中心为顶点构成的八面体由两个正四棱锥组成，其外接球是正方体的内切球，表面积为，正确；因为平面，所以平面平面，当截面为时，截面面积为，周长为，当截面过的中点时，此时截面为正六边形，其面积为，周长为，错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知一个圆台的轴截面为梯形，若，，则该圆台的侧面积为_________．答案：解析：解答过程：圆台轴截面为等腰梯形，由得下底半径；上底半径，则母线长，该圆台侧面积为.13.现代战争慢慢地走向无人化作战，小型无人机只要被击中一次，就会坠毁．甲、乙两名士兵独立击落无人机的概率分别为和．无人机来袭，甲、乙两名士兵各有一次开枪机会，则无人机恰好被一颗子弹击落的概率是_________．答案：解析：解答过程：“无人机恰好被一颗子弹击落”等价于甲乙两人恰好有一人击中无人机，包含两种互斥的情况：①甲击中、乙未击中：已知甲击中概率为，乙未击中概率为​，由于甲乙射击独立，该情况概率为；②甲未击中、乙击中：甲未击中概率为，乙击中概率为​，该情况概率为.两种情况互斥，总概率为.14.已知，，以，为邻边作平行四边形，点是中点，，，则_________．答案：##解析：解答过程：由题可知，，因为点是中点，所以，所以，因为，，所以，解得.四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，．（1）求；（2）若，且的面积为，求．答案：（1）（2）解析：思路：(1)利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和为把用和表示，整理后求解角.(2)先根据三角形面积公式，结合已知的面积和角，求出的值.因为已知和，所以用余弦定理即可求出的值.（1）因为所以由正弦定理得：则有，所以，因为，所以有，则有所以因为，所以，所以.（2）因为的面积为，所以，即因为，由余弦定理得：，所以，所以.16.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离.答案：（1）证明：设与交于点，由底面为矩形，得为中点，又为中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理即得.（2）由已知结合锥体的体积公式求出，再利用线面垂直的判定性质确定点到平面的垂线段并求出其长度.（1）略（2）由底面，底面为矩形，得，解得，过点作，垂足为，底面，则，而，平面，于是平面，又平面，则，而平面，因此平面，即为点到平面的距离，在中，，所以.17.某学校组织一次数学教学反馈测试，为分析测试情况，随机抽取100名学生的测试成绩组成样本，选取合适组距将样本数据分为6组，分组区间依次为，，，，，，据此绘制得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中参数的值，并利用样本估计总体，估算本次测试成绩的第65百分位数；（2）在抽取的100名同学的数学成绩中，采用分层抽样的方法，从成绩落在区间与内的学生中共抽取4名学生，再从这4名学生中随机选取2名，求选出的2名学生的成绩都落在区间内的概率；（3）设该样本数据的平均数为，众数为，中位数为，将，，按照从小到大的顺序排列（无需写出推导理由）．答案：（1），77.5（2）（3）解析：思路：（1）先根据频率和为1求的值，再根据百分位数的概念，借助频率分布直方图估计所求百分位数.（2）先利用分层抽样的概念，确定抽出的4名学生中，分别处于区间与内的人数，再利用列举法求对应事件的概率.（3）利用频率分布直方图估计平均数、众数、中位数的值，再比较它们的大小.（1）由频率分布直方图得：，解得；第一组频率为，第二组频率为，第三组频率为，因为，所以第65百分位数位于内，设第65百分位数为，则，即，解得，所以本次测试成绩的第65百分位数为77.5.（2）从，这两组中用分层抽样的方法抽取4名同学，抽取的人数比为，即从中抽取3人记为、、，从中抽取1人记为，从这4名同学中随机抽取两名，有、、、、、六种情况，两名同学成绩都落在这一组的有、、三种情况.由古典概率模型可知概率为.（3）根据频率分布直方图，得，，.所以.18.如图，在长方体中，，，为上一点，且，上一点，且，为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的正切值；（3）设为中点，过作平面，使平面平面，求长方体被平面所截得的图形的周长．答案：（1）证明：连结，作，交于，，，又，且，，，∴四边形为平