河南省开封市五校2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，点满足，则的坐标是（）A. B. C. D.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个4.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆台的上､下底面直径长分别为2，8，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.6.在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（）A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，208.设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，则这8个数据的（）A.极差为7 B.众数为29C.中位数为27.5 D.平均数为2910.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若不是直角三角形，则C.若，，，则符合条件的有2个D.若，则为钝角三角形11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）A.过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为B.存在点，使得直线平面C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________.13.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数是关于的方程的一个根，复数．（1）求；（2）若复数为纯虚数，求．16.如图，在平行四边形中，，，点是的中点．（1）用，表示，；（2）若点是的中点，求的值．17.为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊位.为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高服务越好，评分均在内）.根据评分，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数；（3）为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随机抽样的方法从样本中两个区间内抽取5个摊位，再从这5个摊位中随机抽取2个进行交流学习，求这2个摊位来自不同区间的概率.18.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，的面积为．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：先通过复数代数形式的乘法运算化简复数，得到其在复平面内对应点的坐标，即可判断所在象限.解答过程：

，

因此复数在复平面内对应的点的坐标为，故该点位于第二象限.2.已知，点满足，则的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设，则，由，得，得，故的坐标为.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个答案：C解析：解答过程：设袋中红球有个，利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6，由题意可得：，解得，所以袋中约有红球12个.4.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可．解答过程：由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直，故“”可以得到“”，充分性得证；反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行，不能得到线面垂直，必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件．5.已知圆台的上､下底面直径长分别为2，8，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆台的侧面积公式，求出母线长，再运用勾股定理求出圆台的高，再代入圆台的体积公式即可得解.解答过程：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由题可知，代入圆台的侧面积公式，得，则圆台的高，代入圆台的体积公式.6.在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正棱台的几何性质求得，，过点作的垂线，垂足为，可得，从而可得的值，确定异面直线与AC所成角结合余弦定理求解即可得结论.解答过程：在正四棱台中，，所以，又高为，所以，过点作的垂线，垂足为，可得，所以，同理可得，因为，所以为直线与所成角或补角，在中，，由余弦定理得，即直线与AC所成角的余弦值为.故选：B.7.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（）A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，20答案：A解析：思路：先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算.解答过程：男学生和女学生人数比例为，故样本中男生人数为人，女生人数为人，样本的平均数为，样本的方差为.故选：A.8.设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，，则，则中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质求解即可.解答过程：设，，则，因为，与的夹角为，所以中，，，如图所示，由正弦定理得外接圆的半径为，则为圆上与不重合的动点，设（），由正弦定理可得，，，则，所以当，即时，取得最大值，且最大值为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，则这8个数据的（）A.极差为7 B.众数为29C.中位数为27.5 D.平均数为29答案：ABD解析：解答过程：先将8个数据从小到大排列为：，对于A：极差为最大值减最小值，即，故A正确；对于B：29在数据中出现3次，出现次数最多，因此众数为29，故B正确；对于C：中位数为第4个和第5个数据的平均数，即，故C错误；对于D：平均数为，故D正确.10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若不是直角三角形，则C.若，，，则符合条件的有2个D.若，则为钝角三角形答案：BD解析：思路：利用正弦定理边角互化判断A；利用正切的和差角公式化简判断B；利用正弦定理求解判断C；利用余弦定理边角互化判断D.解答过程：对于A，由及正弦定理得，则，于是或，即或，为等腰三角形或者直角三角形，A错误；对于B,不是直角三角形，则，因此，B正确；对于C,由，，得，因此符合条件的有1个，C错误；对于D,由,得，即，由正弦定理得，则，角为钝角，为钝角三角形，D正确，故选：BD11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）A.过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为B.存在点，使得直线平面C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.的最小值为答案：ACD解析：思路：根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D.解答过程：对于A，∵正方体的对面互相平行，∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行，又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G，连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形，且，梯形的高，面积为，故A正确；如图所示，设为的中点，因为，平面，平面，所以平面，假设直线平面，又因为平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，因为分别为正方形的边的中点，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而直线与平面相交，所以直线与平面相交，这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误.∵，平面，不在平面内，∴平面，又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值，∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确；将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内，，当共线时取等号，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________.答案：解析：思路：先根据对立事件的概率公式求出，再结合相互独立事件的概率乘法公式计算；解答过程：因为随机事件与对立，根据对立事件的概率性质，得：，因为与相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式，得：故答案为：.13.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________.答案：解析：解答过程：由，得.当时，有，解得，此时向量的夹角为，所以实数的取值范围为.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.答案：解析：思路：利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．解答过程：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数是关于的方程的一个根，复数．（1）求；（2）若复数为纯虚数，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）将代入方程中，结合复数相等求出的值，从而求得的模；（2）根据复数为纯虚数求得的值，再进行复数的除法运算即可．（1）由题知，整理得，则，解得，所以，．（2）由（1）知，，因为复数为纯虚数，所以，解得，所以，所以．16.如图，在平行四边形中，，，点是的中点．（1）用，表示，；（2）若点是的中点，求的值．答案：（1）,.（2）解析：思路：（1）由平面向量基本定理结合向量的线性运算，即可得到结果；（2）由数量积的运算律代入计算，即可得到结果.（1）因为四边形是平行四边形,点是的中点,所以,所以;.（2）因为所以.17.为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊位.为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高服务越好，评分均在内）.根据评分，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数；（3）为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随机抽样的方法从样本中两个区间内抽取5个摊位，再从这5个摊位中随机抽取2个进行交流学习，求这2个摊位来自不同区间的概率.答案：（1）（2）分（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1列式计算即可；（2）根据频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为，列式计算即得；（3）根据分层抽样确定，两个区间内抽取的人数，再根据古典概型计算公式计算即可．（1）由题意可得，解得；（2）设应该制定的分数为分，要满足恰有30%的摊位获得荣誉证书，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为，因为的面积为，而的面积为，所以在内，即，解得，所以制定的评分分数为分；（3）由频率分布直方图可知，两个区间的摊位数之比为，所以从样本中抽取2个摊位，从样本中抽取3个摊位，记从抽取2个摊位为，从抽取3个摊位为，从这5个摊位中随机抽取2个进行交流学习有：共包含10个基本事件，其中满足2个摊位来自不同区间的有6个基本事件，所以这2个摊位来自不同区间的概率为.18.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，的面积为．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）．解析：思路：（1）由已知三角等式结合正弦定理化角为边,整理变形凑出余弦定理形式,算出,由得.（2）（ⅰ）代入用三角形面积公式求出边长,再由余弦定理求边,三边相加得周长.（ⅱ）设上线段比例,由同高三角形面积比等于底边比,表示出,乘后用基本不等式求最值,确定的值,先由余弦定理求,再在中用余弦定理算出长.（1）因为由正弦定理，为外接圆半径.所以，即，所以，又，所以．（2）（ⅰ），解得．由余弦定理，得，所以，所以的周长为．（ⅱ）设，，，，，所以，则，所以，同理可得，所以:，当且仅当，即，时等号成立，所以．又在中，，在，，所以．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取